표준 선다발
대수기하학에서 표준 선다발(標準線다발, 영어: canonical line bundle) 또는 표준 선속(標準線束)은 켈러 미분의 층의 최고차 외부 거듭제곱이다.
정의
[편집]대수적으로 닫힌 체 위의 차원 비특이 대수다양체 의 표준 선다발 은 다음과 같은 가역층이다.[1]:180–181
여기서 는 켈러 미분층이다. 표준 선다발에 대응하는 인자류를 표준류(標準類, 영어: canonical class)라고 하고, 표준류에 속하는 인자를 표준 인자(標準因子, 영어: canonical divisor) 라고 한다.
만약 가 특이점을 가지지만 정규 대수다양체인 경우, 매끄러운 궤적(영어: smooth locus) 가 존재한다. 이 경우, 의 표준 인자는 의 표준 인자로 정의한다. 보다 일반적으로, 가 S2 조건(여차원 2까지 코언-매콜리 조건이 성립)을 만족시키며 고런스틴 스킴이라면, 위와 같이 표준 인자를 정의할 수 있다.
표준 선다발의 역을 반표준 선다발(反標準線다발, 영어: anticanonical line bundle) 이라고 한다. 반표준류(反標準類, 영어: anticanonical class) 및 반표준 인자(反標準因子, 영어: anticanonical divisor)는 이에 대응하는 인자(류)이다.
첨가 공식
[편집]첨가 공식(添加公式, 영어: adjunction formula)은 어떤 부분 대수다양체의 표준 선다발과 전체 공간의 표준 선다발 사이의 관계를 나타내는 공식이다.
비특이 대수다양체 위의 인자 에 대하여, 다음과 같은 첨가 공식이 성립한다.
즉, 선다발로는 다음과 같다. 로 정의되는 부분다양체를 , 매장 사상을 라고 하면, 다음과 같다.
여차원이 2 이상일 경우에도 유사한 첨가 공식이 성립한다. 비특이 대수다양체 의 닫힌 비특이 부분 대수다양체 가 주어졌고, 이에 대응하는 아이디얼 층이 라고 하자. 이 경우, 는 의 자리스키 쌍대법다발이다. 이 경우, 다음과 같은 아벨 군 층의 짧은 완전열이 존재한다.[1]:182
여기서 는 공변접다발이다. 완전열의 모든 항에 최고차 외부 거듭제곱을 취하면, 다음을 얻는다.[2]:146–147[1]:182, Proposition II.8.20
여기서 는 쌍대 다발을 뜻한다.
예
[편집]복소수체 위의 차원 비특이 대수다양체의 경우, 표준 선다발은 행렬식 다발(영어: determinant bundle)이라고 하며, 차 정칙 미분 형식들의 선다발이다. (단일 연결) 칼라비-야우 다양체의 경우, 표준 선다발은 자명하다. 파노 다양체의 경우, 반표준 선다발은 풍부한 선다발이다.
리만 곡면의 표준 선다발
[편집]리만 곡면(=1차원 복소수 비특이 대수다양체) 위의 표준 선다발은 정칙 공변접다발 와 같으며, 그 차수는 다음과 같다.
특히, 인 경우 이는 효과적 인자를 이룬다. 이 경우, 의 개의 단면들은 유리 사상 을 정의한다. 이 유리 사상의 상은 사영 곡선을 이루며, 이를 표준 곡선(영어: canonical curve)이라고 한다.
만약 가 초타원 곡선일 경우, 그 표준 곡선은 유리 곡선이며, 유리 사상은 두 겹 피복 공간을 이룬다. 예를 들어, 의 종수가 2이며, 가 다음과 같은 (아핀) 방정식으로 정의된다고 하자.
여기서 는 6차 다항식이다. 그렇다면, 이 위의 제1종 미분(=(1,0)차 복소수 미분 형식)은 다음과 같이 두 개가 있다.
이에 따라서, 표준 곡선은
임을 알 수 있다. 이는 물론 두 겹 피복 공간이다.
만약 가 초타원 곡선이 아닌 종수 3 이상의 곡선일 경우, 의 표준 곡선은 와 동형이다. 예를 들어, 다음과 같다.
- 종수 3인 경우, 표준 곡선은 4차 평면 곡선이다.
- 종수 4인 경우, 표준 곡선은 2차 곡면과 3차 곡면의 교집합이다.
- 종수 5인 경우, 표준 곡선은 세 개의 2차 초곡면의 교집합이다.
사영 공간
[편집]대수적으로 닫힌 체 위의 사영 공간 에 대하여, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.[1]:176, Theorem II.8.13 이를 오일러 완전열이라고 한다.
모든 항에 최고차 외부 거듭제곱을 취하면, 다음을 얻는다.[1]:182, Example II.8.20.1
사영 공간 속의 초곡면
[편집]차원 사영 공간 속에서, 동차다항식들 으로 정의되는 초곡면 들의 완전 교차(영어: complete intersection)
를 생각하자. 이 경우,
이므로, 첨가 공식에 따라서 의 표준 선다발은 다음과 같다.
만약
이라면 표준 선다발은 자명하며, 이 경우 (비특이 대수다양체라면) 는 칼라비-야우 다양체를 이룬다.
특히, 사영 평면 속의 차 대수 곡선 의 표준 선다발은 다음과 같다.[1]:361, Example V.1.5.1; 183, Example II.8.20.3
차 평면 대수 곡선의 경우
이므로,
이다. 리만-로흐 정리에 따라서
이므로, 다음과 같은 종수-차수 공식(種數次數公式, 영어: genus–degree formula)을 얻는다.
이차 곡면 위의 곡선의 종수
[편집]첨가 공식을 사용하여 이차 곡면 속의 곡선의 종수를 계산할 수 있다.[1]:362, Example V.1.5.2 곡선 의 차수가 라고 하자. 의 표준 선다발의 차수는 이다. 즉, 의 차수는 와 의 교차곱이다. 이차 평면 위의 교차곱은 다음과 같다.[1]:361, Example V.1.4.3
따라서, 다음이 성립한다.
즉,
이다.
각주
[편집]- ↑ 가 나 다 라 마 바 사 아 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
- ↑ Griffiths, Philip; Harris, Joseph (1994년 8월). 《Principles of algebraic geometry》. Wiley Classics Library (영어) 2판. Wiley. doi:10.1002/9781118032527. ISBN 978-0-471-05059-9. MR 1288523. Zbl 0836.14001.
같이 보기
[편집]외부 링크
[편집]- “Canonical class”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Canonical curve”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Canonical imbedding”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Adjunction theory”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Noether-Enriques theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Canonical bundle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Canonical bundle”. 《nLab》 (영어).
- “The canonical line bundle of a normal variety” (영어). Math Overflow.