Simetría

Figuras con simetría bilateral e sen ela (asimétrica)

O home de Vitruvio de Leonardo da Vinci (ca. 1487) úsase frecuentemente como representación da simetría no corpo humano e, por extensión, en todo o universo.

O termo simetría (do grego συμμετρία symmetría "medida conxunta") ten xeralmente dous significados. O primeiro fai referencia a un concepto impreciso de harmonía ou estética que resulta agradábel e pracenteiro aos sentidos Así o escultor grego Policleto, nun libro seu sobre as proporcións, ligaba a simetría coa beleza. O segundo significado é máis preciso e está relacionado con certas propiedades xeométricas que denotan patróns de autosimilitude ou de repetición que posúen algúns corpos, como ocorre, por exemplo, na simetría bilateral.

Aínda que ambos significados son distinguíbeis nalgúns contextos, na maioría das ocasións aparecen intimamente ligados.

O concepto de simetría aparece en infinidade de situacións. Así, pode ser observada:

• con respecto ao paso do tempo;
• como unha relación espacial;
• en transformacións xeométricas como homotecias, reflexións e rotacións;
• a través doutras clases de transformacións funcionais como, por exemplo, na repetición regular dun patrón no pavimento, en transformacións complexas de ecuacións, ou na maneira en que se executa unha peza musical.
• como unha característica de obxectos abstractos, de teorías científicas, da linguaxe, da música e, mesmo, do coñecemento en si.

O contrario da simetría é a asimetría.

Simetría en matemáticas

Simetría en xeometría

O termo simetría ten dous posíbeis significados en xeometría:

A simetría como transformación xeométrica

Simetría axial no plano. A recta p é o eixo de simetría.

A simetría é unha é unha transformación isométrica involutiva que altera a orientación. A isometría refírese a que non altera as medidas. A involución significa que aplicándoa dúas veces se volve ao estado inicial.

• A simetría no plano recibe o nome de simetría axial a cal, dada unha recta e do plano, que se denomina eixo de simetría, transforma un punto calquera P do plano, noutro punto P´ tal que a recta e é a mediatriz do segmento PP´.
• A simetría no espazo recibe o nome de simetría especular que se caracteriza porque, dado un plano Π do espazo, chamado plano de simetría, transforma un punto calquera P do espazo que non estea en Π, noutro punto P´ tal que o plano Π é perpendicular ao segmento PP´ no seu punto medio; se P está en Π entón o seu transformado é el mesmo.

Se multiplicamos (aplicamos sucesivamente ou compoñemos) simetrías tanto no plano como no espazo, se obtén unha transformación chamada movemento. Exemplos de movementos son:

• As propias simetrías axial e especular.
• Unha rotación ou xiro é un movemento que se obtén do produto, no plano ou no espazo, de dúas simetrías de eixos ou planos de simetría secantes, respectivamente. Se o número de simetrías que se multiplican é par, se di que a rotación é propia (conserva a orientación). En caso contrario é impropia (altera a orientación).
• Unha translación é un movemento que se obtén do produto, no plano ou no espazo, de simetrías de eixos ou planos de simetría paralelos, respectivamente. Ao igual cos xiros, as translacións poden ser propias ou impropias.
• Un movemento helicoidal no espazo é o produto dunha translación por unha rotación, ou viceversa. Tamén poden ser propias ou impropias.

A simetría como propiedade

Figura con simetría de orde 7

A simetría é a propiedade que ten un corpo ou unha figura do plano ou do espazo, que consiste en permanecer invariante por algún dos movementos anteriores. O conxunto de tódolos movementos que deixan invariante un obxecto φ ten a estrutura matemática de grupo e recibe o nome de grupo de simetría de φ: G_φ.

Así, algúns exemplos de simetrías son:

• A simetría reflectiva, que é a axial no plano e a especular no espazo. Esta última é a que posúen os seres vivos con bilateria, chamada precisamente simetría bilateral. O plano de simetría é o plano saxital.
• A simetría helicoidal que caracteriza a algunhas plantas.
• A simetría de translación dalgúns pavimentos, cobertores, frisos etc.
• A simetría radial, visíbel nalgúns seres vivos como a estrela de mar, nas flores de certas plantas, en cristalografía etc.

• Se Φ é unha figura do plano que permanece invariante ao lle aplicar xiros con centro nun certo punto O e amplitude un múltiplo de 360º/n; dise que Φ posúe unha simetría de n-ésima orde e O chámase centro de simetría de n-ésima orde. Neste caso, o grupo de simetría de Φ, G_Φ, é un grupo cíclico de orde n.
• Analogamente se define a simetría de n-ésima orde no espazo respecto dun eixo de simetría. Por exemplo, un cubo ten unha simetría de cuarta orde (tamén se di que é 4-simétrico) respecto da recta que pasa polos centros de dúas caras opostas; e unha simetría de terceira orde se o eixo de simetría é unha diagonal.

Simetría en álxebra

Triángulo de Tartaglia

• Certas fórmulas manteñen simetría na súa expresión como a fórmula das potencias enteiras dun binomio (a+b)ⁿ, debida en gran medida á simetría do triángulo de Tartaglia, cuxas filas son os coeficientes dos termos do desenvolvemento de (a+b)ⁿ.
• Unha relación binaria R nun conxunto A ten a propiedade simétrica se dados a,b elementos de A tal que aRb, entón se verifica tamén que bRa. Un exemplo de relación simétrica é a relación de congruencia módulo m, nos números naturais.
• Nun grupo, o simétrico dun elemento é aquel que operado con el, dá como resultado o elemento neutro do grupo. En grupos aditivos, o elemento neutro se denota por 0, e o simétrico dun elemento é o seu oposto. En grupos multiplicativos, o elemento neutro se denota por 1, e o simétrico dun elemento é o seu inverso.
• Unha matriz cadrada é simétrica se coincide coa súa trasposta.

Moitas máis definicións fan referencia á simetría, así hai polinomios simétricos, grupos simétricos e formas bilineais simétricas. En álxebra superior hai moitas máis situacións onde aparece o concepto de simetría, como na Teoría de Galois ou no estudo da dualidade.

Simetría en topoloxía

• Dado un conxunto X, unha simétrica sobre X é unha función real non negativa d, definida sobre os pares de X, que verifica os axiomas:

1. d(x,y)=0 se o só se x=y
2. d(x,y)=d(y,x) para calquera x e y de X

A diferenza da métrica ou da seudométrica, a simétrica non ter por que verificar a desigualdade triangular. Porén, permite definir unha topoloxía en X.

• Recíprocamente, un espazo topolóxico dise que é simetrizábel se a súa topoloxía está xerada por unha simétrica.

Simetría en análise matemática

Función par.

Función impar.

• Unha función real de variábel real é par ou simétrica respecto do eixo vertical se valores opostos teñen imaxes iguais, é dicir, se f(-x)=f(x) para calquera x do dominio de f.
• Unha función real de variábel real é impar ou simétrica respecto da orixe de coordenadas se valores opostos teñen imaxes opostas, é dicir, se f(-x)=-f(x) para calquera x do dominio de f.
• Unha simetría dunha ecuación diferencial é unha transformación que deixa invariante a ecuación diferencial. Unha simetría de Lie nun sistema de ecuacións diferenciais é unha simetría continua do sistema de ecuacións diferenciais. O coñecemento das simetrías e das simetrías de Lie é de moita axuda para resolver ecuacións e sistemas de ecuacións diferenciais.

Existen máis exemplos na Análise Matemática onde intervén o concepto de simetría, como no dominio de integración das integrais múltiples.

Simetría no cálculo de probabilidades e estatística

Pierre-Simon de Laplace, un dos pais do Cálculo de Probabilidades.

• Se os sucesos elementais dun experimento aleatorio son equiprobábeis dise que hai simetría dos sucesos elementais. Cando isto ocorre, úsase a regra de Laplace (casos favorábeis/casos posíbeis) para calcular probabilidades de sucesos.
• Algunhas variábeis aleatorias son simétricas no sentido de que as probabilidades espállanse equitativamente á dereita e esquerda dun valor central, normalmente a media. Esta simetría apréciase na función de probabilidade da distribución binomial e nas funcións de densidade das distribucións uniforme, normal, de Laplace, ou a t de Student.
• En teoría de xogos, un xogo é simétrico cando as recompensas por xogar unha estratexia particular dependen só das outras estratexias empregadas, non de quen as xogue. Se se poden intercambiar as identidades dos xogadores sen cambiar as recompensas, o xogo é simétrico.

Simetría en física

Ilustración de 1874 explicativa da reflexión da luz

.

Partículas que constitúen o Modelo estándar

Algúns exemplos de fenómenos físicos onde se observa simetría son:

• O movemento dunha partícula impulsada verticalmente cara a arriba (desprezando a resistencia do aire): A posición da partícula é simétrica con respecto ao instante no que o obxecto está á altura máxima. En cada punto da traxectoria a velocidade de subida é a mesma ca de baixada.
• O centro de gravidade dos corpos que posúen simetría radial coincide co centro de simetría. Se o corpo posúe un eixo de simetría, o centro de gravidade será algún punto de dito eixo.
• A reflexión da luz é un fenómeno con clara simetría reflectiva.
• O campo eléctrico debido a un cable ten simetría cilíndrica pois a intensidade do campo eléctrico a unha certa distancia r do cable cargado electricamente de lonxitude infinita, terá do mesmo valor en tódolos puntos da superficie dun cilindro (cuxo eixo é o cable) de radio r. Xirando o cable sobre o seu propio eixo, non varía a súa posición nin a súa densidade de carga, polo tanto o campo eléctrico tampouco e, en consecuencia, a intensidade do campo é a mesma e cada punto.
• Na electrónica de radiofrecuencia, fálase dunha alimentación simétrica de AC cando ningún dos condutores está á masa. Cando un dos condutores está á masa e o outro experimenta as variacións de tensión, dise que a alimentación é asimétrica.
• Na teoría da relatividade especial estúdanse certas simetrías espazo-temporais que conservan as distancias.
• No modelo estándar da física de partículas, a simetría CPT é unha simetría fundamental das leis físicas en transformacións onde interveñen simultaneamente a carga (C), a paridade (P) e o tempo (T).
• Unha clase de simetría coñecida como supersimetría, ou abreviadamente SUSY, está sendo usada para facer avances teóricos no modelo estándar. A supersimetría baséase na idea de que hai outra simetría física ademais das xa desenvolvidas no modelo estándar. A supersimetría afirma que cada partícula elemental ten a súa partícula supersimétrica. Aínda non foi verificada experimentalmente e de ser certa, suporía un grande avance para a teoría do campo unificado que unifica, introducindo principios comúns, os catro tipos de forza que se coñecen: a gravitacional, a electromagnética, a nuclear feble e a nuclear forte.

Unha rotación dun sexto de volta permuta os átomos da molécula de benceno sen modificar a súa estrutura.

Simetria radial de orde 5 na flor de Estramonio

Simetría en química

A simetría molecular é importante en química porque explica moitas observacións en estrectroscopia, química cuántica e cristalografía. A base matemática é a teoría de grupos.

Simetría na bioloxía

Os animais e plantas poden ser asimétricos (os menos), ou ter algún tipo de simetría. Os seres vivos do grupo bilateria teñen simetría bilateral, mentres que outros, como a estrela de mar, posúen simetría radial de distintas ordes. Algunhas plantas e flores manifestan simetría helicoidal.

Simetría na estética

Simetría bilateral no corpo humano: planos e eixes de simetría.

A relación entre a simetría e a estética é complexa. Certas simetrías simples, en particular a simetría bilateral, semellan estar profundamente arraigadas na percepción inherente que temos os humanos da saúde ou bo estado físico, como se pode observar co simple experimento de distorsionar un lado dunha imaxe dun rostro atractivo e pedirlle á xente que vexa a imaxe e que califique o seu grao de beleza. En consecuencia, estas simetrías que imitan a bioloxía teñen unha aparencia innata que induce unha forte tendencia a crear artefactos cunha simetría similar. Só se necesita imaxinar a dificultade en tratar de comercializar un automóbil asimétrico entre os posíbeis compradores para comprender o poder das simetrías, como a bilateral, inspiradas na bioloxía .

Outro aspecto sutil da simetría é a simplicidade, que produce unha sensación de seguridade e familiaridade. Por exemplo, unha habitación cun alto grao de simetría é tamén inevitabelmente unha habitación coa que unha persoa que está nun ambiente estraño ou potencialmente ameazada, se pode identificar fácil e rapidamente. Así mesmo, a xente que medrou nunha casa cun gran número de ángulos rectos e de obxectos indénticos, pode sentir desacougo a primeira vez que estea nunha habitación sen tantos ángulos rectos nin obxectos idénticos. A simetría por tanto pode ser unha fonte de comfort non só como un indicador da saúde biolóxica, senón tamén proporcionando seguridade e comprensión dun ambiente.

Pola contra, a excesiva simetría pode ser percibida como aburrida ou carente de interese. En particular, os humanos temos un forte desexo de explorar novas oportunidades e posibilidades, e un excesivo grao de simetría pode levar a unha carencia de tales oportunidades. A maioría da xente mostra preferencia por figuras cun certo grao de simplicidad e simetría, pero coa suficiente complexidade para facelas interesantes.

Aínda outra posibilidade dase cando as simetrías tórnanse demasiado complexas ou demasiado desafiantes. Neste caso a mente humana tende a ignoralas e percibilas como un ruído que non proporciona ningún tipo de información.

Finalmente, as percepcións e apreciacións das simetrías dependen da bagaxe cultural. Así, o grande uso que se fai das simetrías xeométricas complexas en moitas culturas islámicas, fai máis probábel que a xente desas culturas aprecie tales formas de arte (ou se rebele contra elas)

Vista do Taj Mahal

Como en moitas tentativas humanas, o resultado da confluencia de moitos deses factores é que o uso efectivo da simetría na arte e a arquitectura é complexo, intuitivo e altamente dependente das habilidades dos individuos que deben mesturar e combinar tales factores dentro do seu propio traballo creativo. Ao igual que a textura, a cor, a proporción, e outros factores, a simetría é un poderoso ingrediente nalgunhas desas sínteses. Só se necesita examinar o Taj Mahal para apreciar o poderoso papel que xoga a simetría na determinación da aparencia estética dun obxecto.

A arquitectura modernista rexeita a simetría, afirmando que só un mal arquitecto se apoia na simetría. No canto de proxectos simétricos de bloques, masas e estruturas, a arquitectura modernista baséase en ás e equilibrio de masas. A primeira interpretación desta arquitectura que ignora a simetría áchase no chamado Estilo Internacional. Algunhas persoas encontran revolucionarios os proxectos de edificios e estruturas asimétricas, mentres outras os consideran estresantes, aburridos e contranaturais.

Simetría nas artes plásticas

Vasilla persa do 4º milenio a.C.

Xerrón de Entemena no Museo do Louvre

Relevo dos lanceiros no palacio de Darío en Susa

Pirámide de Quefrén

Desde a antigüidade, as civilizacións apreciaron o valor estético da simetría, úsandoa profusamente nas súas manifestacións artísticas. A continuación amósanse algúns exemplos:

Unha das creacións máis temperás do ser humano onde se aprecia simetría é a cerámica e olaría en xeral. Non só no que se refire á forma dos obxectos manufacturados, senón tamén á súa decoración. Así, pódense achar patróns simétricos en obxectos de bronce fundido desde o século XVII a.C. na antiga China. Os vasos de bronce exhibían, xeralmente, un motivo simétrico principal e un deseño de moldura repetitivo. A cerámica persa, datada no 6000 a.C. usaba figuras en zigzag, cadrados e patróns entrecruzados simétricos.

O pobo sumerio foi, de entre os antigos, o que máis soubo apreciar a simetría bilateral como se observa nos debuxos do xerrón do rei Entemena da cidade de Lagash, datada aproximadamente no 2.700 a.C. Amosa unha aguia de fronte con cabeza de león e coas ás abertas, debaixo das cales hai cervos que están a ser atacados por leóns. Debaixo desta escena hai outra semellante onde os cervos son substituídos por cabras.

Os persas usaron profusamente a simetría de translación. No palacio de Darío en Susa pódese apreciar no famoso relevo dos lanceiros.

No antigo Exipto temos un claro exemplo de simetría nas pirámides onde aparecen as simetrías especular e radial.

A civilización grega posuía uns grandes coñecementos de xeometría que aplicaron na súa arquitectura, cerámica, pinturas etc. O Partenón é un magnífico exemplo das simetrías especular e de translación.

Torque do Castro de Santa Trega

Mosaico de Cristo no seu trono na igrexa de San Apolinar Novo en Rávena

O tríscele da cultura castrexa é unha figura de simetría radial de orde 3. Pódese apreciar nos extremos dun torque achado no castro de Santa Trega, no que tamén se aprecia unha decoración en espiral repetitiva (simetría de translación).

Na época dos primeiros cristiáns representábase a Cristo como figura central e de fronte, mentres que os restantes personaxes distribuíanse de perfil á súa esquerda e dereita.

Os mosaicos ostrogodos de Rávena amosan simetría translacional, non sempre perfecta como se aprecia no mosaico que representa a Cristo no seu trono rodeado de anxos, na igrexa de San Apolinar Novo. A figura central de Cristo introduce certa asimetría na escena.

Tímpano da igrexa de San Pedro de Trasalba

Púlpito da catedral de San Estebo de Viena

O tímpano occidental da igrexa románica de San Pedro de Trasalba exhibe gran riqueza simétrica: a simetría axial de todo o conxunto e dalgunhas das súas partes, as simetrías radiais de orde 4 na figura central, de orde 5 nos círculos pequenos dos laterais, e parcial de orde 6 nos tres semicírculos que rodean á figura central. Amais temos unha simetría espacial especular nos dous canzorros enfrontados na base do tímpano.

As escaleiras do púlpito gótico da catedral de San Estebo de Viena amosan unha simetría helicoidal na que se van alternando os trísceles coas rodas con forma esvástica. Ao mesmo tempo, estas dúas formas teñen simetría radial de orde 3 e 4 respectivamente.

Tapiz persa

Unha longa tradición do uso da simetria en patróns de tapicería encóntrase espallada por varias culturas. Os indios Navajo de América usaban diagonais acentuadas e motivos rectangulares. Moitos tapices orientais teñen intricados centros reflexos e contornas que trasladan patróns. Non sorprende que moitos tapices fagan uso da simetría cuadrilateral, onde un motivo é simultaneamente reflectido polos eixos vertical e horizontal.

Campo dos milagres de Pisa

Escaleira tripla de Bonaval

Composición na cidade Da Haia baseada nunha obra de M. C. Escher

No campo dos milagres de Pisa, encontramos simetrías nos tres edificios que alí se achan: o Baptisterio, a Torre inclinada e o Duomo. No Baptisterio pódense distinguir seis niveis horizontais, cada un deles con simetría de revolución de distinta orde. Pola contra, as arcadas dos seis andares da torre inclinada teñen a mesma orde na súa simetría de revolución. O Duomo amosa simetría translacional nas súas columnas e frisos ao tempo que a cúpula está rodeada por unha columnata con simetría de translación.

A escaleira tripla helicoidal do convento de San Domingos de Bonaval en Compostela é un exemplo único de simetría helicoidal con translación paralela ao eixo de simetría.

O artista holandés do século XX M. C. Escher utilizou con profusión as simetrías de todo tipo, en especial os grupos de simetría plana e as teselacións. A comunidade matemática internacional é unha gran divulgadora da súa obra polos conceptos matemáticos, non só simetrías, que subxacen nela.

A Ponte do Milenio de Ourense é un bo exemplo de arquitectura vangardista con dous planos de simetría perpendiculares.

Ponte do Milenio de Ourense.

Simetría na música e artes escénicas

Simetría na canción Ogre Battle do grupo inglés Queen.

Na música, a simetria debe ser considerada na formación de escalas e acordes. Das escalas ou acordes simétricos, como a escala tonal completa, o acorde aumentado, ou diminuído, e o acorde de sétima, dise que están desprovistos de dirección ou sentido de movemento en relación a un centro sonoro, sendo ambiguos en relación á dominante ou Centro Tonal, tendo unha menor funcionalidade diatónica específica.

A simetría pode manifestarse na estrutura formal dunha peza musical. Por exemplo, en Béla Bartók, a organización formal das distintas seccións dunha obra musical respecta unha simetría en arco (ABCBA), o que tamén acontece con autores como Steve Reich, ou James Tenney – aínda que ese recurso á simetría se repita, desde Bach ata ao jazz.

O compositor portugués Fernando Corrêa de Oliveira foi responsábel da creación dun modo de escritura musical: a harmonía simétrica e, máis tarde, o contrapunto simétrico. A harmonía simétrica consiste en concibir o acorde a partir dun centro, definindo, en sentidos opostos, notas que fan en relación a ese centro intervalos iguais. Aplicando o mesmo principio á melodía, estaremos a utilizar o contrapunto simétrico.

Tamén na danza, Lucinda Childs, influenciada polo minimalismo, transporta o concepto de simetría para movementos corporais repetitivos que son executados nun escenario baleiro. É, porén, na danza clásica que a simetría se torna máis evidente, tanto nas coreografías como nos xestos estruturados dos bailaríns (en contraste coa complexidade de moitos dos movementos usados na danza contemporánea).

Simetría na linguaxe

Hai palabras ou frases nas que a orde das letras non varía se se len desde o final ao comezo, chámanse palíndromos. Exemplos de palíndromos son: na man, a breve verba, e acaso rosa cae, só nós etc.

O libro A torre da derrotA do escritor galego Gonzalo Navaza, cuxo título xa é un palíndromo, é un poemario en versos palíndromos.

Simetría na ética

Certos comportamentos e actitudes levan implícito unha noción de simetría. Exemplos son:

• A regra de ouro, que se pode resumir na frase non fagas o que non desexas que che fagan.
• A reciprocidade, que é a forma máis común de intercambio en sociedades de economía que prescinde do mercado, isto é, que non fan, venden ou compran bens ou servizos.
• A empatía ou sentimento de participación afectiva dunha persoa na realidade que afecta a outra.
• A simpatía vai máis alá cá empatía, é a capacidade de percibir a situación dunha maneira similar á persoa involucrada. Isto implica, xa que logo, a preocupación, ou a participación, ou o desexo de aliviar os sentimentos negativos que a outra está tendo.

Simetría na historia, relixión e cultura

En toda empresa humana na que un efecto visual impresionante forma parte do obxectivo desexado, as simetrías xogan un papel importante. O poder innato da simetría pódese achar nas nosas reaccións ante sucesos ou obxectos naturais con gran simetría, como as precisas formas dos cristais naturais ou as fermosas cunchas en espiral. Con frecuencia, a nosa primeira reacción ante estas formas é preguntarnos se foron feitos por seres humanos, rapidamente seguida pola sorpresa ao decatarnos que as simetrías que chamaron a nosa atención son de formación natural. En ambas reaccións tendemos a apreciar as simetrías tanto pola súa beleza como pola información que nos proporcionan do mundo que nos rodea.

Véxase tamén

Outros artigos

• Simetría bilateral.
• Simetría radial.
• Simetría en matemáticas
• Simetría en física

Ligazóns externas

• Visor de simetrías moleculares na web educativa otterbein.edu