Szereg naprzemienny

Następująca wersja przejrzana tej strony, którą oznaczono 28 lut 2020, była oparta na tej wersji.

Szereg naprzemienny^[1]^[2] (także szereg przemienny^[3]^[4], szereg alternujący bądź szereg znakozmienny^[5]) – szereg liczbowy, którego wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne. Szereg naprzemienny można przedstawić w postaci:

\pm \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\,a_{n},

gdzie $a_{n}>0$ dla każdego $n.$

Z definicji wynika, że iloczyn dowolnych dwóch sąsiednich wyrazów szeregu jest ujemny.

Kryterium Leibniza orzeka, że szereg naprzemienny, którego ciąg wyrazów $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest nierosnący i zbieżny do 0 jest zbieżny.

Przykłady

Szereg Grandiego 1 − 1 + 1 − 1...
Szereg 1 − 2 + 4 − 8 +... kolejnych potęg liczby 2 z naprzemiennie zmieniającymi się znakami.

Przypisy

↑ Fichtenholz 1966 ↓, s. 261–263.
↑ Kuratowski 1967 ↓, s. 42.
↑ Leja 1971 ↓, s. 196.
↑ Leja 1998 ↓, s. 62.
↑ Alternujący szereg, Encyklopedia Gutenberga.

Bibliografia

Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: PWN, 1966.
Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. 11. Warszawa: PWN, 1971.
Kazimierz Kuratowski: Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. Warszawa: PWN, 1967.
W. Krysicki, K. Włodarski: „Analiza matematyczna w zadaniach”
Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Warszawa: PWN, 1998. ISBN 83-01-02846-7.
Konrad Knopp: „Infinite Sequences and Series”

Linki zewnętrzne

[CITEREFFichtenholz1966261–263-1] Fichtenholz 1966 ↓, s. 261–263.

[CITEREFKuratowski196742-2] Kuratowski 1967 ↓, s. 42.

[CITEREFLeja1971196-3] Leja 1971 ↓, s. 196.

[CITEREFLeja199862-4] Leja 1998 ↓, s. 62.

[5] Alternujący szereg, Encyklopedia Gutenberga.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]