Przejdź do zawartości

Metoda elementów skończonych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
To jest stara wersja tej strony, edytowana przez NazwaNr1 (dyskusja | edycje) o 17:41, 31 lip 2020. Może się ona znacząco różnić od aktualnej wersji.
Następująca wersja przejrzana tej strony, którą oznaczono 31 lip 2020, była oparta na tej wersji.
Wikipedia:Weryfikowalność
Ten artykuł należy dopracować:
od 2010-07 → zweryfikować treść i dodać przypisy,
→ napisać/poprawić definicję,
należy ją poprawnie napisać językiem matematycznym.
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.
Przykład dwuwymiarowego rozwiązania magnetostatycznego (linie oznaczają kierunek indukcji magnetycznej, a kolor jej wartość)
Przykład dwuwymiarowej dyskretyzacji dla rozwiązania powyżej (z zagęszczeniem dyskretyzacji dookoła obiektu oraz z wymuszającą cewką po prawej stronie)
Model 3D rozprzestrzeniania się zanieczyszczeń w atmosferze - Pole stężenia zanieczyszczenia na powierzchni ziemi
Model 3D rozprzestrzeniania się zanieczyszczeń w atmosferze - Pole stężenia zanieczyszczenia w płaszczyźnie prostopadłej do powierzchni ziemi w odległości ok. 1 km od kominów 

Wstęp

Metoda Elementów Skończonych (w skrócie MES, ang. finite element method, w skrócie FEM)[1][2][3] – zaawansowana metoda numerycznego rozwiązywania problemów brzegowych. Polega ona na zastosowaniu aproksymacji (jedno-, dwu- lub trój-wymiarowej) poszukiwanej funkcji, na dyskretnym zbiorze jej węzłów, które powstają w wyniku dyskretyzacji dziedziny jej określoności na tzw. elementy skończone.

Istota metody polega na tym, że aproksymacji dokonuje się za pomocą prostych funkcji bazowych o nośnikach zlokalizowanych tylko na najbliższych, sąsiadujących ze sobą elementach skończonych. Aproksymację dla całej dziedziny określoności poszukiwanej funkcji otrzymuje się przez utworzenie wielomianu sklejonego z prostych i krótkich funkcji bazowych. Ten sposób aproksymacji, w najprostszym przypadku, sprowadza się do aproksymacji liniowej. W bazę globalną tworzą funkcje łamane, przedziaowo liniowe, w - powierzchnie złożone z płaskich trójkątów połączonych ze sobą krawędziami (rysunek obok), a w - obszary wypełnione czworościanami stykające się wspólnymi ścianami.

Wielkościami podlegającymi wyznaczeniu w MES są niewiadome przemieszczenia węzłów - liniowe i kątowe.

Podstawową zaletą MES jest możliwość uzyskiwania rozwiązań dla obszarów o skomplikowanych kształtach, dla których nie jest możliwe przeprowadzenie ścisłych obliczeń analitycznych.

Jeśli obliczany model posiada symetrię kształtu i wymuszenia, wówczas można obliczać tylko część obiektu celem szybszego uzyskania wyników, tak jak to przedstawiono na rysunku obok.

Zastosowanie

MES znajduje szerokie zastosowania w fizyce, a w szczególności w mechanice konstrukcji i mechanice ośrodków ciągłych. Z jej użyciem bada się wytrzymałość konstrukcji, symuluje ich odkształcenia, naprężenia i przemieszczenia. Bada się również przepływ ciepła, przepływ cieczy[4][5].

Bada się również dynamikę, kinematykę i statykę maszyn, jak również oddziaływania elektrostatyczne, magnetostatyczne i elektromagnetyczne.

Metoda stosowana jest również do aproksymowania wyników pomiarów wykonywanych na dyskretnym zbiorze punktów np. w meteorologii przy sporządzaniu map synoptycznych.


MES w mechanice

Przykład rzadkiej macierzy MES

Zastosowanie MES w mechanice[6][7] oparte jest na poniższym równaniu macierzowym:

[M][u"]+[C][u']+[K][u]=[F]

gdzie:

[M] = suma([m]) - macierz bezwładności układu elementów skończonych równa sumie macierzy bezwładności poszczególnych elementów
[C] = suma([c]) - macierz tłumienia układu elementów skończonych równa sumie macierzy tłumienia poszczególnych elementów
[K] = suma([k]) - macierz sztywności układu elementów skończonych równa sumie macierzy sztywności poszczególnych elementów
[u"] - macierz kolumnowa przyspieszeń poszczególnych węzłów układu
[u'] - macierz kolumnowa prędkości poszczególnych węzłów układu
[u] - macierz kolumnowa przemieszczeń poszczególnych węzłów układu
[F] - macierz kolumnowa sił przyłożonych do ciała w węzłach układu elementów skończonych

Każdy element skończony sąsiaduje tylko z najbliższymi dla niego elementami, dzięki czemu macierz wynikowa (a więc i układ równań do rozwiązania) jest zazwyczaj bardzo rzadka. Taką sytuację uzyskuje się właśnie przez zastosowanie krótkich, lokalnych baz aproksymacji co w zdecydowany sposób poprawia uwarunkowanie układów równań metody.


Zobacz też

Przypisy

  1. ↑ O. Zienkiewicz, C. Taylor, R. Leroy, J.Z. Zhu, The finite element method - Its basis and fundamentals, Butterworth-Heinemann (1990-2005)
  2. ↑ O.C. Zienkiewicz, Metoda elementów skończonych, Wyd. Arkady, 1972
  3. ↑ M.A. Bossak, Metoda elementów skończonych, Wyd. Ucz. Politechniki Rzeszowskiej, 1976
  4. ↑ O. Zienkiewicz, C. Taylor, R. Leroy, The finite element method. Vol. 1, Basic formulation and linear problems, McGraw-Hill Publishing Company
  5. ↑ O. Zienkiewicz, C. Taylor, R. Leroy, The finite element method. Vol. 2, Solid and fluid mechanics dynamics and non-lineary, McGraw-Hill Publishing Company
  6. ↑ K.H. Huebner, The finite element method for engineers, John Wiley
  7. ↑ O. Zienkiewicz, C. Taylor, R. Leroy, D.D. Fox, The finite element method for solid and structural mechanics, Butterworth-Heinemann (1990-2005)

Linki zewnętrzne

Źródło: „https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Metoda_elementów_skończonych&oldid=60521154”