De printervriendelijke versie wordt niet langer ondersteund en kan weergavefouten bevatten. Werk uw browserbladwijzers bij en gebruik de gewone afdrukfunctie van de browser.
Eerste twee stappen van de gram-schmidtmethode
De gram-schmidtmethode is een algoritme waarmee in een vectorruimte voorzien van een inproduct van gegeven vectoren, die lineair onafhankelijk zijn, een orthogonaal stelsel wordt gemaakt dat dezelfde deelruimte opspant als de oorspronkelijke vectoren. De methode bepaalt achter elkaar van elke volgende vector de component die orthogonaal is met alle vorige. Die component wordt gevonden door het verschil te bepalen met de projectie op de deelruimte die door de vorige vectoren wordt opgespannen. Door de gevonden vectoren te normeren ontstaat een orthonormaal stelsel.
In een vectorruimte met inproduct zijn de lineair onafhankelijke vectoren gegeven. Er staat hieronder beschreven hoe de gram-schmidtmethode de orthogonale vectoren berekent met dezelfde span als deze vectoren . De vectoren worden in deze beschrijving niet genormeerd:
Vervolgens geldt voor :
De vector is dus gelijk aan waarvan eerst alle componenten zijn afgetrokken die al in de deelruimte liggen, die door de geconstrueerde orthogonale vectoren wordt opgespannen. De formule toont zo ook dat de projectie van op de ruimte opgespannen door die vectoren de som is van de afzonderlijke projecties
Dat is alleen correct als onderling orthogonaal zijn, omdat de projecties anders met elkaar interfereren en er te veel van wordt afgetrokken.
Voorbeeld 1
De drie vectoren
,
in met het gewone inproduct, zijn lineair onafhankelijk en spannen een driedimensionale deelruimte op. In deze deelruimte kan met de gram-schmidtmethode uit de drie gegeven vectoren een orthogonale basis worden bepaald.