Teorija grupa

Teorija grupa je grana matematike koja se bavi proučavanjem grupa. Grupe su skupovi sa operacijom. Operacija u grupi mora da zadovoljava zatvorenost, i da ima sledeća tri dodatna svojstva:

1. Operacija mora da bude asocijativna.
2. Mora postojati neutral.
3. Svaki element mora imati odgovarajući inverzan element.

Teorija grupa se koristi širom matematike a ima i primene u fizici i hemiji. Grupe mogu biti konačne ili beskonačne. Klasifikacija konačnih prostih grupa, završena 1983, je jedno od većih matematičkih dostignuća 20. veka.

Primene teorije grupa

U važnije primene teorije grupa spada i sledeće:

• Grupe se često koriste da uhvate unutrašnju simetriju drugih struktura. Unutrašnja simetrija strukture je obično povezana sa invarijantnim svojstvom; skup transformacija koje očuvavaju ovo invarijantno svojstvo, zajedno sa operacijom kompozicije transformacija čini grupu koju nazivamo simetričnom grupom . Vidi i automorfizam grupa.

• Teorija Galoa, koja je istorijsko izvorište koncepta grupe, koristi grupe da opiše simetrije jednačina koje zadovoljavaju nule polinoma. Rešive grupe su tako nazvane zbog njihove važne uloge u ovoj teoriji. Teorija Galoa je isprva korišćena da dokaže da polinomi petog i viših stepena ne mogu (u opštem slučaju) biti rešeni u zatvorenoj formi na način na koji polinomi nižeg stepena mogu.

• Abelove grupe, koje zahtevaju i svojstvo komutativnosti $a\cdot b=b\cdot a$, leže u osnovi nekoliko drugih struktura koje se proučavaju u apstraktnoj algebri, kao što su prsteni, polja i moduli.

• U algebarskoj topologiji, grupe se koriste da opišu invarijante topoloških prostora. One se nazivaju invarijantama jer su definisane na takav način da se ne menjaju ako se prostor podvrgne nekoj deformaciji.

• Koncept Lijevih grupa (dobio ime po matematičaru Sofus Lie) je važan u proučavanju diferencijalnih jednačina i mnogostrukosti; one kombinuju analizu i teoriju grupa i to ih čini odgovarajućim objektima za opisivanje simetrija analitičkih struktura. Analiza na ovim i drugim grupama se zove harmonička analiza.

• Razumevanje teorije grupa je takođe važno u fizici i hemiji. U fizici, grupe su važne jer opisuju simetrije za koje izgleda da ih poštuju zakoni fizike. Fizičari su vrlo zainteresovani za reprezentacije grupa, posebno Lijevih grupa, jer ove reprezentacije često ukazuju na moguće fizičke teorije.

• U hemiji, grupe se koriste da klasifikuju kristalne strukture, regularne poliedre i simetrije molekula. Teorija grupa pomaže u određivanju fizičkih svojstava (kao što su polarnost i hiralnost), spektroskopskih svojstava, i u konstruisanju molekularnih orbitala.

• Teorija grupa ima široku primenu u kriptografiji. Vrlo velike grupe prostog reda se konstruišu definisanjem eliptičkih krivih nad konačnim poljima.