Wikipedysta:Pbn/Algebra Boole'a

Algebra Boole'a jest to struktura matematyczna złożona z uniwersum X oraz trzech funkcji - działań binarnych +, * i działania unarnego ~ oraz wyróżnionych elementów 0, 1 spełniających następujące aksjomaty:

• zarówno + jak i * są łączne i przemienne:
  • x + y = y + x
  • x * y = y * x
  • (x + y) + z = x + (y + z)
  • (x * y) * z = x * (y * z)
• 0 jest elementem neutralnym dla +: x + 0 = x
• 1 jest elementem neutralnym dla *: x * 1 = x
• x + (~x) = 1
• x * (~x) = 0
• + i * są rozdzielne względem siebie:
  • x * (y + z) = (x * y) + (x * z)
  • x + (y * z) = (x + y) * (x + z)
• dwa działania ~ się znoszą: ~~x = x
• Prawa de Morgana
  • ~(x * y) = (~x) + (~y)
  • ~(x + y) = (~x) * (~y)

Przykłady algebr Boole'a

1. Algebra zbiorów. X jest w tym przypadku jakimś ciałem zbiorów. Działanie + jest to suma zbiorów, * - przekrój zbiorów, a ~ - dopełnienie. 0 to zbiór pusty, a 1 - cały zbiór X.

2. Rachunek zdań. X to w tym przypadku zbiór formuł logicznych, działanie * jest to koniunkcja, + - alternatywa, a ~ - negacja. 1 jest to formuła zawsze prawdziwa, a 0 - zawsze fałszywa. (Tak naprawdę elementami X nie są same formuły logiczne, a klasy abstrakcji ze względu na relację: formuła f jest równoważna g, jeśli dla tych samych podstawień zmiennych ich wartość logiczna jest taka sama).

Minimalna aksjomatyzacja

Algebra Boole'a jest oczywiście przedefiniowana - 0 i 1 można zastąpić przez odpowiednio (x + (~x)) i ~(x + (~x)), zaś z praw de Morgana można wyeliminować * (w istocie wszystkie działania można tak naprawdę zastąpić jednym - kreską Scheffera). Standardowa jest jednak powyższa definicja i powyższa aksjomatyka - ze względu na wygodę i zgodność z intuicją.

Ważne jest pytanie - jaki jest minimalny zestaw aksjomatów definiujących algebry Boole'a. Jeden taki zestaw to:

• + jest przemienna
• + jest łączna
• aksjomat Huntingtona: $\neg (\neg x+y)+\neg (\neg x+\neg y)=x$

Inny taki zestaw to:

• + jest przemienna
• + jest łączna
• aksjomat Robbinsa: $\neg (\neg (x+y)+\neg (x+\neg y))=x$

Co zostało udowodnione przez system automatycznego dowodzenia twierdzeń (czyli przez komputer) po ponad 60 latach niepowodzeń ludzkich matematyków.