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端末購入費の分割支払いの契約と、通信／通話の利用契約は別物ですよ？

NHKを試聴するのに、受信機であるテレビの代金と、月々の受信料が別であるように。

あくまで通信契約を一端解約し（電話番号、メールアドレスなど廃止になります。）、同じ端末で新たに契約し直せば良いのです。

ICカード自体が新しくなり、個体識別番号なども別人となります。
その変更月のみ、利用料が完全な二重払いになるか、いずれも日割りになるにか細かい取扱は未確認ですが、ご希望を満たす最低限必要な投資としてやむを得ないでしょう。

当然電話番号、メールアドレスも新たに登録し取得となりますので、関係する人々やサービスなどへの再登録や変更通知などお手間も惜しまず行えるならばとの条件付きとなりますが。

端末自体は支払いが残っていようが全納していようがあなたが購入した「品物」です。
完全な解約で再利用、機種変更など顧客としての契約を終了するなら残額をすべて精算しなければなりませんが、ご質問は通信利用自体は継続するのですから顧客であり続けることには変わりありません。

後はこういったケースがどの程度の頻度としてあるのか、まれなケースではあるわけなので、正直にショップで「とあるサービスを意図せず退会となり、再利用したいため」と事情をきちんと説明し理解いただくことは必要でしょう。
でないと「なぜ？」から質問を受け、必要以上に手間が掛かるかと思います。

あくまで解約・再契約（いわば端末のみ所持での新規）で始めて個体識別番号などが変わるのであって、番号やアドレスの「変更手続き」ではICカードも変わらず、ご希望は満たせないかと思います。

以上は知っている範囲でauに関しての例でして、他のキャリアはICカードの再発行で（電話番号やアドレスは同じ物を継続）別端末になり得るとか言う記載も。
私自身は経験のないことにて、先に説明したように目的である「とあるサービスを意図せず退会となり、再利用したいため」と事情をショップにきちんと説明し理解してもらった上で対応してください。

それもなく単に解約／再契約だけ済ませ、費用の負担だけ増し、サイトへの再登録も出来なかったとしても責任は持てません。
ショップを味方に付けることです。

自ずと結論、答えを出しておられるように思えます。

今の携帯を一度解約し、SIMカードも返却し（実際にカードそのものを返却すると言うより、識別情報自体が登録から削除されると言ったことかとは思いますが。）、新規契約し直すなり、別キャリアにMNPして移るなり、とにかく別人格として出直す以外にないかと思いますが？