Геометриска средина

Геометриската средина претставува облик на средна вредност со која се изедначуваат релативните или пропорционалните разлики во вредностите на белегот. Геометриската средина е корисна во пресметување на просек од проценти, индекси или стапки на растеж. Геометриската низа е таква низа каде што секој член после првиот е добиен со мултиплицирање на претходниот член со некоја константа q ( q≠0).

q=a₂/a₁ =a₃/a₂ =⋯=a_n/a_(n-1)

Каде што:

• q - константа
• a₁ - прв член
• a₂ - втор член
• a₃ - трет член
• a_(n-1) - член пред последниот n –ти член
• a_n - последен n член

Односно :

a₁,a₁ q,a₁ q^²,....a₁ q^(n-1),a₁ qⁿ

За да се најде n –ти член од низата се користи формулата:

a_n= aq ^(n-1)

Геометриската средина е често користена кога се врши споредување на различни членови односно да се најде една средина помеѓу членовите - кога секој член има повеќе својства кои имаат различни бројчени движења. При нејзино пресметување може да се добијат само позитивни броеви. Геометриската средина е секогаш помала или еднаква со аритметичка средина но никогаш не е поголема од неа. Таа се употребува за: растот на човечката популација, заинтересираноста за финансиски инвестиции и сл. Геометриската средина што се пресметува од негрупирани податоци се нарекува проста геометриска средина. Се пресметува според формулата :

Mg=^N√(x₁∙x₂∙…∙x_n )

Каде што :

• Mg -Геометриска средина
• x₁ -Првиот податок
• x_n -Последниот податок
• N -Број на податоци

Со логаритмирање на формулата се добива:

logMg=1/N (logx₁+logx₂+⋯+logx_N )=(∑ logx_i )/N

Со антилогаритмирање:

Mg=anti log(log Mg)

Пример 1 : Да се одреди просечниот пораст на продадени автомобили во Македонија со податоците од следнава табела:

Година	Број на продадени(000)автомобили(xi)	Log xi
2009	238	2,376
2010	324	2,510
2011	498	2,697
Вкупно	-	7,583

logMg=(∑ logx_i )/N= 7,583/3=2,528 ,

Mg= anti log(logMg)= 337,29

Објаснување: Просечниот број на продадени автомобили е 337,29.

Доколку сакаме да пресметаме просечен растеж тогаш користиме Верижни индекси или Среден годишен релативен растеж.

Геометриската средина пресметана од групирани податоци се нарекува геометриска пондерирана средина. Се пресметува со формулата:

Mg=^N√(x^{(f₁ )}∙x^{(f₂ )}∙… ∙x^{(f_n )} )

Каде што:

• Mg - Геометриска средина
• x₁ - Првиот податок
• x_n - Последниот податок
• f_(1,2,3…n) - Број на честоти
• N - Број на податоци

Со логаритмирање се добива:

logMg=(∑^k_(i=1) f_i ∙logx_i )/N

Со антилогаритмирање:

Mg= anti log(logMg)

Пример 2 : Определи ја просечната плата на работниците во 2012 година. Податоците се дадени со следнава табела:

Плата на работници во 000 ден.( xi)	Број на работници(fi)	Средина на xi	Log xi	fi∙logxi
10-15.9	70	12,95	1,1123	77,861
16-21.9	66	37,9	1,5786	104,188
22-27.9	59	24,95	1,3970	82,423
Вкупно	-	-	-	264,472

logMg=(∑^k_(i=1) f_i ∙logx_i )/N= 264,472/3= 88,157

Mg= anti log(logMg )= anti log88,157=1.435