Prava (geometrija)

Prava je jedan od osnovnih geometrijskih pojmova. Njena definicija daje se aksiomatski.

Njemački naučnik Leibniz definirao je pravu kao liniju koja dijeli ravan na dva kongruentna dijela, međutim, pod ovu definiciju potpadaju i druge linije – naprimjer, sinusoida i svaka pravilna izlomljena linija čija su svaka dva segmenta na preskok – paralelna.

Matematičkim jezikom liniju (ili pravu liniju) možemo definirati kao skup tačaka u ravni. Liniju možemo sebi najlakše predstaviti kao niz tačaka gusto poredanih jednu uz drugu. Ili, ako na monitoru računara zatamnjujemo piksele jedan za drugim, red piksela stvorit će liniju. Linija mora sadržavati više od jedne tačke, a može ih imati beskonačno mnogo. U euklidskoj geometriji tačno jedna linija može prolaziti kroz bilo koje dvije tačke. Prava linija predstavlja najkraći put između dvije tačke.

U dvodimenzionalnom prostoru, kao što je ravan, dvije različite linije moraju biti paralelne ili se moraju sjeći u nekoj tački.

Osobine prave

kroz bilo koju tačku ravni može se povući beskonačno mnogo pravih
Svake dvije različite tačke pripadaju jednoj i samo jednoj pravoj.
Svaka prava sadrzi najmanje dvije zajednicke tačke
Dvije različite tačke su uvijek kolinearne
Dvije različite prave ravni mogu se sjeći ili da budu paralelne
Dvije različite prave prostora mogu se sjeći. biti paralelne ili mimoilazne.
Prava je algebarska kriva I stepena

Definicija

Grčki matematičar Euklid u knjizi Elementi dao je definiciju linije:

Linija je dužina bez širine.
Krajevi linije su tačke.
Prava linija je ona koja za sve tačke podjednako leži.

Arhimedova aksioma

Od svih linija s istim krajevima prava je linija najkraća.

Prava kao jedan od osnovnih elemenata geometrije ne definira se. Njene osobine daju se aksiomima.

Svake dvije različite tačke pripadaju jednoj i samo jednoj pravoj;
Svaka prava sadrži najmanje dvije zajedničke tačke;
Dvije tačke uvijek su kolinearne.

Analitičke definicije

Posmatrajmo pravu u Descartesovom koordinantnom sistemu. Pravu možemo definirati kao geometrijsko mjesto tačaka, gdje Descartesove koordinate zadovoljavaju jednačinu

$ax+by+c=0$ , gdje parametri a, b, c ne mogu biti istovremeno jednaki nuli.

Prava se u pravougaonom koordinatnom sistemu može zadati na jedan od tri načina:

Pomoću odsječka b na ordinati i ugla $\alpha$ koji gradi prava sa pozitivnim pravcem apscise.

Jednačina prave je $y=mx+b$ gdje je $m=\tan \alpha$ i često se zove opća jednačina prave. Obično se kod ovakve jednačine m zove koeficijent pravca, a b je odsječak ordinate.

Pomoću odsječaka b i c koje prava odsijeca na koordinatnim osama.

Jednačina prave gdje je ${\frac {y}{b}}+{\frac {x}{c}}=1$ zove se segmentna.

Pomoću njenog rastojanja do koordinatnog početka p i ugla $\omega$ koji gradi to rastojanje s pozitivnom stranom apscise.

Normalna jednačina prave se zove jednačina oblika $y\sin \omega +x\cos \omega -p=0\,$

Prava u 3D- i višedimenzionalnom prostoru

Ako je dat skup tačaka $a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ $;a=M+\lambda {\overrightarrow {v}}$ ,

$M=(m_{1},m_{2}\dots ,m_{n})\in R^{n}$ - proizvoljna tačka prave.
${\overrightarrow {v}}=(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})\in R^{n}$ - vektor koji označava pravac prave. Ako se ove tačke poklapaju, imamo nula vektor,

$\lambda \in R$ - parametar.

Parametarska jednačina

Parametarska jednačina prave glasi:

$a_{1}=p_{1}+\lambda v_{1}\;;\;a_{2}=p_{2}+\lambda v_{2}\;;\;\dots \;;\;a_{n}=p_{n}+\lambda v_{n}$

Ako u ovoj jednačini eliminišemo parametar λ dobijamo kanonsku jednačinu prave

${\frac {a_{1}-p_{1}}{v_{1}}}={\frac {a_{2}-p_{2}}{v_{2}}}=\dots ={\frac {a_{n}-p_{n}}{v_{n}}}$

Tačka i prava u prostoru

Neka su dati tačka M i prava a = A + αv takve da je

$M,A,{\overrightarrow {v}}\in R^{n}\;,\;\alpha \in R$ .

Za njihov međusobni položaj vrijedi

Tačka ne pripada pravoj, ako nе postoji α za које је {P = A + αv}
Tačka pripada pravoj, ako postoji α za које је {P = A + αv}

Udaljenost tačke od prave

Udaljenost tačke od prave jednaka je dužini udaljenosti između zadane tačke M и njene normalne projekcije M' na pravu a, tj ovdje je vektor MM' normalan na vektor prave v.

$M'=A+\alpha v$
tj. $d(M,a)=|MM'|$ .

Ako je vrijednost ovog izraza nula dobijamo:

${\overrightarrow {MM'}}\cdot v=0$ ( skalarni proizvod)

U prostoru $R^{3}$ važi:

$d(P,a)={\frac {|{\overrightarrow {AP}}\times v|}{|v|}}$ vektorski proizvod i intenzitet vektora).

Prava i kružnica

Posmatrajmo kružnicu k(O, r), proizvoljnu tačku N na toj kružnici, centralnu pravu koja prolazi kroz N označimo sa n i konstruišimo normalu p na prvu n u tački N.

ON je rastojanje prave p od centra O jednako je radiusu r. Rastojanje bilo koje druge tačke X od prave p veće je od radiusa r , a to znači da je X izvan kružnice i osim tačke n nemaju zajedničkih tačaka. Svaka druga prava koja prolazi tačkom N sa kružnicom ima još jednu zajedničku tačku.

Definicija

Pravu koja sa kružnicom ima jednu i samo jednu zajedničku tačku nazivamo tangentom kružnice u toj tački. Pravu koja sa kružnicom ima dvije zajedničke tačke nazivamo sječicom (sekantom) kružnice.

Teorema

Normala u datoj tački kružnice na centralnu pravu koja prolazi kroz tu tačku je tangenta kružnice. Svaka druga prava koja prolazi kroz tu tačku je kružnice je sekanta kružnice. U svakoj tački kružnice postoji jedna i samo jedna tangenta.

Teorema

Neka je ON rastojanje prave p od centra O kružnice k(O, r) tada:

ON = r < = > p ∩ k ={N} p je tangenta kružnice k
ON > r < = > p ∩ k p je u vanjskoj oblasti kružnice k
ON < r< = > p ∩ k ={A, B} p je sekanta kružnice

Teorema

Geometrijsko mjesto centara kružnica koje dodiruju datu pravu a u datoj tački A te prave je normala n na tu pravu u toj tački.

Dvije prave u prostoru dimenzije 3 ili veće

Dvije prave a = A + αv i b = B + βu u $R^{n}$ mogu da zauzimaju sljedeće položaje, jedna u odnosu na drugu:

mogu biti identične, ako $A\in b\lor B\in a)\land v=ku,k\in R\setminus \left\{0\right\}$ .
mogu biti paralelne, ako ( $(A\notin b)\land v=ku,k\in R\setminus \left\{0\right\}$
mogu da se sijeku, ako važi $v\neq ku,k\in R\setminus \left\{0\right\}$ i jednačina A + αv = B + βu ima jednoznačno rješenje po α i β. Tačka presjeka I će u ovom slučaju biti -{I = A + αv = B + βu}
mogu biti mimoilazne ako važi $v\neq ku,k\in R\setminus \left\{0\right\}$ ali jednačina -{A + αv = B + βu} nema rješenja.

Specijalno u $R^{3}$ $v=ku,k\in R\setminus \left\{0\right\}$ može zameniti sa $v\times u=0$

Udaljenost dvije pralelelne prave

Udaljenost dvije paralelne prave se određuje kao udaljenost proizvoljne tačke P jedne od dvije prave od njene projekcije P' na drugu pravu.

$A'=B+k{\overrightarrow {v}},k\in R\;\land \;AA'\bot v$ .

Udaljenost između tačaka A i A' će biti jednako udaljenosti između paralelnih pravi a i b.

Rastojanje dve paralelne prave u R³

U trodimenzionalnom prostoru ovaj postupak je nešto lakši. Ako su dvije prave a i b paralelne, njihovo rastojanje je jednako visini paralelograma koga grade vektori

${\overrightarrow {AB}}$ и ${\overrightarrow {v}}$

Ona se jednaka količnku površine ovog paralelograma (intenzitet vektorskog proizvoda) i intenziteta vektora v.

$d(a,b)={\frac {|{\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {v}}|}{|{\overrightarrow {v}}|}}$

Udaljenost dvije mimoilazne prave

Udaljenost dvije mimoilazne prave je i minimalna udaljenost između tačaka koje ih čine. Jedan od načina da se ono nađe je da se predstavi vektor između njih, i zatim nađe za koje parametre pravih će njegova veličina biti minimalna. Neka je ovaj vektor w, i opšte tačke pravih P i Q. Biće

$P=A+\alpha v=(A_{1}+\alpha v_{1},A_{2}+\alpha v_{2},...,A_{n}+\alpha v_{n}),\alpha \in R$ $Q=B+\beta u,\beta \in R$

Intenzitet vektora ${\overrightarrow {AB}}$ će biti

$|{\overrightarrow {AB}}|=f(\alpha ,\beta )={\sqrt {(A_{1}+\alpha v_{1}-B_{1}-\beta u_{1})^{2}+\dots +(A_{n}+\alpha v_{n}-B_{n}-\beta u_{n})^{2}}}$

Kako korijen ne utiče na vrijednost koju parametri α i β imaju pri maksimalnoj vrijednosti izraza, korijen se ovdje može izbaciti. Sljedeći korak biće traženje prvih izvoda izraza

$f(\alpha ,\beta )$ po α i po β. Tako ćemo dobiti sistem od dvije jednačine sa dvije nepoznate, α i β, koji se da riješiti.

${\begin{cases}f(\alpha ,\beta )'_{\alpha }\\f(\alpha ,\beta )'_{\beta }\end{cases}}$

Kada se odavde dobijene vrijednosti α i β vratimo u jednačine pravih a i b, respektivno, rezultujuće koordinate će predstavljati tačke, $P_{0}$ i $Q_{0},$ čija je udaljenost minimalna udaljenost između ove dvije prave.

$d(a,b)=d(P0,Q0)$

Udaljenost dvije mimoilazne prave u R³

Specijalno u slučaju $R^{3}$ je situacija jednostavnija i može se se riješiti preko mješovitog proizvoda.

$d(a,b)={\frac {|[{\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {v}},{\overrightarrow {u}}]|}{|u\times v|}}$

Prava u kompleksnoj ravni

$ab\|cd$ ako i samo ako ${\frac {a-b}{{\bar {a}}-{\bar {b}}}}={\frac {c-d}{{\bar {a}}-{\bar {d}}}}$
a, b, c kolinearne ako i samo ako ${\frac {a-b}{{\bar {a}}-{\bar {b}}}}={\frac {a-c}{{\bar {a}}-{\bar {c}}}}$
$ab\perp cd$ ako i samo ako ${\frac {a-b}{{\bar {a}}-{\bar {b}}}}=-{\frac {c-d}{{\bar {a}}-{\bar {d}}}}$
$\phi =\angle acb$ (od a do b u pozitivnom smeru) ako i samo ako ${\frac {c-b}{|c-b|}}=e^{i\phi }{\frac {c-ab}{|c-a|}}$