Simetrija

Simetrija (gr. συμμετρία = symmetria 'vienodai matuojamas, proporcingas, suderintas^[1], atitikimas, darna') reiškia harmoniją, darnumą ir grožį reiškiančią proporciją ir suderinimą, dalių pusiausvyrą ir tarpusavio atitikimą. Pavyzdžiui Aristotelis dangaus kūnus laikė sferiniais objektais, taip suteikdamas geometrinei simetrijos prasmei natūralios tvarkos pobūdį ir, tuo pačiu, siekdamas parodyti kosmoso tobulumą.

Veidrodinės simetrijos ir asimetrijos pavyzdžiai

Fraktalinis pavidalas, pasižymintis **veidrodine simetrija**, **sukimo simetrija** ir **savipanašumu**, trimis simetrijos formomis. Šis pavidalas gautas, taikant *baigtinio dalijimo taisyklę*.

Matematikoje ir kituose moksluose simetrija – tai objekto savybė, kai pokyčio (atspindėjimo, ar kitokios simetrinės transformacijos) metu objektas gali išlikti invariantiškas (nepakitęs). Nors kasdienės ir mokslinės simetrijos prasmės gali atrodyti nutolusios viena nuo kitos, iš tiesų, jos yra susijusios, todėl galima jas nagrinėti kartu. Taip, pavyzdžiui, kūno sferinė simetrija reiškia, kad kūną, kuris pasižymi tokia simetrija, pasukant erdvėje aplink nejudantį tašką, jo forma ir dydis nepasikeičia. Veidrodinė simetrija reiškia, kad dešinioji ir kairioji objekto pusės atrodo visiškai vienodai, tai yra, kūno vaizdas ir jo veidrodinis atspindys sutampa. Gamtoje dažnai aptinkama biologinė simetrija yra apytikslė simetrija.

Matematinę simetriją galima stebėti:

laiko tėkmės atžvilgiu;
kaip erdvinį santykį;
atliekant geometrines transformacijas, pavyzdžiui,
- keičiant geometrinio kūno mastelį;
- sukuriant geometrinio kūno atspindį;
- pasukant geometrinį kūną;
- atliekant įvairias kitokias funkcines transformacijas;

o taip pat kaip savybę, kurią galima įžvelgti studijuojant įvairius reiškinius:

abstrakčius objektus;
teorinius modelius;
kalbas, muziką, meną apskritai;
žinias ir kt.

Simetriški objektai gali būti tiek apčiuopiami materialūs kūnai: žmonės, gyvūnai, augalai, o ypač kristalai, audimo raštai, grindų klojiniai, taip pat molekulės, tiek, kaip jau minėta, abstrakčios struktūros: matematinės lygtys ar muzikos garsų eilės.

Simetrija matematikoje

Geometrinė simetrija

Triskelionas pasižymi trečios eilės (trispindule) sukimo simetrija.

Geometrinis kūno pavidalas yra simetriškas, jei kūną galima padalinti į dvi ar daugiau tapačių dalių, kurios vėl susijungia į taip pat organizuotą kūną.^[2] Tai reiškia, kad kūnas yra simetriškas, jei egzistuoja toks poslinkis, kuriuo figūra atvaizduojama į ją pačią, arba toks figūros padėties pokytis, kuriam pasibaigus, figūros vaizdas lieka nepakitęs. Simetrijos tipai skiriami pagal tai, kaip yra organizuotos kūno dalys arba pagal simetrinio pokyčio pobūdį:

Veidrodinė simetrija (dar vadinama atspindėjimo simetrija) yra tada, kai yra tokia simetrijos linija, einanti per objektą, kuri dalina jį į dvi dalis, kurios yra viena kitos veidrodiniai atspindžiai.
- Veidrodinės simetrijos atskiras atvejis yra bilateralinė (dvišonė) simetrija, kuri taikoma biologiniams objektams, kai jie tik apytiksliai tenkina veidrodinės simetrijos sąlygas.
Sukimo simetrija yra tada, kai objektą galima pasukti (apie simetrijos ašį) taip, kad bendras objekto pavidalas nepasikeistų. Sukimo simetrija yra svarbi briaunainių (ypač tolygiųjų) savybė. Sukimo simetrija reikalauja pasukti figūrą tam tikru kampu, kol vaizdas pasidarys tapatus pirminiam. Šis kampas nusako sukimo simetrijos eilę, arba stebėjimo spindulių skaičių. Pavyzdžiui, ant pagrindo pastatytą tetraedrą pasukus 120 laipsnių jo pavidalas liks toks pat, vadinasi, šiai figūros padėčiai būdinga trečios eilės sukimo simetrija (120=360/3), kitaip trispindulė simetrija; kubas, pasuktas 90 laipsnių, vėl atrodys taip pat, todėl šiai kubo padėčiai būdinga ketvirtos eilės sukimo simetrija (90=360/4), kitaip keturspindulė simetrija; ir pan.
Poslinkio simetrija yra tada, kai objektą galima pastumti kuria nors kryptimi taip, kad bendras objekto pavidalas nepasikeistų.
Sraigtinė simetrija yra tada, kai objektą vienu metu galima pastumti ir pasukti trimatėje erdvėje pagal liniją, vadinamą sraigto ašimi, taip, kad bendras objekto pavidalas nepasikeistų.
Mastelio simetrija yra tada, kai objektą didinant arba mažinant (keičiant mastelį), jo bendras pavidalas nepasikeičia. Ši simetrija yra svarbi nagrinėjant fraktalus, nes vienas iš jų būdingų požymių ir yra tas, kad mažų fraktalo dalių pavidalas yra matematiškai panašus į didesnių dalių pavidalą.
Yra ir kitų simetrijos tipų: slenkamojo atspindžio ir sukamojo atspindžio.

Visų figūros simetrinių pokyčių aibė sudaro tos figūros simetrijos grupę.^[3] Svarbią reikšmę turi briaunainių simetrijos grupės: tetraedrinė simetrija, oktaedrinė simetrija ir ikosaedrinė simetrija

Loginių išraiškų simetrija

Dvinaris santykis R yra simetriškas, jei ir tik jei santykis Rab reiškia, kad teisingas ir santykis Rba.^[4] Taigi, jei teiginys „yra to paties amžiaus“ yra simetriškas, tada teiginys „Paulius yra tokio paties amžiaus kaip Marija“ reiškia, kad Marija yra to paties amžiaus kaip Paulius.

Simetriškais laikomi šie loginiai santykiai: loginė konjunkcija IR (∧ arba &), loginė disjunkcija ARBA (∨ arba |), loginis ekvivalentiškumas JEI IR TIK JEI (↔), taip pat sudėtiniai, loginės konjunkcijos neigimas NE-IR (⊼), loginio ekvivalentiškumo neigimas (⊻), loginės disjunkcijos neigimas NE-ARBA (⊽).

Apibendrinta (matematinė) simetrija

Apibendrinant aukščiau aptartus geometrinės simetrijos teiginius, galima sakyti, kad matematinės operacijos objektas yra simetriškas, jei taikant šią operaciją (pastumiant, pasukant), nepakinta tam tikra objekto savybė, dažniausiai, pavidalas.

Bendru atveju, kiekviena matematinė struktūra pasižymi tam tikra simetrija. Pavyzdžiui, algebros lyginės ir nelyginės funkcijos; abstrakčiosios algebros simetrinės grupės; tiesinės algebros simetriškos matricos ir kt. Statistikoje dažnai nagrinėjamas statistinio pasiskirstymo simetriškumas arba asimetriškumas. Matematinei simetrijai taikoma kiek kitokia (universalesnė) tipologija nei geometrinei^[5]:

Taškinė simetrija (simetrija išorinio taško atžvilgiu) – kai yra dvi figūros ir toks taškas tarp jų, kad vieną figūrą pasukus aplinkui šį tašką 180 laipsnių, figūros sutaps. Kitaip tariant, taškas šalia figūros yra tarsi veidrodis, sukuriantis atvirkščią pirmosios figūros atvaizdą. Šis taškas vadinamas inversinės simetrijos centru.
Centrinė simetrija (simetrija vidinio taško atžvilgiu) – kai yra toks taškas figūros viduje, kuris tiesės atkarpas, jungiančias priešingose pusėse esančius elementus, visada dalija pusiau. Paprastai šis taškas sutampa su figūros centru ir kartu gali būti vadinamas simetrijos centru.
Ašinė simetrija (simetrija tiesės atžvilgiu) – kai yra tokia tiesė, kuri dalija figūrą į vienodus atspindžius. Ši tiesė vadinama figūros simetrijos ašimi. Erdvės ašinė simetrija yra posūkis 180 laipsnių aplinkui simetrijos ašį.
Simetrija plokštumos atžvilgiu – kai yra tokia plokštuma, kuri erdvinę figūrą dalija į vienodus atspindžius.
- Ašinė simetrija (Plokštumos atveju) ir simetrija plokštumos atžvilgiu (erdvės atveju) dar vadinama veidrodine simetrija, kuri jau minėta aukščiau.
Poslinkio simetrija (slenkamasis atspindys) – kai kartu vyksta plokštumos ašinė simetrija ir lygiagretus postūmis simetrijos ašies kryptimi.
Įstrižoji (perstumta ašinė simetrija) – kai simetrijos ašies atžvilgiu vienodi atspindžiai yra perstumti vienas kito atžvilgiu.

Simetrija kituose moksluose ir gamtoje

Fizikoje

Fizikoje simetrijos samprata yra apibendrinta ir dažniausiai reiškia invariantą – nepakitimą transformacijos metu. Pavyzdžiui, kubinė kristalinė gardelė pasižymi dideliu erdviniu simetriškumu: ji turi net 48 simetrijos elementus, tai yra, simetrijos centrą, antros, trečios ir ketvirtos eilės sukimo (simetrijos) ašis ir atspindžio plokštumas. Simetrijos samprata tapo viena galingiausių teorinės fizikos priemonių, nes dabar jau laikoma savaime suprantamu dalyku, kad, praktiškai, visi gamtos dėsniai yra simetriški. Šis faktas paskatino 1977 m. Nobelio fizikos premijos laureatą Filipą Andersoną (Philip Warren Anderson) parašyti: „Galima sakyti, visiškai neperdedame, teigdami, kad visa fizika tėra simetrijos studijavimas“.^[6] Galima paminėti Emės Nėter teoremą (kuri, labai supaprastinus, teigia, kad kiekvieną tolydžią matematinę simetriją atitinka kiekybinis tvarumas)^[7]; arba Vignerio klasifikaciją, pagal kurią fizikos dėsnių simetriškumas apsprendžia gamtoje egzistuojančių elementariųjų dalelių savybes.^[8]

Fizikiniu požiūriu svarbios yra įvairios simetrijos atmainos, kaip tolydinė ir diskrečioji erdvėlaikio simetrija; vidinė elementariųjų dalelių simetrija; fizikos teorijų supersimetrija ir kt.

Biologijoje

Daugeliui gyvūnų apytiksliai yra būdinga išorinė veidrodinė simetrija, nors vidaus organai paprastai būna išsidėstę asimetriškai.

„Dvipusiai“, arba bilateraliniai, gyvi padarai, tarp jų ir žmonės, yra apytikriai simetriški sagitalinės plokštumos (dalijančios kūną išilgai į dešinę ir kairę pusę) atžvilgiu.^[9] Gyvūnai, kuriems būdinga judėti viena kryptimi, neišvengiamai turi viršutinę (priekinę) ir apatinę (galinę) pusę, galvą ir kojas (uodegą), todėl turi ir kairę bei dešinę pusę. Tokių gyvūnų galva tampa specializuota (viršutine, priekine) kūno puse, turinčia burną ir jutimo organus, o tokio kūno kairė ir dešinė pusės tampa apytikriai simetriškos (bilateralinė simetrija), kad galėtų judėti viena kryptimi, kartu daug maž simetriški ir vidiniai judėjimo organai (raumenys, griaučiai). Kita vertus, vidaus organai dažniausiai būna asimetriški.^[10]

Augalai ir nejudrūs (prisitvirtinę) gyvūnai (pavyzdžiui, jūrose gyvenančios aktinijos) dažnai pasižymi spinduline (sukimo) simetrija, kuri jiems naudinga tuo, kad nejudant yra svarbu galėti maistą stverti iš visų pusių, taip pat, svarbu gebėti iš visų pusių pajusti pavojų. Penktos eilės sukimo simetrija būdinga dygiaodžiams, prie kurių priskiriamos jūrų žvaigždės, jūrų ežiai, jūrų lelijos ir kiti gyviai.^[11]

Chemijoje

Simetrija yra svarbi chemijoje, kadangi cheminės aplinkos ar pačių cheminių reagentų simetriškumas turi įtakos, kaip natūraliomis sąlygomis vyksta molekulių sąveika. Moderni cheminė sintezė remiasi tuo, kad mokslas ir pramonė išmoko valdyti molekulių simetriškumą – taip atsirado galimybės kurti vaistus, sukeliančius minimalų pašalinį poveikį. Kuo tikslesnis simetrijos supratimas leidžia atlikti fundamentinius kvantinės chemijos tyrimus, taip pat yra teorinis pamatas tokiose artimose chemijai srityse kaip spektroskopija ir kristalografija.

Simetrija žmonių gyvenime

Žmonių gyvenime dažnai pastebime įvairių aplinkybių visumos simetriškumą (neretai, kaip subalansuotą asimetriškumą). Tai būdinga abipusio palankumo ir nepalankumo atvejais, kai pasireiškia empatija, atjauta, užuojauta, atsiprašymas, pagarba, kai vyksta pokalbis, kai susiduriame su teisingumu ir bausme. Apgalvotas kompromisas yra tokia simetriška pusiausvyra, kurios galima pasiekti, kai abi bendraujančios (besiginčijančios) pusės savo išskirtinius sprendimus tyčia derina prie bendrų sutarimo principų – tokie simetriški kompromisai neišvengiami daugelyje žmogaus veiklos sričių, nuo prekybos iki teisės. Abipusis ar net daugiapusis poelgių simetriškumas perduoda dorovinę žinią, kad „mes esame vienodi“; kita vertus, kai elgesys yra asimetriškas (kai nesiekiama kompromiso, kai primetama kito valia) perduodama žinia, kad „aš esu ypatingas, kad „aš – geresnis už tave“, ir panašiai.^[12] Žmonių visuomenės ir atskiro asmens simetriškumas yra vertybė, kurią galima ugdyti specialiais psichologiniais ir sociologiniais metodais, pavyzdžiui, strateginiais žaidimais, vaidmenų žaidimais, saviugda.

Įdomų žmogaus mąstymo (kalbos), net paties gyvenimo, simetriškumą galima įžiūrėti socialiniuose tinkluose klaidžiojančioje „minčių grandinėje“, iš kurios matyti, kad pačioje mąstymo prigimtyje glūdi tam tikra simetrija (kai kurie skyrybos ženklai praleisti sąmoningai, nes griežta sintaksė sukurtų asimetriją):

Šiandien buvo pati blogiausia diena.
Ir nebandyk manęs įtikinti, kad
Kiekviena diena neša kažką gera.
Ir jeigu geriau įsižiūrėsi,
Pasaulis yra blogai sutvarkytas
Net jeigu
Gėris kartais nugali
Laimė ilgai netrunka
Ir netiesa, kad
Viskas gimsta mintyse bei širdyje
Nes
Tikrą laimę pasiekti įmanoma
Tik jeigu aplinka yra gera
Netiesa, kad gėris egzistuoja
Aš nieko negaliu pakeisti
Ir niekada neišgirsi, kad sakyčiau
Šiandien buvo gera diena.

Dabar viską paeiliui perskaitykite iš apačios.

Simetrija mene

Šeicho Loftalos mečetės (Isfahanas, Iranas) kupolo lubų puošybos ornamentas – aštuntos eilės simetrija.

Daugiau informacijos galite rasti straipsnyje Matematinis grožis.

Architektūra

Alhambros rūmų (Granada, Ispanija) lubos

Iš šono Tadžmahalas yra bilateralinės simetrijos, o iš viršaus regime ketvirtos eilės sukimo simetriją.

Architektūroje simetrija reiškiasi pačiais įvairiausiais masteliais: nuo bendro išorinio pastato vaizdo, kas ypač būdinga gotikinėms ir klasikinėms katedroms ar oficialiems, reprezentaciniams statiniams; vidinių erdvių ir pamatų išplanavimo; iki atskirų statinio elementų, kaip kolonų, langų, grindų mozaikų ir kitų detalių. Įvairiausių stilių vyravimo laikotarpiu architektūros simetrija būdavo taikoma nevienodai. Ypač simetriški yra islamo kultūros statiniai, kur ne tik pats pastatas, bet ir vidaus dekoras išlaiko tam tikrus simetrinius ritmus, kaip Tadžmahale ar daugelyje mečečių. Ispanijos maurų statiniai išpuošti įmantriais simetriškais dekorais (pavyzdžiui, Alhambra), kuriuose pritaikytos įvairios simetrijos: postūmio, atspindžio, sukimo ir kitos.

Modernioji architektūra atsisakė tiesmuko simetrijos taikymo, buvo net teigiama, kad tik blogas architektas kliaujasi „simetrišku blokų, masių ir struktūrų derinimu“^[13]. Kartu su vadinamuoju tarptautiniu architektūros stiliumi įsigalėjo formų simetrijos ir asimetrijos derinimas, pereinantis į darniai paveikią kompoziciją.

Puodininkystė ir metalo kalyba

Žiedimo ratas leidžia išgauti sukimo simetriją.

Atradus žiedimo ratą, puodžiai ėmė gaminti griežtai simetriškus molinius dirbinius, kurių pjūvis būdavo visiškai simetriškas, o vertikali forma – labai įvairi. Simetriškumą suteikia pats tokios gamybos būdas, o puošyba leidžia kurti įvairias regimosios simetrijos atmainas.

Nors kaltų metalinių indų gamyba nepasižymėjo technologiniu simetriškumu, vis dėlto paviršiaus dekoravimas dažnai būdavo dėstomas simetriškai. Kalviai dažnai jungdavo atskiras kalybos detales į simetriškus daiktus.

Audimo ir kilimų raštai

Audimų, ypač tradicinių, ir kilimų raštai beveik visada yra simetriški. Dažnai tekstilės detalių simetrija yra įvairi, jose dera daugelis simetrijos atmainų (veidrodinė, sūkio, slinkties). Kai kuriuose kraštuose didesni tekstilės gaminiai (pavyzdžiui, lovatiesės) susiuvami iš atskirai paruoštų mažų kvadratinių skiaučių. Taip savaime susidaro kvadratinis paklotas, dažniausiai iš 9, 16 ar 25 simetriškai suderintų skirtingų lopų (pavyzdžiui, 3x3 užklotas gali būti išdėstytas iš 5 vienokių, kampiniai ir vidurinis, ir 4 kitokių lopų).

Tradiciniuose lietuviškuose audimo raštuose taip pat yra visų simetrijos atmainų. Čia dažnai įsipina ir vadinamoji spalvinė simetrija, kai simetrija sudėtingėja dėl to, kad vienodos detalės spalvinamos skirtingai.^[14]

Persiško kilimo detalė.

Panašiai yra ir su kilimų raštų simetrija. Paprastesni kilimai, kaip Amerikos indėnų, raštuoti nesudėtingais įstrižais ir stačiakampiais motyvais. Daugelis rytietiškų, tarp jų, garsiųjų persiškų kilimų yra raštuoti sudėtingai, taikant atspindžio, centrinę ir stūmos raštų simetriją. Suprantama, kad keturkampė kilimo forma reikalauja motyvų, atitinkančių ketvirtos eilės simetriją, kurios ašys (atspindžio plokštumos) eina per stačiakampį horizontaliai ir vertikaliai.

Muzika

Mažoriniai ir minoriniai trigarsiai išgaunami baltaisiais fortepijono klavišais yra simetriški D (re) atžvilgiu. (didesnis vaizdas) Užvedus pelę ant spalvoto ženklo, parodomas tono muzikinis atstumas nuo pagrindinio tono.

Simetrija nėra būdinga vien vaizduojamajam menui. Ji ne mažiau svarbi muzikoje: tiek jos kūrimui, tiek suvokimui.

Muzikos garsų junginiai

Simetriją daugelis kompozitorių (Stevas Reichas, Bela Bartokas ir kiti) naudoja, kurdami formalius garsų junginius (pavyzdžiui, ABCBA). Klasikinėje muzikoje taip pat apstu simetriškų darinių. Bachas savo kūriniuose nevengdavo simetriškų sukeitimų ir pastovių pasikartojimų, pavyzdžiui, „Fuga Nr. 21“.

Tonų struktūros

Simetrija yra svarbi ir muzikinių dermių (įskaitant gamas) ir akordų sandarai. Štai, diatoninės gamos garsai išdėstyti asimetriškai, tarp gretimų garsų esti penki tono ir du pustonio dydžio intervalai. Diatoninės dermės sandarą (t. y. tonų ir pustonių išsidėstymą) raiškiai iliustruoja fortepijono klaviatūra (du tonai, pustonis, trys tonai, pustonis); baltais fortepijono klavišais galima pagroti septynias skirtingas diatonines dermes. O diatoninės dermės priešybė yra chromatinė dermė, kurią sudaro dvylika pustonių išsidėsčiusių tolygiai. Šios dermės oktavą sudaro 12 tolygių dalių. Atstumai tarp visų gretimų chromatinės dermės garsų yra lygūs pustoniui, todėl šios dermės muzikiniai garsai yra išdėstyti simetriškai. Iliustracijoje matyti, kaip muzikiniai garsai išsidėstę tonikos ir vienas kito atžvilgiu.

Kituose menuose ir amatuose

Keltiškas meninis raizginys

Simetrija aptinkama daugelyje taikomojo meno ir amatų gaminiuose. Tarp jų stiklo karoliukų vėriniai (biseris), baldai, makrame, kaukės, muzikos instrumentai ir kita. Simetrija ypatingai svarbi olandų grafiko Maurico Ešerio kūryboje, taip pat pasikartojančiuose sienų apmušalų, keraminių plytelių, mozaikų, batikos dirbiniuose.

Simetrija estetiniu požiūriu

Simetrijos vertinimas estetiniu požiūriu yra nevienareikšmiškas. Žmonėms atrodo, kad dvipusė (bilateralinė) veido simetrija yra patraukli^[15], kad ji rodo sveikatą ir genetinį tvarumą.^[16]^[17] Kita vertus, ypač griežtas simetriškumas suvokiamas kaip nuobodus ir neįdomus. Žmonės daugiausiai grožisi tokiais pavidalais, kurie yra tik sąlyginai simetriški, bet kartu turi šiokios tokios asimetriškos įvairovės. Palyginkite iliustracijos tikrąjį veidą su kairiuoju, kuris sudarytas iš grynai simetriškai išdėstytų kairiųjų veido pusių, iš dešiniuoju, sudarytu iš dešiniųjų pusių.

Tikrasis

Literatūra

Simetriją sutinkame ir įvairiose literatūros formose, iš kurių paprasčiausias pavyzdys yra palindromas, kai trumpas tekstas (ar kitoks ženklų rinkinys) skaitomas yra prasmingas tiek iš pradžios, tiek iš pabaigos, pavyzdžiui, sula – alus. Yra ir sudėtingesnių simetrijos pasireiškimų literatūroje, kai simetrija, nors ir negriežta, yra akivaizdi. Pavyzdys gali būti Kazio Binkio utos. Štai viena jų:

Aguonulės

Ugniaspalvės aguonėlės
Po rugius visur liepsnojąs
Lyg išklydę dausos vėlės.
Ugniaspalvės aguonėlės.
Visas kraštas – vienos gėlės!
Ar čia žemė, ar čia rojus?
Ugniaspalvės aguonėlės
Po rugius visur liepsnojąs.^[18]

Vikiteka: Simetrija – vaizdinė ir garsinė medžiaga

Išnašos

↑ „symmetry“. Online Etymology Dictionary.
↑ E. H. Lockwood, R. H. Macmillan, Geometric Symmetry, London: Cambridge Press, 1978
↑ Lietuviškoji tarybinė enciklopedija. T. 10, p. 163
↑ Josiah Royce, Ignas K. Skrupskelis (2005) The Basic Writings of Josiah Royce: Logic, loyalty, and community (Google eBook) Fordham Univ Press, p. 790
↑ Lietuviškoji tarybinė enciklopedija. T. 10, p. 163
↑ Anderson, P.W. (1972). „More is Different“ (PDF). Science. 177 (4047): 393–396. Bibcode:1972Sci...177..393A. doi:10.1126/science.177.4047.393. ISSN 0036-8075. PMID 17796623.
↑ Kosmann-Schwarzbach, Yvette (2010). The Noether theorems: Invariance and conservation laws in the twentieth century. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Springer Science+Business Media-Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-87867-6.
↑ Wigner, E. P. (1939), "On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group", Annals of Mathematics 40(1): 149–204, doi:10.2307/1968551 .
↑ Valentine, James W. „Bilateria“. AccessScience. Suarchyvuotas originalas 2008-01-18. Nuoroda tikrinta 29 May 2013.
↑ Hickman, Cleveland P.; Roberts, Larry S.; Larson, Allan (2002). „Animal Diversity (Third Edition)“ (PDF). Chapter 8: Acoelomate Bilateral Animals. McGraw-Hill. p. 139. Suarchyvuotas originalas (PDF) 2016-05-17. Nuoroda tikrinta October 25, 2012.{{cite web}}: CS1 priežiūra: multiple names: authors list (link)
↑ Stewart, Ian (2001). What Shape is a Snowflake? Magical Numbers in Nature. Weidenfeld & Nicolson. pp. 64–65.
↑ Emotional Competency: Symmetry
↑ http://lens.blogs.nytimes.com/2009/07/31/behind-10/
↑ Lietuviški audiniai
↑ Grammer, K., & Thornhill, R. (1994). Human (Homo sapiens) facial attractiveness and sexual selection: the role of symmetry and averageness. Journal of comparative psychology (Washington, D.C. : 1983), 108(3), 233–42.
↑ Rhodes, Gillian; Zebrowitz, Leslie, A. (2002). Facial Attractiveness - Evolutionary, Cognitive, and Social Perspectives. Ablex. ISBN 1-56750-636-4.{{cite book}}: CS1 priežiūra: multiple names: authors list (link)
↑ Jones, B. C., Little, A. C., Tiddeman, B. P., Burt, D. M., & Perrett, D. I. (2001). Facial symmetry and judgements of apparent health Support for a “‘ good genes ’” explanation of the attractiveness – symmetry relationship, 22, 417–429.
↑ http://www.tekstai.lt/antologijos/4513-naujesniosios-poezijos-antologija-vainikai-1921-kazys-binkis-poezija

[1] „symmetry“. Online Etymology Dictionary.

[2] E. H. Lockwood, R. H. Macmillan, Geometric Symmetry, London: Cambridge Press, 1978

[3] Lietuviškoji tarybinė enciklopedija. T. 10, p. 163

[4] Josiah Royce, Ignas K. Skrupskelis (2005) The Basic Writings of Josiah Royce: Logic, loyalty, and community (Google eBook) Fordham Univ Press, p. 790

[5] Lietuviškoji tarybinė enciklopedija. T. 10, p. 163

[6] Anderson, P.W. (1972). „More is Different“ (PDF). Science. 177 (4047): 393–396. Bibcode:1972Sci...177..393A. doi:10.1126/science.177.4047.393. ISSN 0036-8075. PMID 17796623.

[Noether-7] Kosmann-Schwarzbach, Yvette (2010). The Noether theorems: Invariance and conservation laws in the twentieth century. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Springer Science+Business Media-Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-87867-6.

[8] Wigner, E. P. (1939), "On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group", Annals of Mathematics 40(1): 149–204, doi:10.2307/1968551 .

[9] Valentine, James W. „Bilateria“. AccessScience. Suarchyvuotas originalas 2008-01-18. Nuoroda tikrinta 29 May 2013.

[10] Hickman, Cleveland P.; Roberts, Larry S.; Larson, Allan (2002). „Animal Diversity (Third Edition)“ (PDF). Chapter 8: Acoelomate Bilateral Animals. McGraw-Hill. p. 139. Suarchyvuotas originalas (PDF) 2016-05-17. Nuoroda tikrinta October 25, 2012.{{cite web}}: CS1 priežiūra: multiple names: authors list (link)

[11] Stewart, Ian (2001). What Shape is a Snowflake? Magical Numbers in Nature. Weidenfeld & Nicolson. pp. 64–65.

[12] Emotional Competency: Symmetry

[13] ttps://lens.blogs.nytimes.com/2009/07/31/behind-10/

[14] Lietuviški audiniai

[Grammer1994-15] Grammer, K., & Thornhill, R. (1994). Human (Homo sapiens) facial attractiveness and sexual selection: the role of symmetry and averageness. Journal of comparative psychology (Washington, D.C. : 1983), 108(3), 233–42.

[16] Rhodes, Gillian; Zebrowitz, Leslie, A. (2002). Facial Attractiveness - Evolutionary, Cognitive, and Social Perspectives. Ablex. ISBN 1-56750-636-4.{{cite book}}: CS1 priežiūra: multiple names: authors list (link)

[Jones2001-17] Jones, B. C., Little, A. C., Tiddeman, B. P., Burt, D. M., & Perrett, D. I. (2001). Facial symmetry and judgements of apparent health Support for a “‘ good genes ’” explanation of the attractiveness – symmetry relationship, 22, 417–429.

[18] ttps://www.tekstai.lt/antologijos/4513-naujesniosios-poezijos-antologija-vainikai-1921-kazys-binkis-poezija

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]