Funkcja addytywna (algebra)

Funkcja addytywna – funkcja, która jest homomorfizmem struktury addytywnej rozważanych obiektów (pierścieni, ciał czy też przestrzeni liniowych). W teorii liczb jednak rozważa się całkowicie inną własność funkcji określaną tym samym terminem.

Definicje

Niech $(K,+)$ oraz $(L,+)$ będą grupami abelowymi.

• Powiemy, że funkcja $f\colon K\to L$ jest addytywna jeśli

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ dla wszystkich $x,y\in K.$

O addytywnych funkcjach rzeczywistych $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mówimy też, że spełniają równanie funkcyjne Cauchy’ego.

• Jeśli grupa $(L,+)$ jest grupą liniowo uporządkowaną przez relację $\leqslant$ to funkcję $f\colon K\to L$ nazwiemy podaddytywną jeśli

$f(x+y)\leqslant f(x)+f(y)$ dla wszystkich $x,y\in K.$

Powyższe pojęcie jest rozważane głównie gdy $(L,+)$ jest grupą addytywną liczb rzeczywistych (z naturalnym porządkiem).

Własności

Poniżej, mówiąc o funkcjach addytywnych myślimy o addytywności w sensie homomorfizmów grup addytywnych.

• Z zasady indukcji matematycznej można wnioskować, iż dla każdej addytywnej funkcji $f\colon K\to L$ zachodzi

$f\left(\sum _{i=1}^{n}~x_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})$ dla wszystkich $x_{1},\dots ,x_{n}\in K,$ $n\in \mathbb {N} .$

Stąd też, powyższą własność nazywa się skończoną addytywnością, a funkcje addytywne nazywamy też funkcjami skończenie addytywnymi.

• Załóżmy, że funkcja addytywna $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ spełnia jeden z następujących warunków:

(a) $f$ jest ciągła w przynajmniej jednym punkcie lub

(b) $f$ jest monotoniczna na pewnym przedziale lub

(c) $f$ jest ograniczona na pewnym przedziale.

Wówczas $f(x)=f(1)\cdot x$ dla wszystkich $x\in \mathbb {R}$ (to znaczy, $f$ jest funkcją jednorodną).

Pierwszy wynik powyższej postaci był uzyskany przez Augustina Cauchy’ego.

• W 1905, Georg Hamel udowodnił, że jeśli założymy AC, to istnieją funkcje addytywne $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ które nie są ciągłe.

Zobacz też

• twierdzenie Hahna-Banacha