Przestrzeń liniowo-topologiczna
Przestrzeń liniowo-topologiczna – przestrzeń liniowa z określoną w niej topologią, dla której działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalar są ciągłe. O topologii dodatkowo zakłada się, że każdy punkt tej przestrzeni jest zbiorem domkniętym, innymi słowy przestrzeń spełnia pierwszy aksjomat oddzielania.
Można udowodnić, że każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Hausdorffa, a nawet jest przestrzenią regularną. Grupa addytywna przestrzeni liniowo-topologicznej jest grupą topologiczną. Każda przestrzeń unormowana (a więc np. dowolna przestrzeń Banacha czy Hilberta) jest przestrzenią liniowo-topologiczną.
Przestrzenie liniowo-topologiczne są głównym obiektem badań analizy funkcjonalnej. Najczęściej rozważane są przestrzenie liniowo-topologiczne będące przestrzeniami funkcyjnymi.
Definicja
edytujNiech będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych i niech będzie topologią w zbiorze
Przestrzeń nazywa się przestrzenią liniowo-topologiczną, gdy jest T1-przestrzenią oraz dodawanie i mnożenie przez skalar są ciągłe (w sensie odpowiednich topologii produktowych).
Własności
edytujDla każdego punktu i każdego skalara odwzorowania: i są homeomorfizmami przestrzeni na przestrzeń Zasadne jest więc badanie pewnych własności przestrzeni liniowo-topologicznych tylko w odniesieniu do otoczeń zera, gdyż analogiczne wyniki przenoszą się w naturalny sposób przez homeomorfizmy na inne punkty. Domknięcie podprzestrzeni liniowej przestrzeni liniowo-topologicznej jest nadal jej podprzestrzenią. Dowodzi się także, że dowolne rozłączne domknięte i zwarte podzbiory przestrzeni dają się oddzielać zbiorami otwartymi.
Zbiory ograniczone
edytujNie każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest metryzowalna, więc istnieje potrzeba wprowadzenia ogólniejszej definicji zbioru ograniczonego. Zbiór nazywa się ograniczonym, gdy dla każdego otoczenia zera istnieje że
Można wykazać, że jeśli jest jednocześnie przestrzenią unormowaną, to definicja ta jest równoważna klasycznej definicji zbioru ograniczonego. Nie jest na ogół prawdą, że jeśli jest jednocześnie przestrzenią metryczną, to powyższa definicja jest równoważna klasycznej definicji zbioru ograniczonego, nie musi być to prawda nawet wtedy, gdy metryka na jest niezmiennicza, tzn. spełnia warunek dla
Charakteryzacja zbiorów ograniczonych
edytujRównoważnie, zbiór jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia zera istnieje takie że dla każdego zbiór zawiera się w zbiorze
Ograniczony podzbiór przestrzeni liniowo-topologicznej można także scharakteryzować w sposób równoważny, nieco bliższy intuicji:
Zbiór jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdego ciągu elementów tego zbioru i każdego ciągu elementów ciała zbieżnego do zera.
Zbiory zbalansowane
edytujZbiór nazywa się zbalansowanym, gdy dla każdego takiego, że zbiór
Domknięcie zbioru zbalansowanego jest zbiorem zbalansowanym. Wnętrze zbioru zbalansowanego jest zbiorem zbalansowanym, o ile zawiera ono zero. Dodatkowo, każde otoczenie zera zawiera zbalansowane otoczenie zera, a każde wypukłe otoczenie zera zawiera otoczenie będące jednocześnie zbiorem wypukłym i zbalansowanym.
Klasy przestrzeni liniowo-topologicznych
edytujW literaturze matematycznej, często spotyka się następujące nazewnictwo związane z przestrzeniami liniowo-topologicznymi. Mówi się, że przestrzeń liniowo-topologiczna (X, τ) jest:
- lokalnie wypukła, gdy w X istnieje baza otoczeń, której elementy są zbiorami wypukłymi;
- lokalnie ograniczona, jeśli zero ma ograniczone otoczenie;
- lokalnie zwarta, jeśli zero ma otoczenie, którego domknięcie jest zwarte;
- F-przestrzenią[1], jeśli τ jest zadana przez zupełną, niezmienniczą metrykę;
- przestrzenią Frécheta[1] jeśli jest lokalnie wypukłą F-przestrzenią;
- normowalna, jeśli w X istnieje taka norma, że metryka zadana przez tę normę jest zgodna z τ (zob. twierdzenie Kołmogorowa o normowaniu przestrzeni liniowo-topologicznych). Ważną podklasą przestrzeni normowalnych jest klasa przestrzeni Banacha.
- przestrzenią mającą własność Heinego-Borela, gdy każdy domknięty i ograniczony jej podzbiór jest zwarty.
Każda przestrzeń lokalnie ograniczona ma przeliczalną bazę otoczeń[2]. Przestrzeń X jest natomiast normowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie wypukła i lokalnie ograniczona. Przestrzeń X ma skończony wymiar wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie zwarta. Jeśli lokalnie ograniczona przestrzeń X ma własność Heinego-Borela, to ma skończony wymiar.
Przykład
edytujProdukt dowolnej rodziny przestrzeni liniowo-topologicznych jest nadal przestrzenią liniowo-topologiczną.
Na przykład przestrzeń wszystkich funkcji rzeczywistych może być utożsamiany z przestrzenią wyposażoną w topologię Tichonowa. Topologię na nazywa się topologią zbieżności punktowej (zob. zbieżność punktowa ciągu funkcji). Przestrzeń ta nie jest metryzowalna, a więc i nie normowalna.
Ciągi Cauchy’ego
edytujPrzypisy
edytuj- ↑ a b Niektórzy autorzy pomijają założenie lokalnej wypukłości w definicji przestrzeni Frécheta – inni, zdefiniowaną tu przestrzeń Frécheta, nazywają F-przestrzenią.
- ↑ Zob. Pierwszy aksjomat przeliczalności.
Bibliografia
edytuj- Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001, s. 19–24.