Gruppeteori

Klassifisering av åtte baryoner i en 8-representasjon av Lie-gruppen SU(3).

Gruppeteori er en gren innenfor matematikk som omhandler den algebraiske struktur til grupper. Teorien er av stor betydning på samme måte som beskrivelsen av egenskapene til ringer, tallkropper og andre strukturer. I tillegg er gruppeteori viktig i fysikk og da spesielt innen kvantemekanikken og elementærpartikkelfysikken. Her er de direkte forbundet med symmetrien til slike fysiske systemer. Det gjelder også de mulige krystallstrukturene som lar seg bestemme ut fra egenskapene til diskrete grupper. Spesiell og generell relativitetsteori er basert på egenskaper til Lorentz-gruppa som uttrykker fundamentale egenskaper ved tidrommet.

Alle grupper kan deles opp i to hovedklasser. Den ene inneholder diskrete grupper, som har element som er tellbare. Den andre klassen består av Lie-grupper hvor elementene er kontinuerlig forbundet med hverandre. Gruppeteorien for begge klasser har i stor grad bestått i å skape en systematisk oversikt over hvilke grupper som finnes og etablering av deres egenskaper.

Moderne gruppeteori kan føres tilbake til Niels Henrik Abel og Évariste Galois da de på begynnelsen av 1800-tallet fant kriteriene for løsning av polynomligninger. Augustin Cauchy utviklet gruppeteorien for permutasjoner som Arthur Cayley videreførte dette til mer abstrakte grupper. Noen tiår senere etablerte Sophus Lie teorien for kontinuerlige grupper ved å undersøke transformasjoner av funksjoner. Omtrent samtidig kom Ludvig Sylow frem til detaljerte egenskaper ved diskrete grupper. Felix Klein benyttet denne nye innsikten til å gi en mer fundamental beskrivelse av mulige geometrier i sitt Erlangen-program. Teorien for Lie-gruppene ble ferdig etablert av Élie Cartan. Den var avgjørende for Murray Gell-Manns klassifikasjon av elementærpartikler i 1961, noe som ga ham nobelprisen i fysikk.

Definisjoner

En gruppe består av en visse mengde elementer {a, b, ...} som man kan kombinere to og to. Denne binære operasjonen kan betegnes med symbolet × som tilsvarer en vanlig multiplikasjon av tall. Kombinasjonen kalles derfor også ofte for et produkt.

Grunnleggende antagelse er at når to element a og b kombineres på denne måten, skal resultatet a × b være et element i samme mengde. I tillegg skal operasjonen oppfylle følgende tre krav:

1. Kombinasjonen er assosiativ slik at (a × b) × c = a × (b × c)
2. Det finnes et enhetselement e med den egenskap at e × a = a × e = a
3. Hvert element a har en invers a⁻¹ som oppfyller a × a⁻¹ = a⁻¹ × a = e

Disse tre antagelsene gjelder for alle grupper, både de diskrete og de kontinuerlige. Fra det tredje kravet følger det viktige resultatet at den inverse til et produkt er gitt ved (a × b)^-1 = b^-1 × a^-1. Hvis kombinasjonen av to gruppeelement oppfyller den kommutative loven slik at a × b = b × a, har man med en abelsk gruppe å gjøre. Navnet går tilbake til Abel som viste at når røttene til en polynomligning kan beregnes ved de vanlige regningsartene kombinert med enkle rotutdragninger, har de en symmetri som tilsvarer en kommutativ gruppe.

Antall element i gruppen kalles dens orden. Er dens navn G, skrives dette vanligvis som |G |. Det tilsvarer kardinaliteten til mengden av gruppeelement.

Enkle eksempel

Mengden Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... } av heltall danner en uendelig, diskret gruppe hvor binæroperasjonen er vanlig addisjon. Enhetselementet er tallet 0, og den inverse til tallet n er -n. Gruppen er abelsk da n + m = m + n. Likedan danner partallene 2Z = {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ... } en gruppe under den samme kombinasjonen og med det samme enhetselementet. De utgjør en undergruppe under gruppen Z. Dette er også en syklisk gruppe hvor hvert element er tallet 2 multiplisert med et heltall. Man sier derfor at dette tallet genererer gruppen og skriver det som 2Z = < 2 >. Generelt er n Z = < n > en syklisk undergruppe av Z generert av det naturlige tallet n. Derimot danner ikke oddetallene noen gruppe da summen av to slike tall er et partall.

De rasjonelle tallene Q danner også en uendelig, diskret gruppe hvor binæroperasjonen er vanlig multiplikasjon. Hvert tall har da formen m/n hvor m og n er heltall forskjellig fra 0. Enhetselementet er e = 1 slik at den inverse til m/n er ganske enkelt n/m.

Den minste, ikke-trivielle gruppen har bare to element (e, g). Da må g × g = e som vanligvis skrives mer kompakt som g² = e. Elementet g har derfor en invers som er g selv, det vil si g^-1 = g. Denne gruppen av andre orden betegnes normalt som Z₂ eller C₂ da den er syklisk. Ved en isomorfi kan den avbildes på de to tallene 0 og 1 der e → 0 og g → 1. Elementene kombineres da med binær addisjon slik at 1 + 1 = 0 tilsvarer g² = e.

Lagranges teorem og faktorgrupper

Kombinasjonen av to element i en undergruppe H av en annen gruppe G gir alltid et element i samme undergruppe H. Det betyr at hvis man multipliserer hvert element i H med et et annet element g i G som ikke tilhører H, vil denne multiplikasjonen gi en mengde gH med forskjellige element. Da en undergruppe alltid inneholder enhetselementet, vil elementet g tilhøre mengden gH. Denne mengden kalles en restklasse eller kosett til delgruppen H.

Hvis elementet x tilhører samme restklasse, er xH = gH slik at x^-1g må være et element i H. Disse to elementene sies da å være ekvivalente slik at alle elementene til gruppen G kan deles opp i ekvivalensklasser som består av disse restklassene. Hver kan representeres ved et enkelt element som tilhører restklassen.

For å finne de forskjellige restklassene, multipliserer man H på samme måte et nytt element g' . Resultatet blir da enten den etablerte restklassen gH hvis g'  er ekvivalent med g, eller så må man opprette en ny restklasse g'H. Etter å ha kombinert H med alle elementene i G på denne måten, vil man dermed ha fordelt disse over et visst antall forskjellige restklasser med det samme antall element. Hvis G inneholder n og H inneholder m element, vil man derfor ha

$n=km$

hvor k er et naturlig tall som angir antall restklasser. Det kalles indeksen til undergruppen H i G. Samtidig vil derfor også orden m til undergruppen H være en faktor i tallet n som er orden til gruppen G den tilhører. Dette viktige resultatet omtales vanligvis som Lagranges teorem og er oppkalt etter den franske matematiker Joseph Lagrange. På slutten av 1700-tallet gjorde han det første, systematiske forsøk på å løse femtegradsligningen på et tidspunkt der formell gruppeteori ennå ikke var etablert.

Teoremet til Lagrange har den viktige konsekvens at grupper G hvis orden n = |G | er et primtall, har ingen ikke-trivielle undergrupper. Hvert element g i gruppen kan benyttes til å generere hele gruppen slik at man kan skrive G = < g > der gⁿ = e er enhetselementet. Man sier derfor også at hvert element i gruppen har orden n. Slike grupper er alltid sykliske. Orden til et element sies mer generelt å være antall ganger det må multipliseres med seg selv for å gi enhetselementet.

Faktorgrupper

Faktorgruppen G = Z/8Z har åtte element der 0 og 4 utgjør en invariant undergruppe H. Elementene til G kan dermed inndeles i fire restklasser som utgjør en ny faktorgruppe G/H med 8/2 = 4 element.

To element a og b som tilhører samme restklasse gH sies å være ekvivalente. Denne ekvivalensrelasjonen kunne også være basert på restklasser Hg hvor multiplikasjonen skjer fra høyre. Det vil generelt gi en annen fordeling i restklasser. Men når inndelingen er uavhengig av om multiplikasjonen gjøres fra høyre eller venstre slik at gH = Hg, vil restklassene få en ny, matematisk struktur. Betingelsen for det kan skrives som

$gHg^{-1}=H$

og betyr at H er en normal eller invariant undergruppe i G. Da kan de ekvivalente elementene i hver restklasse betraktes som et element i en ny struktur. Produktet mellom to restklasser aH og bH kan da formelt skrives som

$(aH)(bH)=(ab)H$

og er en kombinasjon av restklasser som gir dem en gruppestruktur. Den kalles faktorgruppen G over H og betegnes som G/H. Restklassen som består av elementene i den normale undergruppen H, er enhetslementet i denne faktorgruppen. På samme måte har elementet aH en invers som er restklassen Ha⁻¹.

Det er viktig at denne binæroperasjonen mellom restklasser er entydig og uavhengig av hvilke representanter i hver slik klasse man velger å benytte. Velger man for eksempel å benytte elementet h₁ i H for restklassen aH og tilsvarende h₂ for bH, vil produktet (aH)(bH) = (ab)H tilsvare multiplikasjonen

$(ah_{1})(bh_{2})=(ab)(h_{3}h_{2})$

Her er det avgjørende at H er en invariant undergruppe slik at man kan skrive h₁b = b h₃ hvor også h₃ tilhører denne undergruppen. Hvis n er orden til G og m den til H, så har G/H orden n/m. Faktorgruppen har derfor en orden som er lik undergruppens indeks i modergruppen.

Faktorgrupper ble først oppdaget og benyttet av Évariste Galois da han fant kriteriene som måtte oppfylles for å kunne løse femtegradsligningen og andre polynomligninger av høyere rad ved algebraiske metoder. De har en meget viktig rolle i gruppeteori og mer generelt i moderne matematikk.

Noen eksempel

Heltallene Z danner en uendelig, diskret og abelsk gruppe under addisjon. På samme måte utgjør også delmengden nZ en uendelig undergruppe der n er et naturlig tall. Dette utgjør også en normal undergruppe da modergruppen Z er abelsk. Man kan nå dele alle heltallene opp i n restklasser hvor to og to restplasser kan kombineres ved addisjon. For eksempel, når n = 3 får man de tre restklassene 3Z, 3Z + 1 og 3Z + 2, mens klassen 3Z + 3 er den samme som 3Z. Som representanter for disse tre restklassene kan man benytte tallene 0, 1 og 2. De utgjør elementene i faktorgruppen Z/3Z som derfor har orden 3. Deres kombinasjon skjer ved modulær addisjon, det vil si i dette tilfellet modulo 3. Den inverse til elementet 1 er 2 og omvendt.

Generelt har faktorgruppen Z/nZ ialt n element som kombineres additivt modulo n og og benevnes ofte som Z_n. Den kan igjen ha sine undergrupper. For eksempel, faktorgruppen G = Z/8Z har 8 element som kan representeres ved {0,1,2,3,4,5,6,7} hvor elementene 0 og 4 utgjør en invariant undergruppe H av andre orden. Alle elementene kan dermed deles opp i de fire restklassene H = {0, 4}, H + 1 = {1, 5}, H + 2 = {2, 6} og H + 3 = {3, 7}. De utgjør elementene i faktorgruppen G/H som har orden 8/2 = 4 som er indeksen til H  i G.

Z_n = Z/nZ er alltid en syklisk gruppe der elementene kombineres ved modulær addisjon og enhetselementet er restklassen som inneholder 0. Men samtidig utgjør disse restklassene en matematisk ring hvor man også kan kombinere elementene ved modulær multiplikasjon. I det spesielle tilfellet at n er et primtall p, har da hvert element i ringen Z/pZ bortsett fra restklassen som inneholder 0, også en multiplikativ invers. Disse p - 1 restklassene danner dermed en abelsk gruppe under multiplikasjon som vanligvis angis ved (Z/pZ)^× eller Z^×_p. Den inngår i ringen Z_p = Z/pZ som da utgjør en endelig tallkropp som også kalles for en Galois-kropp og betegnes med F_p eller GF(p).

Homomorf avbildning

Diagram for en homomorf avbilding φ på faktorgruppen G/N der N = Ker φ er kjernen til avbildningen.

Elementene i en faktorgruppen G/H er restklasser som generelt inneholder flere element av modergruppen G. Hvert element i G blir dermed knyttet til en bestemt restklasse, det vil si til et element i faktorgruppen. Dette er derfor i alminnelighet en homomorfisk avbildning fra G til H.

På lignende måte kan en gruppe G avbildes homomorft på en annen gruppe G' . Det finnes da en funksjon φ som for hvert element g i G gir et element g'  i G'  slik at g'  = φ(g). Det homomorfe bildet av G i G'  kan da skrives som φ(G) eller Im φ der forkortelsen Im står for det engelske ordet Image.

Et enkelt eksempel er avbildningen fra heltallene Z = G til tierpotensene G'  = {.., 10⁻², 10⁻¹, 1, 10¹, 10², ... }. Disse utgjør en abelsk gruppe under vanlig multiplikasjon med 1 som enhetselement. Avbildningen φ(n) = 10ⁿ der enhetselementet e = 0 i G avbildes på enhetselementet e'  = 1 i G'  slik at 10^{n + m} = 10ⁿ10^m. Siden hvert element i G'  er bildet av kun ett element i G, er dette en isomorfi.

Ved konjugasjon avbildes en gruppe G på seg selv. Dette kalles også en indre automorfisme. For et visst element x i gruppen, er denne avbildingen definert ved at

$g\rightarrow \phi _{x}(g)=xgx^{-1}$

Da er φ_x(g₁g₂) = x(g₁g₂)x^-1 = xg₁x^-1xg₂x^-1 = φ_x(g₁)φ_x(g₂) som viser at φ_x gir en isomorf avbildning av gruppen G. Når en normal undergruppe kalles for en invariant undergruppe, er det fordi den er invariant under konjugasjon med alle andre elementer i gruppen.

Kjernen til homomorfien

Definisjonen av en homomorfi sier at den må oppfylle φ(ab) = φ(a)φ(b) der a og b er gruppeelement i G. Den inneholder ett eller flere element som blir avbildet på enhetselementet e'  i G' . Mengden N av slike element utgjør en undergruppe i G som kalles avbildningens kjerne. Det skrives som N = Ker φ der forkortelsen Ker kommer fra det tyske ordet Kern for kjerne. At det er en undergruppe, vises ved å kombinere to element a og b som begge ligger i kjernen N. Da er bildet av deres produktet φ(ab) = e' ⋅e'  = e'  slik at det også ligger i kjernen.

Kjernen N er også en invariant undergruppe. Det følger fra å betrakte et element a i N og et vilkårlig element g i G. Da blir

$\phi (gag^{-1})=\phi (g)\phi (a)\phi (g^{-1})=g'e'(g')^{-1}=e'$

Da elementet a kunne være hvilket som helst element i N, har man derfor generelt at g N g^-1 = N som viser at kjernen er invariant. Bildet av avbildningen φ er derfor faktorgruppen H = G/N. Mer abstrakt kan det skrives som

${\text{Im}}\,\phi =G/{\text{Ker}}\,\phi$

som eksplisitt uttrykker at kjernen til avbildningen er en normal undergruppe. Dette resultatet kalles vanligvis for den fundamentale setningen for homomorfier.

Oppløsbare grupper

Studiet av matematiske strukturer består ofte å dele de opp i sine enkelte bestanddeler. På den måten kan et heltall faktoriseres i enkelte primtall og et polynom skrives som et produkt av irreduktible polynom av lavere grad. En lignende oppdeling av en gruppe kan også gjøres.

En gruppe som ikke inneholder noen invariante undergrupper, kan ikke avbildes på en faktorgruppe og dermed gis en finere struktur i dens oppbygning. Dette sies da å være en enkel gruppe som tilsvarer et primtall blant heltallene. Et eksempel er en syklisk gruppe Z_p hvis orden p er et primtall.

Hvis en gruppe G ikke er enkel, har den en invariant undergruppe H. Man kan derav danne faktorgruppen G/H og får kjeden G ⊃ H ⊃ H₀ hvor gruppen H₀ består bare av enhetselementet e. Denne oppdelingen kan gjøres finere når H også inneholder en invariant undergruppe. Man får dermed en lengre kjede

$G=H_{n}\supset H_{n-1}\supset \ldots \supset H_{1}\supset H_{0}$

hvor H_k-1 er en normal undergruppe i H_k. Gruppen G sies å være oppløsbar når alle faktorgruppene H_k/H_k-1 er abelske.

Et enkelt eksempel kan vises for den sykliske gruppen Z₁₂. Den har Z₆ som en invariant undergruppe, og man kan danne kjeden

$G=\mathbf {Z} _{12}\supset \mathbf {Z} _{6}\supset \mathbf {Z} _{3}\supset \mathbf {Z} _{1}$

hvor Z₁ bare består av enhetselementet. De tilsvarende faktorgruppene har dermed orden 2, 2 og 3 som alle er oddetall og er derfor enkle grupper. Gruppen Z₁₂ er derfor oppløsbar.

Begrepet oppløsbar i denne sammenhengen går tilbake til Galois som viste at hver polynomligning kan tilordnes en matematisk Galois-gruppe. Når denne er oppløsbar på denne måten, er den tilsvarende ligningen algebraisk løsbar. Da Galois-gruppen for polynom med grad n ≥ 5 i alminnelighet er permutasjonsgruppen S_n som ikke er oppløsbar, vil femtegradsligningen og andre polynomligninger av høyere grad ikke være generelt løsbare.

Direkte produkt

Fra to grupper G₁ og G₂ kan man danne en større gruppe som man kaller det direkte produktet G = G₁⊗ G₂ av de to gruppene. Hvert element i denne er definert som g = (g₁, g₂) hvor g₁ tilhører G₁ og g₂ tilhører G₂. Det direkte produktet sies derfor noen ganger å være kartesisk da det har samme form som de kartesiske koordinatene (x, y) for et punkt i planet som formelt består av mengden R ⊗ R med par av reelle tall.

Hvis de to gruppene har enhetselement e₁ og e₂, er enhetselementet i produktgruppen e = (e₁, e₂).To element g og g'  er definert å kombinere ved regelen

$gg'=(g_{1},g_{2})(g'_{1},g'_{2})=(g_{1}g'_{1},g_{2}g'_{2})$

som gir et nytt element i produktgruppen. Elementet g = (g₁, g₂) har som invers

$g^{-1}=(g_{1}^{-1}\!,\,g_{2}^{-1})$

slik at g g⁻¹ = (e₁, e₂) = e. Dermed oppfyller G = G₁⊗ G₂ de tre kravene til å være en gruppe.

Når G₁ inneholder n₁ element og G₂ inneholder n₂, vil produktgruppen inneholde n₁⋅n₂ element. Det er derfor dens orden. Det direkte produktet kan utvides på tilsvarende måte slik at det kombinerer et vilkårlig antall grupper.

Eksempel

Den sykliske gruppen Z₂ består av elementene {0, 1} som kombineres ved addisjon modulo 2, mens Z₃ består av elementene {0, 1, 2} som kombineres på samme måte modulo 3. Produktet Z₂ ⊗ Z₃ består da av de seks elementene {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)}. Ved direkte utregning kan man nå vise at denne nye gruppen også er syklisk. Den kan for eksempel genereres av elementet (1,1). Da er (1,1)² = (0, 2), (1,1)³ = (1, 0) og så videre til (1,1)⁶ = (0, 0). Det direkte produktet er derfor den sykliske gruppen < (1,1) > som er isomorf med Z₆ = Z₂ ⊗ Z₃.

I alminnelighet er isomorfien Z_m ⊗ Z_n = Z_mn bare gyldig når m og n er relativt primiske som 2 og 3 er. For eksempel består Z₂ ⊗ Z₂ av de fire elementene {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}. De kan ikke genereres av et enkelt element og utgjør derfor ikke en syklisk gruppe. Men de to elementene r = (0, 1) og s = (1, 0) gjør det da r² = s² = (0, 0) = e  og rs = sr = (1, 1). Dette definerer den dihedrale gruppen D₂ som er isomorf med Kleins firergruppe slik at den kan skrives som V₄ = Z₂ ⊗ Z₂.

Dette siste resultatet kan generaliseres til det tilfellet at en gruppe G inneholder to undergrupper H₁ og H₂ hvis element kommuterer med hverandre og som kun har enhetselementet til G felles. Hvis alle elementene i G da kan skrives som H₁⊗ H₂, sier man at direkteproduktet er internt da det involverer undergrupper i samme gruppe.

Permutasjonsgrupper

Cayley-tabell for permutasjonsgruppen S₄ med 4! = 24 element. Ytterst kan de tilsvarende permutasjonsmatrisene sees.

Hvis man har n forskjellige objekt, så kan de arrangeres på n ! forskjellige måter når man benytter den vanlige notasjonen for fakultetsfunksjonen. For eksempel, hvis disse objektene er tallene {1, 2, 3}, så kan de arrangereres i 3! = 6 forskjellige rekkefølger 123, 132, 213, 231, 312 og 321. Hver av dem er en permutasjon av den opprinnelige rekkefølgen 123. En slik permutasjon kan betraktes som en abstrakt transformasjon. Tilsammen utgjør disse operasjonene en transformasjonsgruppe som i denne sammenhengen naturlig nok kalles en permutasjonsgruppe eller en symmetrisk gruppe. Når den virker på n objekt, betegnes den som S_n. Den er av orden n ! da hvert gruppeelement tilsvarer en permutasjon. Disse gruppene var de første som ble studert.

Den detaljerte virkning av hvert gruppelement blir vanligvis fremstilt ved en notasjon med to linjer som går tilbake til Cauchy. I øverste linje inngår den opprinnelige rekkefølgen og i den underliggende linje skrives den permuterte rekkefølgen. Med for eksempel de fire tallene {1, 2, 3, 4} vil et typisk gruppeelement da skrives som

$\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&1&3&2\end{pmatrix}}$

som beskriver transformasjonen 1 → σ(1) = 4, 2 → σ(2) = 1, 3 → σ(3) = 3 og 4 → σ(4) = 2. Tallet 3 forblir på sin plass, mens 1 → 4 → 2 → 1 på en syklisk måte. Denne permutasjonen kan derfor skrives som en sykel σ = (1, 4, 2) da man ofte ignorerer 1-sykler som (3) siden de ikke betyr noen forandring. Hver permutasjon kan på denne måten skrives som et produkt av sykler.

Kombinasjonsregler

For at de forskjellige permutasjonene skal kunne utgjøre en matematisk gruppe, må de tre reglene for kombinasjon av element oppfylles. Enhetselementet betyr ingen forandring i det hele tatt og med fire objekt er det

$\varepsilon ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&2&3&4\end{pmatrix}}$

En permutasjon σ etterfulgt av en permutasjon τ kan man skrive som τ σ når den virker på objektene som antas å befinne seg på høyre side. For eksempel med fire objekt der τ er gitt ved sykelen τ = (1, 2, 3, 4) og σ = (1, 4, 2), vil effekten av produktet τ σ være at 1 → 4 fra σ hvor 4 → 1 fra τ. Skrives dette som 1 → 4 → 1, får man videre på samme måte at 2 → 1 → 2, 3 → 4 → 3 og 4 → 2 → 3. Tallene 1 og 2 forblir derfor uforandret, mens 3 og 4 byttes om. Dermed har man at τ σ = (1, 2, 3, 4)(1, 4, 2) = (3, 4).

Ved å bruke den mer fullstendige notasjonen kommer man frem til samme resultat ved å benytte at

$\tau ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&1&3&2\\1&2&4&3\end{pmatrix}}$

slik at den øverste linjen i Cauchy-symbolet for τ blir lik den nederste i symbolet for σ. Produktet gir dermed det ønskede resultatet

$\tau \sigma ={\begin{pmatrix}4&1&3&2\\1&2&4&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&1&3&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&2&4&3\end{pmatrix}}$

når den øverste linjen i τ  forkortes mot den nederste linjen i σ. På denne formen ser man eksplisitt at 1 og 2 forblir på plass, mens 3 og 4 byttes om.

Cauchy-symbolet for det inverse elementet σ^-1 til en permutasjon σ som må oppfylle betingelsen σ σ^-1 = ε, finnes ved å bytte om øverste og nederste linje i symbolet for σ. Hvis dette gruppeelementet er som over, har man derfor at

$\sigma ^{-1}={\begin{pmatrix}4&1&3&2\\1&2&3&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&4&3&1\end{pmatrix}}$

Uttrykt ved sykler er derfor (1, 4, 2)^-1 = (2, 4, 1). Dette er et eksempel på et mer generelt resultat som sier at den inverse av en sykel er elementene i sykelen tatt i motsatt rekkefølge.

Alternerende gruppe

Enhver permutasjonssykel (a, b, c, ..., x) kan reduseres til produktet av en transposisjon eller ombytte av to element multiplisert med en sykel som er ett element kortere. Dette følger fra regelen

$(a,b,c,\dots ,x)=(a,b)(b,c,\ldots ,x)$

Sykelen på høyre side bevirker at x → b som transposisjonen foran forandrer til a og dermed gir nettoresultatet x → a som man ønsker. På denne måten kan hver sykel og dermed hver permutasjon skrives som et produkt av transposisjoner. For eksempel er (1, 2, 3) = (1, 2)(2, 3) som også viser det mer generelle resultatet at en sykel med k element kan skrives som et produkt av k - 1 transposisjoner.

De seks elementene i den symmetriske gruppen S₃ kan nå skrives som

${\begin{aligned}\rho _{0}&={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}}=(1)(2)(3),\;\;\rho _{1}={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}=(1,2,3),\;\;\rho _{2}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}}=(1,3,2),\\\sigma _{0}&={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}}=(1,2)(3),\;\;\;\sigma _{1}={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}}=(2,3)(1),\;\sigma _{2}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}=(1,3)(2)\end{aligned}}$

Mens de tre første gruppeelementene ρ₀, ρ₁ og ρ₂ består av null eller to transposisjoner, inneholder de tre siste elementene σ₀, σ₁ og σ₂ bare en sådan. De tre første elementene utgjør også en undergruppe da ρ₁² = ρ₂ og ρ₁³ = ρ₀ som er enhetselementet ε i gruppen. Dette er ikke noe annet enn den sykliske gruppen C₃ = Z₃. Videre utgjør {ε, (1, 2)}, {ε, (2, 3)} og {ε, (1, 3)} tre andre undergrupper isomorfe med C₂.

Generelt utgjør de permutasjonene i den symmetriske gruppen S_n som inneholder et like antall transposisjoner, en invariant undergruppe som kalles den alternerende gruppen A_n. Den er invariant da den utgjør kjernen til den homoforme avbildningen S_n → {1, -1} hvor de like permutasjonene avbildes på enhetselementet 1. Lagranges teorem sier da at den alternerende gruppen har orden |A_n | = |S_n |/2 = n !/2. Det er derfor like mange odde som like permutasjoner i den fulle permutasjonsgruppen S_n.

Mens den alternerende gruppen A₃ inneholder tre element og er isomorf med C₃, inneholder A₄ tolv element. Den er ikke-abelsk da for eksempel (1, 2, 3)(4) ikke kommuterer med (1, 2)(3, 4). Men den inneholder en invariant undergruppe som er Kleins firergruppe V₄ bestående av elementene {ε, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)}. Faktorgruppen A₄/V₄ har derfor orden 3 og er enkel. Dette gjør at både S₄ og A₄ er oppløsbare grupper som forklarer at fjerdegradsligningen kan løses algebraisk. Derimot for femtegradsligningen er Galois-gruppen den symmetriske gruppen S₅ som ikke er oppløsbar da den alternerende gruppen A₅ ikke inneholder noen invariant undergruppe. Det samme gjelder for permutasjonsgruppen S_n  med n > 5 slik at den tilsvarende polynomligningen ikke kan løses.

Cayleys teorem

Frem til midten av1800-tallet hadde egenskapene til permutasjonsgrupper i stor grad blitt utforsket. Da Arthur Cayley på den tiden begynte å undersøke mer abstrakte grupper basert kun på et fåtall av antagelser, kunne det se ut til at det ville finnes diskrete grupper som ikke hadde sin gjenpart blant permutasjonsgruppene. Men et av hans første og viktigste resultat var å vise at en diskret gruppe av orden n er isomorf med en undergruppe til permutasjonsgruppen for like mange objekt.

En slik gruppe består av n element samlet i mengden G = {g₁, g₀, ... , g_n} som kan kombineres ved vanlige grupperegler. Betrakter man et bestemt element g i denne mengden, kan man multiplisere dette med alle elementene i G. Det resulter i samme mengde, men med elementene i en permutert rekkefølge eller ordning. Man kan derfor tilordne dette elementet g en bestemt permutasjon

$\sigma (g)={\begin{pmatrix}g_{1}&g_{2}&\ldots &g_{n}\\gg_{1}&gg_{2}&\ldots &gg_{n}\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}G\\gG\end{pmatrix}}$

Produktet av to slike operasjoner gir dermed opphav til den kombinerte permutasjonen

$\sigma (g)\sigma (g')={\begin{pmatrix}G\\gG\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}G\\g'G\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}g'G\\gg'G\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}G\\g'G\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}G\\gg'G\end{pmatrix}}$

når man benytter regelen for multiplikasjon av Cauchy-symbol. Man har dermed at σ(g)σ(g' ) = σ(g g' ) slik at sammenhengen g → σ(g) er en isomorf avbildning av gruppen G inn i permutasjonsgruppen S_n.

Som et eksempel kan man betrakte den dihedrale gruppen D₃. Den har seks element hvorav tre er rotasjonselementene som kan kalles i, a og b med a³ = b³ = i  som er enhetselementet. Tilsvarende er de tre speilingselementene c, d og e med c² = d² = e² = i. Disse kan nå representeres ved permutasjoner som kan leses direkte ut av de horisontale radene i gruppens Cayley-tabell. Det gir

$\sigma (i)={\begin{pmatrix}i&a&b&c&d&e\\i&a&b&c&d&e\end{pmatrix}}=(i)(a)(b)(c)(d)(e)$

$\sigma (a)={\begin{pmatrix}i&a&b&c&d&e\\a&b&i&d&e&c\end{pmatrix}}=(i,a,b)(c,d,e)$

$\sigma (b)={\begin{pmatrix}i&a&b&c&d&e\\b&i&a&e&c&d\end{pmatrix}}=(i,b,a)(c,e,d)$

$\sigma (c)={\begin{pmatrix}i&a&b&c&d&e\\c&e&d&i&b&a\end{pmatrix}}=(i,c)(a,e)(b,d)$

$\sigma (d)={\begin{pmatrix}i&a&b&c&d&e\\d&c&e&a&i&b\end{pmatrix}}=(i,d)(a,c)(b,e)$

$\sigma (e)={\begin{pmatrix}i&a&b&c&d&e\\e&d&c&b&a&i\end{pmatrix}}=(i,e)(a,d)(b,c)$

Herav går det frem at de to elementene a og b som begge er av orden 3, representeres ved permutasjoner som er produkt av 3-sykler. På samme måtenrepresenteres elementene c, d og e som er av andre orden, ved permutasjon som er produkt av 2-sykler. Dette kan vises å være generelt gyldig for et vilkårlig element av en viss orden i en diskret gruppe.

Symmetritransformasjoner

Figurene er speilsymmetriske om den røde streken.

Det eksisterer en nær sammenheng mellom gruppeteori og symmetrier til fysiske objekt, geometriske figurer eller matematiske strukturer. Hvert slikt objekt kan utsettes for en operasjon som tilsvarer et gruppeelement. Vanligvis vil objektet forandres ved denne transformasjonen. Men forblir det uforandret, sier man at det er invariant under operasjonen som da er en symmetritransformasjon.

Et enkelt eksempel på en slik transformasjon, er speiling. Hvis man for eksempel ser på en venstrehånd i et speil, ser denne ut som en høyrehånd. Den er ikke symmetrisk under denne operasjonen. Hvis derimot en plan figur er speilsymmetrisk, har den en retning eller akse langs hvilken man kan plassere et speil vinkelrett på planet. Da er speilbildet sammenfallende med den delen av figuren som ligger bak speilet.

Speiling

Matematisk kan man beskrive denne speiloperasjonen s ved å benytte kartesiske koordinater (x, y) for hvert punkt i planet. Ligger y-aksen langs speilet, vil hvert punkt da transformeres som

$s(x,y)=(-x,y)$

En tilsvarende speiling av speilbildet gir den dobbelte speilingen s²(x, y) = s(-x, y) = (x, y) som er ingen transformasjon. Det tilsvarer enhetselementet e i en gruppe med to element {e, s } hvor s² = e. Består den symmetriske figuren av en mengde M med punkter i planet, kan dens invarians under speiling formelt skrives som

$sM=M$

Transformasjonen inngår som et element i symmetrigruppen C₂ = {e, s }. Den er isomorf med den abstrakte gruppen Z₂ som fremkommer ved å addere heltall modulo 2.

Resultatet av speilingen er avhengig av orienteringen til speilet. Angis denne ved en vektor v, kan den mer generelle speilingstransformasjonen betegnes med s_v hvor fremdeles s_v² = e. Hvis speilingsaksen er horisontal eller vertikal, kalles de tilsvarende speilingstransformasjonene ofte for s_H  og s_V. For eksempel er bokstaven A symmetrisk om den vertikale y-aksen slik at s_V A = A, mens bokstaven B har symmetrien s_H B = B.

Ingen av disse to bokstavene er invariante under den kombinerte transformasjonen s_I = s_H s_V. Den gir en inversjon i to vinkelrett plasserte speil. Den forandrer fortegnet til begge koordinatene for et punkt,

$s_{I}(x,y)=(-x,-y)$

Bokstaven H er symmetrisk under denne transformasjonen hvor hvert punkt avbildes på et nytt punkt som ligger på motsatt side langs en linje gjennom bokstavens sentrum. Denne bokstaven har mer symmetri enn A og B, noe som også uttrykkes ved at den har en høyere symmetri.

En slik inversjon kan defineres på samme måte i det tredimensjonale rommet og kalles da en paritetstransformasjon. Den spiller en viktig rolle i forskjellige deler av fysikken.

Rotasjoner

En triskelion har en rotasjonssymmetri som er beskrevet ved gruppen C₃.

Figurer eller objekt som forblir uforandret under rotasjon rundt et fast punkt, sies å være rotasjonssymmetriske. Det mest kjente eksempelet i planet er en sirkel som kan roteres en vilkårlig vinkel rundt sitt sentrum uten at den forandres. Den har en uendelig høy rotasjonssymmetri. I tillegg har den speilingssymmetrier langs linjer gjennom det samme punktet.

En endelig og ren rotasjonssymmetri har for eksempel figuren med form som en triskelion. Den sammenfaller med sin opprinnelige form ved rotasjoner på 120° og 240° om sitt sentrum. Betegner man den første av disse ved symbolet r, følger den andre som den første utført to ganger etter hverandre, det vil si r². En rotasjon på 360° er da gitt som r³ som tilsvarer ingen rotasjon. Det definerer derfor enhetselementet e i den diskrete rotasjonsgruppen C₃ = {e, r, r² }. Det inverse gruppeelementet r^-1 beskriver en rotasjon på -120° som er identisk med 240° i motsatt retning. Det betyr at r^-1 = r² slik at også r^-2 = r.

Den minste rotasjonsgruppen beskriver rotasjoner med 180° og har bare to element C₂ = {e, r } der nå r² = e. Den er isomorf med speilingsgruppen {e, s } og alle andre grupper av orden 2. Derfor brukes ofte symbolet C₂ for å betegne alle disse.

I det generelle tilfellet kan man betrakte rotasjoner som er bygd opp en minste rotasjon r  som utfører en dreining på 360°/n. Blir denne operasjonen gjentatt k ganger etter hverandre, er resultatet gitt ved r_k = r^k der r_n = e tilsvarer en full rotasjon på 360°. Den inverse transformasjonen er r_k^-1 = r_-k = r^-k. Tilsammen danner disse operasjonene den diskrete gruppen C_n = {e, r, r², ..., r^{n -1}}. Den er syklisk og isomorf med den aritmetiske gruppen Z_n som fremkommer ved addisjon av heltall modulo n som benyttes i modulær aritmetikk.

Dihedrale symmetrier

En regulær heksagon har seks speilingsakser i tillegg til en 6-tallig rotasjonssymmetri om sitt sentrum.

En regulær sekskant er invariant under rotasjoner som er element i rotasjonsgruppen C₆ = < r |r⁶ = e > hvor den elementære rotasjonen r  beskriver en dreining på 60° om dens sentrum og mot klokken. Figuren sies å ha en sekstallig rotasjonsakse. Den har også mindre symmetrier som tilsvarer undergruppene C₂ og C₃. I tillegg har den speilingssymmetrier s₀, s₂ og s₄  om de tre aksene som går gjennom hjørnene til figuren pluss tre speilingssymmetrier s₁, s₃ og s₅  gjennom akser som står vinkelrett på sidekantene. Alle disse symmetriene oppfyller s_k² = e. Den fulle symmetrigruppen har derfor 12 element og kalles den dihedrale gruppen D₆.

Alle gruppelementene kan genereres av den elementære rotasjonen r  samt de to speilingssymmetriene s₀ og s₁. Sammenhengen mellom disse to speilingene er gitt ved

$s_{1}=rs_{0}=s_{0}r^{-1}$

hvis rotasjonen r  er mot klokken. Skriver man s₀ = s, har man da betingelsen (r s )² = e. Sammen med r⁶ = s² = e  kan herav alle produkt mellom de tolv elementene til den dihedrale gruppen beregnes. Speilingstransformasjonene er nå gitt som s_k = r_k s.

Ved å gjenta relasjonen srs = r^-1 hele k ganger etter hverandre, følger at

$sr_{k}s=r_{k}^{-1}$

Det viser at en vilkårlig rotasjon er konjugert via speiling med den inverse rotasjonen.

På lignende måte kan alle speilingene ordnes inn i to konjugatklasser. Det følger fra s₂ = r s₁ som kan omformes til s₂ = r s₀r^-1. På samme måte blir da

$s_{4}=rs_{2}r^{-1}=r^{2}s_{0}r^{-2}$

slik at s₀, s₂ og s₄  er konjugerte med hverandre. Det betyr at en speiling rundt den fjerde aksen kan gjennomføres ved å rotere figuren 60° tilbake til den andre aksen, foreta speilingen om denne og deretter rotere 60° i positiv retning. Likedan tilhører også s₁, s₃ og s₅ samme klasse. At den samme symmetrioperasjonen om ekvivalente akser eller punkt er konjugert med hverandre, er en viktig egenskap ved slike symmetritransformasjoner.

På tilsvarende måte gjelder dette også for den generelle, dihedrale gruppen D_n med 2n gruppeelement. Den er symmetrigruppen for en regulær mangekant med n hjørner. Rotasjonen r  gir da en dreining av figuren med 360°/n.

Translasjonsymmetri

Symmetritransformasjoner som speilinger og rotasjoner holder minst et punkt fast i det objektet som operasjonen virker på. De tilsvarende gruppene kalles derfor ofte for punktgrupper. For transformasjoner i planet er C_n og D_n er de eneste tillatte. Denne observasjonen går tilbake til Leonardo.

Motstykket til dette er translasjoner hvor alle punktene forflyttes like mye. Hvis hvert punkt forskyves en avstand a, kan en slik operasjon beskrives som

$\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x'} =T_{\mathbf {a} }\mathbf {x} =\mathbf {x} +\mathbf {a}$

En generell translasjon T_a kan splittes opp i uavhengige translasjoner langs de forskjellige, kartesiske koordinataksene. Disse transformasjonene danner i alminnelighet en kontinuerlig Lie-gruppe.

Translasjonsoperatoren T_a kan også virke på et utstrakt objekt eller figur. Det vil da ikke medføre noen forandring i form eller retning til figuren. Men hvis denne for eksempel hadde en rotasjonssymmetri R(φ) om sitt midtpunkt da dette lå i origo x = 0, vil den samme rotasjonen ikke lenger være en symmetri etter en translasjon. Figuren har bare denne rotasjonssymmetrien om sitt nye midtpunkt som da ligger i x = a. Det er derfor nødvendig å innføre en mer generell rotasjon R_x(φ) om et vilkårlig punkt x. Men da den kan gjennomføres ved å translatere objektet tilbake til origo, der foreta den vanlige rotasjonen R(φ) og så deretter tranlatere det tilbake til x = a, har man at

$R_{\mathbf {a} }(\phi )=T_{\mathbf {a} }R(\phi )T_{\mathbf {a} }^{-1}$

Rotasjoner med den samme vinkel om forskjellige punkt er konjugert med hverandre i en utvidet symmetrigruppe som inneholder både rotasjoner og translasjoner.

Bårdmønstre og frisegrupper

Et translasjonsinvariant mønster fra oldtiden.

En friese er et mønster som gjentas i en retning. De opptrer i mange sammenhenger som i forskjellige bårder, ornamenter og utsmykninger. Det samme mønsteret opptrer da regelmessig langs denne retningen med en gjensidig avstand som er et helt multiplum av en gitt, minste lengde a. Friesen har derfor en symmetri eller invarians under en translasjon T med den med denne spesielle lengden.

Selve mønsteret kan man tenke seg er tegnet inn i en boks eller celle med form av et rektangel med lengde a. Hvis de ligger tett etter hverandre langs x-aksen, må mønsteret ha en symmetri som tilsvarer transformasjoner slik at denne aksen ikke forandres. Det tilsvarer da horisontale speilinger H om denne aksen, vertikale speilinger V i en linje vinkelrett på midtpunktet og rotasjoner R om dette med 180°.

Frisegruppen TG tilsvarer mønsteret av høyre og venstre fot som fremkommer ved normal gange.

I tillegg er det mulig å tenke seg en gliderefleksjon G eller transfleksjon som oppstår av en kombinasjon av horisontal speiling og translasjon. Hvis denne gjentas to ganger, vil nettoresultatet være en en dobbelt så lang translasjon. Det betyr at G alene må gi en translasjon av lengde a/2. Denne symmetrien kan illustreres ved normal gang. Da settes høyre og venstre fot regelmessig ned slik at minste avstand for eksempel mellom to høyreføtter alltid er en lengde a, mens den tilsvarende avstanden mellom en høyre og en venstre fot er a/2. I dette tilfellet inneholder mønsteret begge fotavtrykkene som er speilbilder av hverandre. Ingen av de andre symmetriene er da tilstede slik at man kan betegne friesen som TG med de to symmetritransformasjonene som karakteriserer den.

Når man kombinerer disse symmetriene, fremkommer i alt 7 mulige regelmessige mønster eller frisegrupper. Når mønsteret i en celle eller boks ikke har noen spesiell symmetri, har hele friesen bare translasjonssymmetrien T. Med mer symmetri, kan man ha TH, TV, TR og THV. I tillegg til glidesymmetrien TG, kan også TGV opptre. Men den er inkompatibel med horisontal speiling. I alt finner man da 7 tillatte symmetrier eller frisegrupper.

På lignende måte kan man vise at periodiske mønster i to dimensjoner som ved tesselering eller tapetsering, kun kan opptrer med 17 forskjellige symmetrier eller tapetgrupper. I tre dimensjoner opptrer slike periodiske strukturer i krystaller av faste stoffer. Det totale antall symmetrier her er 230 som kan sees i forskjellige krystallgrupper.

Konjugasjon og gruppesenter

En normal underguppe H i en gruppe G er definert ved egenskapen

$gHg^{-1}=H$

for alle element g i G. Underruppen H sies også å være invariant under konjugasjon som er definert som en tilsvarende transformasjon av hvert element i gruppen G. Hvis a er et element i G, sier man at dette er konjugert med et annet element b hvis det finnes et element g slik at

$gag^{-1}=b$

Det ene elementet g gir dermed en avbildning av alle elementene i G på de samme elementene. Dette er derfor en homomorf avbildning av gruppen på seg selv siden

$(gxg^{-1})(gyg^{-1})=g(xy)g^{-1}$

og sies derfor å være en automorfi som i dette tilfellet er isomorf.

På denne måten skaper konjugasjon en ekvivalensrelasjon mellom gruppens elementer og kan benyttes til å dele dem opp i klasser med ekvivalente element. Konjugatklassen til gruppeelement a er derfor mengden

$C(a)=gag^{-1}$

når g går gjennom alle gruppens element. Alle element i samme klasse har dermed samme orden. Hver slik klasse inneholder forskjellige element. Hvis ikke har de to klassene C(a) og C(b) minst ett felles element. Det finnes da element x og y i G slik at xax^-1 = yby^-1. Da blir gag^-1 = (gx^-1y)b (gx^-1y)^-1 slik at når g går gjennom alle elementene i G, vil alle elementene de to klassene bli de samme. Ut fra dette kan man dele hele gruppen G opp i konjugatklasser med ikke-overlappende element.

I en abelsk gruppe kommuterer alle element med hverandre. Da vil ga = ag slik at hvert element er konjugert med seg selv. Derfor vil de tilsvarende klassene bare inneholde ett element hver.

Enhetselementet e = (1)(2)(3) i permutasjonsgruppen S₃ er kun konjugert med seg selv og utgjør en egen klasse. Ved direkte utregning finner man at transposisjonen (1, 2) er konjugert med de to andre transposisjonene (2, 3) og (1, 3). Det betyr at disse elementene utgjør en konjugatklasse {(1, 2), (2, 3), (1,3)}. Likedan utgjør elementene {(1, 2, 3), (1, 3, 2)} en slik klasse. Alle elementene til denne gruppen kan derfor ordnes inn i tre forskjellige konjugatklasser. Man legger merke til at elementene i hver av klassene har samme sykelstruktur. Det gjelder også for den mer generelle permutasjonsgruppen S_n. Antall konjugatklasser er da lik med hvor mange forskjellige partisjoner av tallet n som finnes. For n = 3 har man for eksempel 3 = 1 + 1 + 1, 3 = 2 + 1 i tillegg til 3 = 3. Den første partisjonen inneholder enhetselementet, den andre de tre elementene som er 2-sykler og den siste de to elementene som er 3-sykler.

Senter og sentralisator

I en generell gruppe vil det alltid være minst ett element som kommuterer med alle gruppens element og er derfor invariant under konjugasjon. Slike element har egenskapen xg = gx for alle andre element g i gruppen G. De utgjør en mengde som kalles for gruppens senter og betegnes som Z(G). Dette senteret er en invariant undergruppe i G.

Det vil alltid inneholde enhetselementet e. Hvis det i tillegg inneholder et element x, vil det også inneholde det inverse elementet x^-1. Det følger fra xg = gx ved å multiplisere med x^-1 fra begge sider. Det gir gx^-1 = x^-1g. Likedan vil produktet mellom to element x og y i senteret også tilhøre denne mengden da (xy)g = x(gy) = g(xy). Dette viser ikke bare at senteret danner en undergruppe, men også at denne er invariant under konjugasjon.

Fra et vilkårlig element g kan man også danne mengden Z(g) av element som kommuterer med g, det vil si at de er invariante under konjugasjon. Denne mengden kalles for sentralisatoren til elementet. For en abelsk gruppe faller den sammen med hele gruppen G. Sentralisatoren danner i alminnelighet en undergruppe, som kan vises på tilsvarende måte som for gruppens senter. Hvis den inneholder et element x i tillegg til enhetslementet e, må xg = gx. Da vil den også inneholde det inverse elementet x^-1. Hvis sentralisatoren også inneholder elementet y, vil det likedan inneholde produktet xy. Men dette er ingen invariant undergruppe da elementet g nå er fiksert. Hver sentralisator Z(g) inneholder senteret Z(G). Sentralisatoren til enhetselementet er hele gruppen G.

Som en enkel illustrasjon av hvordan disse undergruppene ser ut, kan man betrakte den dihedrale gruppen D₃. Den har seks element hvorav {r₀, r₁, r₂} representerer rotasjoner på henholdsvis 0°, 120° og 240°. De tre andre elementene {s₀, s₁, s₂} står for speilinger om de tre symmetriaksene. Senteret til D₃ består kun av enhetselementet r₀, mens sentralisatoren til hvert av rotasjonselementene består av de samme elementene {r₀, r₁, r₂}. De utgjør den sykliske undergruppen C₃. Sentralisatoren til elementet s₀ er på samme måte undergruppen {r₀, s₀} og likedan for de to andre speilingselementene.

Klasseligningen

Sentralisatoren Z(a) til gruppelementet a består av element x i G som kommuterer med a. Hvert slikt element oppfyller derfor x a x^-1 = a. Da Z(a) er en undergruppe i G, kan man plassere alle elementene til G i forskjellige restklasser eller kosett g Z(a). Antall slike restklasser er indeksen n/n_a til sentralisatoren hvor n = |G | er ordenen til G og n_a = |Z(a)| er den til undergruppen.

Alle elementene i hver restklasse basert på Z(a) har samme konjugerte element som a. Det er en konsekvens av at et typisk element i en slik klasse kan skrives som gx hvor g er et vilkårlig element og x tilhører sentralisatoren Z(a). Men da er (gx)a(gx)^-1 = gxax^-1g^-1 = g a g^-1. Element fra forskjellige restklasser vil derimot gi opphav til ulike konjugerte av a. Derfor har hvert element a like mange forskjellige konjugerte som det er restklasser av sentralisatoren Z(a), det vil si dens indeks. Ifølge Lagranges teorem er denne alltid en faktor i gruppens orden n = |G |.

Ut fra dette kan man nå dele hele gruppen G opp i konjugatklasser med forskjellig antall element. Hvert element i dens senter Z(G) gir opphav til konjugatklasser med bare ett element. De andre klassene er bestemt av de forskjellige sentralisatorene til G og inneholder hver et antall element lik deres indeks n/n_a. Man får dermed sammenhengen

$|G|=|Z(G)|+\sum _{a}{|G| \over |Z(a)|}$

hvor man summerer over representative element a fra hver konjugatklasse utenom gruppesenteret. Denne sammenhengen kalles gruppens klasseligning og kan benyttes til å gi avgjørende informasjon om dens indre struktur. For den den symmetriske gruppen S₃ gir ligningen at 6 = 1 + 3 + 2. Den sier at gruppen inneholder en konjugatklasse med ett element som er enhetselementet, pluss to andre slike klasser med henholdsvis tre og to element.

Sylow-grupper

Lagranges teorem sier at undergrupper til en gruppe G må ha en orden som er en faktor til n = |G |. For eksempel har den symmetriske gruppen S₃ der n = 6 = 2⋅3, en undergruppe av orden 3 og tre undergrupper av orden 2. Men teoremet garanterer ikke at det virkelig finnes en undergruppe for hver slik faktor. Det er tilfelle for den alternerende gruppen A₄ med orden 12 = 2⋅6 = 2²⋅3. Den har ingen undergrupper av orden 6, bare av orden 2, 3 og 4.

Dette og mer generell spørsmål rundt egenskapene til endelige grupper ble delvis besvart av den norske matematiker Ludvig Sylow. Ifølge aritmetikkens fundamentalteorem kan hvert heltall n skrives entydig som et produkt av primtall og deres potenser. Det er derfor naturlig å studere grupper av orden n = p^r⋅m hvor p er et primtall, heltallet r > 0 og m ikke inneholder noen faktor p. For denne typen grupper kom Sylow frem til flere viktige resultat som kan sammenfattes i tre teorem.

Definisjon av p-grupper

Hvis orden til gruppen G er et primtall n = p, sier Lagranges teorem ganske enkelt at denne ikke kan ha noen ikke-trivielle undergrupper. Gruppen er syklisk og generert av et enkelt element av orden p. Derimot når n = p^r med r > 0 sier det samme teoremet at undergruppene kan ha orden n = p^s med 0 < s < r - 1. Da man kan bevise at undergruppen med s = r - 1 eksisterer og er normal, vil også de andre undergruppene med s = r - 2 og så videre ha den samme egenskapen. Hele gruppen G er derfor oppløsbar.

En slik gruppe kalles en p-gruppe eller en primgruppe. Ved bruk av klasseligningen kan man også vise at senteret Z(G) til denne gruppen må inneholde et antall element som er et multiplum av primtallet p. De minste p-gruppene er de abelske gruppene Z₄ og firergruppen Z₂⊗Z₂ som begge har orden 4 = 2². Generelt er grupper av orden p² abelske.

Sylows teorem

Når orden til en gruppe G skrives som n = p^r⋅m, inneholder heltallet m ingen faktorer med primtallet p, men vil i alminnelighet kunne skrives som et produkt med potenser av andre primtall. Sylows tre teorem sier da:

1. G inneholder minst én p-undergruppe H av orden p^r. Denne kalles for en Sylow p-gruppe.
2. Alle slike Sylow p-grupper er konjugerte med hverandre. Hvis det finnes en annen slik gruppe K, må den da kunne skrives som K = gHg^-1 hvor g er et element i G.
3. Antall n_p Sylow p-grupper er gitt som n_p = 1 + (mod p) og må være en faktor i tallet m.

I mange tilfeller har gruppen G bare har én Sylow p-gruppe. Denne er da en invariant undergruppe som følger av det andre teoremet. Per definisjon er G da ikke en enkel gruppe.

Som et enkelt eksempel på bruk av disse teoremene, kan man se på en gruppe av orden n = 12 = 2²⋅3¹. Denne kan da ha n₂ = 1 Sylow 2-gruppe med 2² = 4 element og likedan én 3-gruppe med tre element som undergrupper. I det spesielle tilfellet at G er syklisk som Z₁₂, vil 2-gruppen bestå av elementene (0, 3, 6, 9) og 3-gruppen av {0, 4, 8} hvor alle elementene kombineres modulo 12. Undergruppen {0, 2, 4, 6, 8, 10} av orden 6 er ingen Sylow-gruppe. Derimot kan hele gruppen skrives som det direkte produktet av de to Sylow p-gruppene. Dette er en generell egenskap ved alle endelige, abelske grupper.

Eksterne lenker

• MAT1060, Gruppeteori, forelesning ved UiO (2019).