Lijn (meetkunde)

rechte aaneenschakeling van punten
(Doorverwezen vanaf Rechte)

Een lijn of rechte is een eendimensionale structuur zonder kromming, bestaande uit een continue onbegrensde aaneenschakeling van punten. Een lijnstuk is de kortste verbinding tussen twee punten. In Vlaanderen wordt rechte meer gezegd dan lijn.

Afhankelijk van de context worden in de wiskunde verschillende definities gebruikt. Een nauwkeurige definitie van een lijn en van een punt geven is echter moeilijk, daarom worden in de meetkunde lijnen en punten als basisbegrippen beschouwd. In de wiskunde strekt een lijn zich tot in het oneindige uit en is per definitie recht. Een kromme is een lijn, die niet recht is, en is volgens de hier gegeven definitie geen lijn.

Er zijn drie soorten rechten te onderscheiden:

  • de lijn, een rechte die aan beide kanten onbegrensd doorloopt,
  • een halve lijn, ook wel halfrechte of straal, aan één kant begrensd, aan de andere kant oneindig doorlopend en
  • een lijnstuk, begrensd door twee punten, met een lengte.

Representatie

bewerken
 
Drie lijnen in het  -vlak

Er zijn verscheidene manieren om een lijn vast te leggen:

  • door twee punten   en   van de lijn te geven, ligt de lijn vast,
  • een andere veelgebruikte methode is een punt   op de lijn en een richtingsvector   te geven,
  • door in een cartesisch assenstelsel een vergelijking van de lijn te geven en
  • met poolcoördinaten.

Parametervorm

bewerken

Als in een  -assenstelsel de punten   en   gegeven zijn door:

 ,

is

 

de parametervergelijking van die lijn.

Dit kan ook als

 ,

worden geschreven, wat overeenkomt met de voorstelling door middel van het punt   en de richtingsvector  .

Voor de beide coördinaten geldt:

 
 

Richtingsvector

bewerken

Als in een  -assenstelsel het punt   en de richtingsvector   gegeven zijn door:

  en  ,

wordt de lijn in geparametriseerde vorm bepaald door:

 ,

dus door

 
 

Vergelijking van een lijn

bewerken

Door eliminatie van de parameter   ontstaat de algemene vergelijking voor een lijn in het  -assenstelsel:

 

Deze kan voor   worden geschreven als:

 

Voor   is de lijn evenwijdig aan de  -as. De vergelijking is:

 

Daarin is   de richtingscoëfficiënt en   het intercept, de  -waarde van het snijpunt van de lijn met de  -as.

Normaalvergelijking van Hesse

bewerken

De normaalvergelijking van Hesse beschrijft een lijn   door middel van een eenheidsvector   en een reëel getal  . De vector   is een normaalvector van   met lengte een en   is de afstand van   tot de oorsprong. Het inproduct van   en een punt   op   is volgens de vergelijking gelijk aan  :

 

Hierin is   en is   een richtingsvector van  .

Poolcoördinaten

bewerken

De vergelijking in poolcoördinaten   van een lijn in het platte vlak die niet door de oorsprong gaat is  , waarbij   de afstand van de lijn tot de oorsprong is en  de richting loodrecht op de lijn.

Drie dimensies

bewerken

Op dezelfde manier geldt in drie dimensies voor de lijn door het punt   met richtingsvector  , gegeven door:

  en  ,

de geparametriseerde vorm:

 

De coördinaatfuncties zijn:

 
 
 

De parameter   kan ook weer hieruit worden geëlimineerd door de lijn als de snijlijn van twee vlakken op te vatten en er aan de beide vergelijkingen voor de vlakken moet worden voldaan:

 
 

Dragers

bewerken

De drager van een lijnstuk is de lijn door de eindpunten van dat lijnstuk. Deze definitie geldt ook voor de lijn door het begin- en het eindpunt van een vector.

De definitie van een vlakkenwaaier in drie dimensies is de verzameling van alle vlakken door de snijlijn van twee gegeven snijdende vlakken. Die snijlijn heet ook de drager van de vlakkenwaaier.

Websites

bewerken