Ciało (matematyka)

typ struktury algebraicznej z parą działań wewnętrznych

Ciało – typ struktury algebraicznej z dwoma działaniami; krótko definiowany jako przemienny pierścień z dzieleniem lub dziedzina całkowitości z odwracalnością elementów.

Diagram Hassego przedstawiający podstawowe ciała liczbowe. Liczby nadrzeczywiste zaznaczono innym kolorem, ponieważ jako klasa właściwa spełniają tylko niestandardową, poszerzoną definicję ciała.

Ciała formalizują własności algebraiczne liczb wymiernych czy rzeczywistych znanych od starożytności, jednak samodzielna teoria ciał pojawiła się w XIX wieku. Pomogła rozwiązać takie problemy jak:

Oprócz tego pojęcie ciała pojawia się w ogólnej definicji przestrzeni liniowej; przez to ciała definiują najogólniejsze pojęcia skalara.

Definicja

edytuj

Aksjomaty

edytuj

Ciało   to struktura   z działaniami   i   – nazywanymi odpowiednio dodawaniem i mnożeniem – o kilku własnościach[1]:

Element neutralny dodawania oznacza się przez 0, a element neutralny mnożenia oznacza się przez 1 i nazywa jedynką lub jednością. Czasem zakłada się, że 0 ≠ 1, czyli że ciało ma co najmniej dwa elementy[2][3].

Formalnie zapisuje się to przez 9 aksjomatów – cztery z nich dotyczą samego dodawania, cztery samego mnożenia, a jeden związku między nimi:

1.     (łączność dodawania)
2.     (przemienność dodawania)
3.     (istnienie zera)
4.     (możliwość odejmowania)
5.     (łączność mnożenia)
6.     (przemienność mnożenia)
7.     (istnienie jedynki)
8.     (możliwość dzielenia)
9.     (rozdzielność mnożenia względem dodawania)

Mówiąc krótko, ciałem nazywa się:

Aksjomat rozdzielności mnożenia względem dodawania pozwala rozróżniać działania mnożenia i dodawania – nie ma rozdzielności w „drugą stronę”. Dlatego wyrażenia postaci   można zapisać prościej jako   Oznacza to, że mnożenie wiąże argumenty silniej niż dodawanie.

Rozbieżności nazewnicze

edytuj

W literaturze rosyjskiej i francuskiej ciała określa się terminami, które można dosłownie przetłumaczyć jako pole (ros. поле, trb. pole) lub ciało przemienne (fr. corps commutatif). Ogólne pierścienie z dzieleniem – niewymagające przemienności mnożenia – określa się słowami, które w innych kontekstach tłumaczy się jako ciało: ros. тело (trb. tieło)[5], fr. corps[6].

Pojęcie ciała jako struktury nieprzemiennej można także spotkać w niektórych tłumaczeniach książek naukowych na język polski[7]. Można wtedy mówić na przykład o ciele kwaternionów[8][9]. Rosjanie twierdzenie Wedderburna wypowiadają prosto: Każde ciało skończone jest polem.

Przykłady

edytuj
 
Liczby wymierne to przykład ciała przeliczalnego uporządkowanego liniowo.
 
Prosta rzeczywista – geometryczne przedstawienie ciała liczb rzeczywistych
 
Siedmiokąt foremny nie jest możliwy do narysowania przez konstrukcje klasyczne, o czym mówi twierdzenie Gaussa-Wantzela. Jest tak, ponieważ współrzędne jego wierzchołków nie należą do ciała liczb konstruowalnych.
 
Liczby zespolone to inny przykład ciała. Zasadnicze twierdzenie algebry mówi, że jest to ciało algebraicznie domknięte.
 
Płaszczyzna Fana to przykład struktury geometrycznej zbudowanej na ciele skończonym, konkretniej dwuelementowym.

Ciałami są między innymi niektóre rodzaje liczb:

Oprócz tego:

Ciało funkcji wymiernych   wyróżnia się nieskończoną mocą przy dodatniej charakterystyce.

Algebraiczne własności ciała mają też liczby nadrzeczywiste, jednak nie tworzą one zbioru – są klasą właściwą.

Dzieje pojęcia

edytuj

Pojęcia ciała – bez nadawania mu nazwy – używał Évariste Galois, który sklasyfikował ciała skończone. Później Bernhard Riemann w 1857 badał ciała funkcji meromorficznych. Richard Dedekind podał formalną definicję ciała pod nazwą dziedzina wymierności[potrzebny przypis].

Nazwa ciało (niem. Körper) pojawiła się po raz pierwszy w Teorii liczb Dirichleta, oznaczając zespół, poczet albo ucieleśnienie elementów powstających z operacji wymiernych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie). Problem pierwszeństwa jest skomplikowany: Dedekind był uczniem Dirichleta, napisał Suplementy do jego wykładów; w XI Suplemencie (IV wydanie, Brunszwik 1894) używana jest nazwa ciało.

Angielscy matematycy używali krótko łacińskiego odpowiednika corpus, zaś francuscy matematycy używają do dziś pokrewnego corps (ozn. ciało). Używane teraz w języku angielskim słowo field (dosł. pole) wprowadzili zapewne[10] amerykańscy algebraicy, którzy początkowo używali również nazwy realm (dosł. dziedzina, królestwo).

Własności

edytuj
  • Z definicji ciała wynika, że nie zawiera ono właściwych dzielników zera. Innymi słowy jest ono dziedziną całkowitości.
  • W ciele są dokładnie dwa ideały: ideał zerowy   i całe ciało   Jeżeli bowiem ideał ciała nie jest zerowy, to zawiera element odwracalny względem mnożenia, a więc jest równy  
  • Ciała skończone można sklasyfikować: każde z nich ma   elementów, gdzie   jest pewną liczbą pierwszą, a   jest liczbą naturalną. Co więcej, ciała skończone o tej samej liczbie elementów są izomorficzne, czyli z punktu widzenia algebry mogą być uważane za jednakowe.

Podciała i rozszerzenia

edytuj
Osobne artykuły: rozszerzenie ciałacharakterystyka.

Podciałem ciała   nazywa się taki podzbiór   ciała   który sam jest ciałem (ze względu na działania dziedziczone z  ). Dowolny homomorfizm ciał   jest zanurzeniem, gdyż

 

a więc   dla każdego  

Dla każdego ciała   zawsze istnieje homomorfizm pierścieni   jeżeli   jest zanurzeniem, to najmniejsze podciało ciała   zawierające pierścień   jest izomorficzne z   a o   mówi się, że jest charakterystyki zero; w przeciwnym wypadku istnieje najmniejsza liczba naturalna   taka, że   i jest ona liczbą pierwszą; wówczas pierścień   jest izomorficzny z ciałem reszt   i mówi się, że   ma charakterystykę równą  

Jeżeli   jest podciałem ciała   to ciało   nazywa się wtedy rozszerzeniem ciała   i tę relację między ciałami oznacza się   Charakterystyka   jest równa charakterystyce   i   jest przestrzenią liniową nad   Stopniem   rozszerzenia   nazywa się wymiar tej przestrzeni liniowej. Rozszerzenie   nazywa się rozszerzeniem skończonym, gdy jego stopień jest skończony, i rozszerzeniem nieskończonym, gdy jego stopień jest nieskończony.

Część wspólna dowolnej rodziny podciał ciała   jest jego podciałem; w szczególności dla każdego podzbioru   istnieje najmniejsze podciało ciała   Jeśli   jest podciałem ciała   a  podzbiorem, to najmniejsze podciało ciała   zawierające   i   oznacza się  

Część wspólna wszystkich podciał ciała   nazywana jest podciałem prostym ciała   Podciało proste jest ciałem prostym.

Konstrukcje

edytuj
  • Ciało ułamków pierścienia całkowitego.
  •   jest ideałem maksymalnym pierścienia   wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy   jest ciałem.
  • Rozszerzenie   ciała   o pierwiastek wielomianu nierozkładalnego   to pierścień ilorazowy  
  • Rozszerzenie   ciała   o element przestępny   (ciało funkcji wymiernych zmiennej   nad ciałem  ) to ciało ułamków pierścienia wielomianów  
  • Jeśli ciało   jest podciałem ciała   natomiast   jest podzbiorem   to istnieje najmniejsze podciało   ciała   zawierające   i   jest ono częścią wspólną wszystkich podciał ciała   zawierających   i   Każdy jego element jest ilorazem sum iloczynów element ciała   razy iloczyn elementów zbioru  
  • Ultraprodukt ciał jest ciałem.

Przypisy

edytuj
  1. Ciało, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-21].
  2. a b   Algebra liniowa z geometrią analityczną, wykład 1: Grupy i ciała, wazniak.mimuw.edu.pl [dostęp 2023-02-21].
  3. Eric W. Weisstein, Field, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-25].
  4. Aleksiej Kostrikin, Wstęp do algebry. Podstawy algebry, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2004, s. 148, ISBN 978-83-01-14252-0 (pol.).
  5. Кострикин А.И.: Введение в алгебру. Основы алгебры. Москва: Наука, 1994, s. 184–185.
  6. Artin E.: Geometric Algebra. London: Interscience Publishers LCD., 1957.; tłum. ros. 1969, s. 53.
  7. Pontriagin L.: Grupy topologiczne. Warszawa: PWN, 1961, s. 45.
  8. Pontriagin, op. cit., s. 147.
  9. Berger M.: Géométrie. Paris: Nathan, 1977., tłum. ros., t. 1, s. 14.
  10. Por. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics, hasło „Field”.

Bibliografia

edytuj
  • L. Pontriagin: Grupy topologiczne. Warszawa: PWN, 1961.
  • E. Artin: Geometric Algebra. London: Interscience Publishers LCD., 1957.
  • M. Berger: Géométrie. Paris: Nathan, 1977.
  • А.И. Кострикин: Введение в алгебру. Основы алгебры. Москва: Наука, 1994.

Literatura dodatkowa

edytuj

Linki zewnętrzne

edytuj