Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Wersja do druku nie jest już wspierana i może powodować błędy w wyświetlaniu. Zaktualizuj swoje zakładki i zamiast funkcji strony do druku użyj domyślnej funkcji drukowania w swojej przeglądarce.
Twierdzenie Jegorowa – twierdzenie teorii miary mówiące, że każdy ciąg mierzalnych rzeczywistych funkcji prawie wszędzie skończonych określonych na wspólnej przestrzeni z miarą skończoną , który jest zbieżny prawie wszędzie do prawie wszędzie skończonej funkcji mierzalnej, jest do niej zbieżny prawie jednostajnie . Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Dimitrija Jegorowa . Littlewood wypowiedział nieformalnie twierdzenie Jegorowa w następujący sposób: zbieżne ciągi funkcji są nieomal jednostajnie zbieżne (tj. prawie jednostajnie zbieżne ; zob. trzy zasady analizy rzeczywistej Littlewooda )[1] .
Dowód
Niech
(
Ω
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )}
będzie przestrzenią z miarą skończoną oraz
(
f
n
)
{\displaystyle (f_{n})}
będzie ciągiem prawie wszędzie skończonych funkcji mierzalnych określonych na
Ω
,
{\displaystyle \Omega ,}
zbieżnym prawie wszędzie do prawie wszędzie skończonej funkcji mierzalnej
f
.
{\displaystyle f.}
Niech ponadto dla dowolnych liczb naturalnych
k
{\displaystyle k}
i
n
{\displaystyle n}
zdefiniowany będzie zbiór
B
k
,
n
:=
⋂
l
=
n
∞
{
x
∈
Ω
:
|
f
l
(
x
)
−
f
(
x
)
|
<
1
k
}
.
{\displaystyle B_{k,n}:=\bigcap _{l=n}^{\infty }\left\{x\in \Omega \colon {\big |}f_{l}(x)-f(x){\big |}<{\tfrac {1}{k}}\right\}.}
Przy dowolnych liczbach naturalnych
k
{\displaystyle k}
i
l
{\displaystyle l}
zachodzi zawieranie
B
k
,
n
⊆
B
k
,
n
+
1
.
{\displaystyle B_{k,n}\subseteq B_{k,n+1}.}
Ciąg
(
f
n
)
{\displaystyle (f_{n})}
jest zbieżny prawie wszędzie do
f
,
{\displaystyle f,}
skąd dla każdego
k
{\displaystyle k}
lim
n
→
∞
μ
(
Ω
∖
B
k
,
n
)
=
μ
(
Ω
∖
⋃
n
⩾
1
B
k
,
n
)
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu {\bigl (}\Omega \setminus B_{k,n}{\bigr )}=\mu \left(\Omega \setminus \bigcup _{n\geqslant 1}B_{k,n}\right).}
Z powyższego wynika, że dla każdej liczby
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
istnieje taka liczba naturalna
n
k
{\displaystyle n_{k}}
(zależna od
ε
{\displaystyle \varepsilon }
i
k
{\displaystyle k}
), że dla każdego
n
⩾
n
k
{\displaystyle n\geqslant n_{k}}
spełniona jest nierówność
μ
(
Ω
∖
B
k
,
n
)
<
ε
/
2
k
.
{\displaystyle \mu \left(\Omega \setminus B_{k,n}\right)<\varepsilon /2^{k}.}
Zbiór
B
=
⋂
k
⩾
1
B
k
,
n
k
{\displaystyle B=\bigcap _{k\geqslant 1}B_{k,n_{k}}}
jest mierzalny oraz
μ
(
Ω
∖
B
)
=
μ
(
⋃
k
⩾
1
Ω
∖
B
k
,
n
k
)
⩽
∑
k
⩾
1
μ
(
Ω
∖
B
k
,
n
k
)
⩽
∑
k
⩾
1
ε
2
k
=
ε
.
{\displaystyle \mu \left(\Omega \setminus B\right)=\mu \left(\bigcup _{k\geqslant 1}\Omega \setminus B_{k,n_{k}}\right)\leqslant \sum _{k\geqslant 1}\mu {\bigl (}\Omega \setminus B_{k,n_{k}}{\bigr )}\leqslant \sum _{k\geqslant 1}{\frac {\varepsilon }{2^{k}}}=\varepsilon .}
Z udowodnionej nierówności wynika, że ciąg funkcyjny
(
f
n
)
{\displaystyle (f_{n})}
jest jednostajnie zbieżny do funkcji
f
{\displaystyle f}
na zbiorze
B
{\displaystyle B}
oraz że
μ
(
E
)
=
μ
(
Ω
)
.
{\displaystyle \mu (E)=\mu (\Omega ).}
Zobacz też
Przypisy
Bibliografia
Avner Friedman, Foundations of Modern Analysis, Dover Publications , Inc., 1982, ISBN 0-486-64062-0 , s. 36–37.
John Littlewood : Lectures on the Theory of Functions . Oxford University Press, 1944. .