めもり

ANo.1です。

調べてみましたら、『広辞苑』の「盛る」の項の５番目に、
碁盤・秤（はかり）・物差しなどに寸法を割り定めて目のしるしをつける。日葡辞書「ゴ、シャウギ、ナドノバン（盤）ニメヲモル」

とありました。「目盛り」の語源かどうかは分かりませんが、
「物差しなどに寸法を割り定めて目のしるしをつける」
という言葉から、普通に考えて、「目盛り」は「目を盛る」からきているものと考えてよいのではないでしょうか。

また、Google検索でも、「碁盤の目を盛る」という言葉がいくつかヒットしましたので、あまり頻度は高くないと思いますが、「目を盛る」という言い方は確かにあるようです。

ただ最初、私はそこまで考えて回答したわけではなく、「めもり」の「もり」という部分が、「盛る」から来た言葉とみなし、それに「目」が付いて、「目盛り」と表記するのだと単純に理解していました。なので、内閣告示「送り仮名の付け方」を引用したわけです。

どうしてこのように思ったかと言えば、過去、業界新聞社にいた時に表記の基準とした、共同通信社発行『記者ハンドブック』に、「もり」は「盛り」とする旨が書かれていたからです。
そして、その「もり」の例として、「酒盛り」や「大盛り」と並んで、「目盛り」もあったからです。
また朝日新聞社の用字用語辞典でも、「目盛り」となっていました。

もちろん、新聞表記が絶対に正しいというつもりはありませんけれども。

＃１の方が、内閣告示「送り仮名の付け方」単独の語 1 活用のある語 通則４を挙げられましたが、同じ項の中に「許容 読み間違えのおそれのない場合は‥送り仮名を省くことができる」とあります。

「目盛」は“誤読のおそれがない”と考えられるので、ＯＫとすべきです。つまり「目盛り」も「目盛」もＯＫです。
なお、文部省が省内で使う基準として設けた「用字用語例」には「目盛り」となっていて「目盛」が許容されていません。しかし、文部省から一歩外に出れば、省内基準よりも内閣告示のほうが優先度が高いと判断されます。
さかのぼって考えると、私たちは「目盛」という名詞として使い、「目を盛る」という動作の１活用形だという意識をまったく持たないで使っています。このような語に「活用のある語」というルールを適用すること自体に問題があると思います。

どちらでも良いんじゃないですか。

「目盛」と漢字で書いて「めもり」と訓で読むのですから、どちらが正しい、どちらが間違っている、という問題ではないと思いますが。「目盛」と書いて、「めもり」以外に読みが可能な場合（たとえば、「めもる」とか「モクセイ」とか）があるのであれば、誤解の無いように「り」を添えないと実用上も困ると思いますが、そうでなければ、どちらでも構わないでしょう。

ちなみに、今こうしてタイプしているPCの日本語FEPは「めもり」と入力すると、変換候補として両方出てきます。

内閣告示はガイドラインであって、正しい/間違い を示したものではないと自ら注意しています。
マスコミや教師、教科書会社の「お上のお触れ」にたいする過剰反応の結果の自己規制が、やたら正しいとか正しくないとか、テストの採点基準に取り入れて、学生をはじめとする国民を苦しめる（惑わせる）ことになっているだけです。

補足。

上記の使い方だと「目盛り」は誤りで「目盛」のみが正式であるそうです。ばあい広辞苑。

「目盛り」は送り仮名を付けたもの。

「目盛」は送り仮名を付けないもの。
です。
送り仮名の付け方は、一般には内閣が告示した「送り仮名の付け方」が基準になっています。
「めもり」に相当する部分を抜粋してみますと、

通則４
　本則　活用のある語から転じた名詞及び活用のある語に「さ」，「み」，「げ」などの接尾語が付いて名詞になったものは，もとの語の送り仮名の付け方によって送る。
　　　〔例〕
　　　（１）活用のある語から転じたもの。
　　　　　　動き　仰せ　恐れ　薫り　曇り　調べ　届け　願い　晴れ
　　　　　　当たり　代わり　向かい
　　　　　　狩り　答え　問い　祭り　群れ
　　　　　　憩い　愁い　憂い　香り　極み　初め
　　　　　　近く　遠く

「目盛り」の「盛り」の部分は、「盛る」という動詞がもとになっていますから、「り」を送る、ということになります。

ただ、公用の文書や新聞などではそういう原則ですが、個人的なものや、作家などの文筆家さんで表記にこだわりのある人は、必ずしも内閣の告示した基準にはよっていません。
「目盛」としても間違いではないのです。