Riemann-variëteit

Een Riemann-variëteit is de meest gangbare wiskundige vertaling van het begrip "gekromde ruimte". Een Riemann-variëteit bestaat uit een gladde variëteit waarbij in de raakruimte van elk punt een zekere lengte wordt toegekend aan elke vector. Die lengte berust op de zogeheten metriek, die voor elk punt uit de variëteit een inproduct voorstelt op de raakruimte in dat punt.

Bernhard Riemann, naar wie het begrip genoemd is, onderzocht intrinsieke eigenschappen van oppervlakken en andere gekromde ruimten, d.w.z. eigenschappen die niet afhangen van een inbedding in een hogerdimensionale Euclidische ruimte of van het gebruik van een welbepaald coördinatenstelsel.

Definitie

Zij M een n-dimensionale gladde variëteit, waarvoor in elk punt p een inproduct g_p gedefinieerd is op de raakruimte $T_{p}M$ aan M in het punt p.

In termen van een lokaal coördinatenstelsel $(x^{1},\ldots ,x^{n})$ wordt het inproduct volledig vastgelegd door wat het met de basisvectoren ${\partial \over \partial x^{1}},\ldots ,{\partial \over \partial x^{n}}$ doet. Noteer

$g_{ij}=\langle {\partial \over \partial x^{i}},{\partial \over \partial x^{j}}\rangle$

Als de $n^{2}$ functies $g_{ij}$ glad (onbeperkt differentieerbaar) zijn in hun afhankelijkheid van $p$, d.w.z. als functies van $(x^{1},\ldots ,x^{n})$ heet g een Riemann-metriek op M en het paar $(M,g)$ een Riemann-variëteit.

Technisch kan men $g$ beschouwen als een sectie van de bundel $T^{*}M\otimes T^{*}M$ (tweederangs-cotensoren), waar $T^{*}M$ de corakende bundel van $M$ is.

Voorbeelden

De Euclidische ruimte $\mathbb {R} ^{n}$ is zelf een gladde variëteit, en de raakruimte in ieder punt $p\in \mathbb {R} ^{n}$ is een kopie van $\mathbb {R} ^{n}$. Door elk van deze vectorruimten uit te rusten met het standaard inproduct

$\langle (x^{1},\ldots ,x^{n}),(y^{1},\ldots ,y^{n})\rangle =\sum _{i=1}^{n}x^{i}y^{i}$

wordt de Euclidische ruimte zelf een Riemann-variëteit. De identieke transformatie is een kaart van $\mathbb {R} ^{n}$, en ten opzichte van dat coördinatenstelsel is

$g_{ij}=\delta _{ij}$

waar we $\delta _{ij}$ noteren voor de Kronecker delta: 1 als $i=j$, 0 als $i\neq j$.

Als niet-triviaal voorbeeld beschouwen we $S^{2}$, de eenheidssfeer in $\mathbb {R} ^{3}$. De raakruimte van $S^{2}$ in een punt $p$ kan gemodelleerd worden door het overeenkomstige raakvlak aan $S^{2}$ in $\mathbb {R} ^{3}$. Als oorsprong van de vectorruimte $T_{p}S^{2}$ nemen we het raakpunt $p$ zelf.

Deze raakruimten erven het inproduct van de Euclidische ruimte $\mathbb {R} ^{3}$ zoals beschreven in het vorige voorbeeld.

Beschouw de kaart op (een deel van) $S^{2}$ die gedefinieerd wordt door de twee hoeken van de bolcoördinaten: $\phi$ is het azimut ten opzichte van de $X$-as, en $\theta$ de elevatie ten opzichte van het XY-equatorvlak (vgl. met geografische lengte resp. geografische breedte).

In een gegeven punt $p(\phi _{0},\theta _{0})$ vormen de basisvectoren ${\partial \over \partial \phi }$ en ${\partial \over \partial \theta }$ weliswaar een orthogonale basis, maar geen orthonormale basis. De vector $e_{\theta }={\partial \over \partial \theta }$ is een eenheidsvector, maar de vector $e_{\phi }={\partial \over \partial \phi }$ heeft lengtekwadraat

$\langle {\partial \over \partial \phi },{\partial \over \partial \phi }\rangle =g_{\phi \phi }=\cos ^{2}\theta$

Afgeleide begrippen

Met behulp van de metriek $g$ worden uiteindelijk alle verdere lokale begrippen uit de differentiaalmeetkunde gedefinieerd. Enkele voorbeelden:

• De lengte van een kromme op $M$ wordt gedefinieerd als de integraal van de lengte van haar afgeleide (de afgeleide is overal een vector van de raakruimte). Hierdoor wordt elke (samenhangende) Riemann-variëteit een metrische ruimte. De topologie van deze metrische ruimte is dezelfde als die van de onderliggende topologische variëteit.
• Christoffelsymbolen en de ermee verbonden tensoriële krommingsbegrippen (krommingstensor van Riemann, Ricci-kromming, scalaire kromming)
• Parallel transport en de Levi-Civita-verbinding
• geodeet, als veralgemening van de rechte lijnen in de Euclidische ruimte
• het volume-element en de integratie van differentiaalvormen

Veralgemeningen

Een belangrijk deel van de differentiaalmeetkunde blijft nog overeind als we veronderstellen dat de symmetrische bilineaire vorm $g$ niet noodzakelijk positief definiet, maar wel overal niet-ontaard is in de zin dat de determinant van de bijhorende vierkante matrix der functies $g_{ij}$ nergens nul is.

Een dergelijke constructie $(M,g)$ heet semi-Riemann-variëteit.

Als de determinant nergens nul is, en $M$ is samenhangend, dan is de index van $g$ constant (als hij constant 0 is, dan is $g$ positief definiet en hebben we een gewone Riemann-variëteit).

Een Lorentz-variëteit is een semi-Riemann-variëteit waarvan de metrische tensor overal index 1 heeft, d.w.z. dat één van de eigenwaarden negatief is, en alle andere positief. Meestal wordt aangenomen dat de dimensie minstens 2 bedraagt.

Lorentz-variëteiten modelleren de ruimte-tijd in de speciale en in de algemene relativiteitstheorie.