Schrödingerlikninga

Schrödingerlikninga er ei likning som skildrar tilstanden til kvantemekaniske system. Ho vart formulert seint i 1925 og publisert i 1926 av fysikaren Erwin Schrödinger. Likninga skildrar samanhengen mellom energien til partiklar i eit system, og bølgjelikninga deira. Ut i frå schrödingerlikninga kan ein hente all praktisk informasjon om eit kvantemekanisk system. Schrödingerlikninga bryt saman for relativistiske partiklar. Likninga som måtte til for å skildra relativistiske kvantesystem vart seinare funnen av Paul Dirac.

Generelt om likninga

Schrödingerlikninga kan delast opp i to variantar, den tidsavhengige (TDSE) og den tidsuavhengige (TiSE) schrödingerlikninga. For dei fleste system er ikkje TDSE løysbare for menneske. Her må ein bruke datamaskinar. Den tidsuavhengige likninga er mykje greiare å jobba med, men har ein del avgrensingar.

Den tidsavhengige schrödingerlikninga

Den tidsavhengige schrödingerlikninga (i posisjonsrommet) er

$i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$

For éin einskild partikkel i eit potensial $V(\mathbf {r} ,t)$ er ${\hat {H}}$ gjeven av

${\hat {H}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)$

Her er i den imaginære eininga, ħ er den reduserte planckkonstanten, ∇² er laplace-operatoren, og $\Psi$ er bølgjefunksjonen, her som ein funksjon av posisjonsvektoren $\mathbf {r}$ . $\mathbf {p}$ er impulsoperatoren ${\frac {\hbar }{i}}\nabla$ .

${\hat {H}}$ er hamiltonoperatoren som representerer den samla energien i systemet. Hamiltonoperatoren er gjeve med ein del som representerer den kinetiske energien (rørsleenergien til partiklane i systemet) og ein funksjon V som representerer den potensielle energien i systemet (som ein kan rekne som omgivnadane til partikkelen i systemet). Funksjonen for potensialet kan avhenge av posisjonskoordinatar og av tida.

Den tidsuavhengige schrödingerlikninga

Med litt matematikk kan ein skilja variablane for posisjon og tid. Dette leiar oss til ei schrödingerlikning som ikkje har tida som variabel. Denne vert kalla den tidsuavhengige schrödinglerlikninga.

${\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} )=E\Psi (\mathbf {r} )$

Den tidsuavhengige likninga er mindre komplisert å arbeida med teoretisk, men har ein del avgrensingar som den tidsavhengige ikkje har. For det første må potensialet i TiSE vere tidsuavhengig. For det andre kan TiSE berre skildra såkalla stasjonære tilstandar. TiSE fortel oss ingenting om korleis systemet endrar seg med tida, så systemet må vere i ro for at likninga skal gjelde.

Tolking av bølgjefunksjonen

Det kan vere vanskeleg å sjå for seg kva bølgjefunksjonen $\Psi (\mathbf {r} ,t)$ faktisk representerer. Eigenskapane til bølgjefunksjonen er mellom anna:

Bølgjefunksjonen representerer tilstanden til systemet.
Bølgjefunksjonen er ei ståande bølgje.
Om ein kvadrerer absoluttverdien til bølgjefunksjonen får ein sannsynsfordelinga. Denne fortel oss sannsynet for å finna partikkelen i eit visst område for eit gjeve tidspunkt.

Sentrale omgrep

I system der lovane i kvantemekanikken gjeld er det fleire viktige omgrep som gjerne går imot sunn fornuft og kan vere vanskeleg å førestille seg.

Partikkel-bølgje-dualitet

Bølgjefunksjonen representerer ei sannsynsfordeling for kvar ein partikkel er og denne oppfører seg som ei bølgje. Dette betyr at innanfor kvantemekanikken kan ein ikkje sjå på partiklar som punkt i rommet slik ein kan i klassisk fysikk. Partikkelen har ein sjanse til å vere i ein kvar av dei posisjonane som bølgja breier seg over, nokre stadar er det høg sjanse til å finna han, andre stadar er det liten sjanse til å finna han (men ikkje nødvendigvis null), og grunna dette må ein sjå på kvantemekaniske partiklar som eit «område» av sannsyn.

Det at ein kan sjå på partiklar som både punkt og bølgjer, gjev dei ein del spesielle eigenskapar. Den mest kjende av desse er tunnelering. Dette går ut på at partiklar kan under visse omstende tunnelere seg gjennom materie som dei under klassiske forhold ikkje ville hatt energi til å kome gjennom. Dette vert utnytta blant anna i scanning tunneling-mikroskop og tunneldiode

Normaliseringskravet

Når ein reknar med sannsynsfordelingar er det nødvendig at det ein jobbar med er i systemet. Matematisk vert dette formulert som

$\int {|\Psi |}^{2}d^{3}\mathbf {r} =1$

Dette er ikkje ein eigenskap, men eit krav til bølgjefunksjonen. Dersom dette ikkje er oppfylt kan det hende at partikkelen ikkje er i vårt univers, eller at du har fleire partiklar i systemet enn det som var planlagt. Å syte for at ein bølgjefunksjon oppfyller dette kravet kallast å normalisera bølgjefunksjonen.

Målingar og Heisenberg

I klassisk mekanikk har ein partikkel alltid ein eksakt posisjon og ei eksakt rørslemengd. I kvantemekanikken har ikkje partiklar eksakte verdiar for alle eigenskapane sine, og når dei vert målte, får ein eit tilfeldig resultat ut i frå sannsynsfordelinga. Schrödingerlikninga kan brukast til å finna sannsynsfordelingane, men kan ikkje brukast til å føresjå nøyaktig kva verdiar det er snakk om.

Heisenbergs uskarpleiksrelasjon er eit godt døme på denne unøyaktigheita. Han seier at dess betre ein måler posisjonen ( $x$ ) til ein partikkel, dess større vert uvissa i rørslemengda ( $p$ ) , og omvendt. Matematisk vert dette

$\Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}$

Om ein til dømes måler posisjonen til ein partikkel svært nøyaktig, vil ikkje sannsynsfordelinga breie seg over eit stort område lenger, sidan posisjonen no er målt, med ein viss nøyaktigheit. Bølgja vil derfor falle saman til å vere ei smal fordeling rundt der partikkelen er målt til å vere. No ser det verken ut som eller oppfører seg som ei bølgje. Det å ta ei måling av ei sannsynsfordeling, kallast difor å kollapse bølgja.

Kjelder

David J. Griffiths , Introduction to Quantum Mechanics
Schrödinger Equation