측도
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수학에서 측도(測度, 영어: measure)는 특정 부분 집합에 대해 일종의 ‘크기’를 부여하며, 그 크기를 가산개로 쪼개어 계산할 수 있게 하는 함수이다.[1] 측도의 개념은 유한 집합의 원소의 수 · 실수 구간의 길이 · 평면 도형의 넓이 · 3차원 입체의 부피의 개념을 공통적으로 일반화한다. 측도가 부여된 집합을 측도 공간(測度空間, 영어: measure space)이라고 한다. 이와 같이 측도와 측도 공간을 연구하는 수학 분야를 측도론(測度論, 영어: measure theory)이라고 한다.
정의
[편집]측도
[편집]불 대수의 두 원소 에 대하여, 라면 두 원소가 서로소(-素, 영어: disjoint)라고 한다.
임의의 음이 아닌 확장된 실수들의 (비가산일 수 있는) 집합 의 합을 다음과 같이 정의하자.[2]:129, (10.10)
임의의 기수 가 주어졌다고 하자. -완비 불 대수 위의 함수 가 다음 조건을 만족시킨다면, 가 -가법 측도(-加法測度, 영어: -additive measure)라고 한다.
- 임의의 서로소 원소들로 구성된 부분 집합 에 대하여, 만약 라면, .
- (특히, 일 때, 일 경우 이다.)
- (특히, 일 때, 임의의 에 대하여 이므로, 는 증가 함수이다.)
여기서 는 음이 아닌 확장된 실수의 전순서 집합이며, 는 상한을 뜻하며, 은 시그마 대수의 최소 원소이다.
만약 일 경우, 를 유한 가법 측도(有限加法測度, 영어: finitely additive measure)라고 한다. 만약 인 경우, -완비 불 대수를 시그마 대수라고 하며, 를 가산 가법 측도(加算加法測度, 영어: countably additive measure) 또는 시그마 가법 측도(σ加法測度, 영어: sigma-additive measure) 또는 단순히 측도라고 한다.
불 대수 위의 함수 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 유한 가법 측도이다.
- 다음 세 조건이 성립한다.
- (증가성) 임의의 에 대하여, 만약 라면,
- (모듈러성) 임의의 에 대하여,
유한 측도
[편집]-완비 불 대수 위의 -가법 측도 에 대하여, 만약 라면 를 유한 측도(有限測度, 영어: finite measure)라고 한다. 만약 이라면 를 확률 측도라고 한다. 사실, 임의의 에 대하여, -가법 유한 측도는 가산 가법 유한 측도와 동치이다. 이는 유한 가법 유한 측도를 갖는 불 대수는 가산 사슬 조건(즉, 서로소 원소들의 비가산 집합을 갖지 않음)을 만족시키기 때문이다.[3]:24, §3.3, Theorem 5
증명:
시그마 대수 위의 가산 가법 측도 에 대하여, 만약
를 만족시키는 부분 집합 가 존재한다면, 를 시그마 유한 측도(σ有限測度, 영어: sigma-finite measure)라고 한다.
불 대수 위의 유한 가법 측도 에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, 를 준유한 측도(準有限測度, 영어: semifinite measure)라고 한다.[4]:97, Exercise 1.12.132
- 임의의 에 대하여, 만약 이라면, 인 가 존재한다.
완비 불 대수 위의 준유한 가산 가법 측도를 마하람 측도(영어: Maharam measure) 또는 국소화 가능 측도(영어: localizable measure)라고 한다.[4]:97, Exercise 1.12.134
영집합의 순서 아이디얼
[편집]-완비 불 대수 위의 측도 가 주어졌을 때, 그 영원소(零元素, 영어: null element)는 측도가 0인 원소이다. 그 집합을 다음과 같이 표기하자.
이는 -완비 순서 아이디얼을 이루며, 따라서 몫 대수 를 정의할 수 있고, 는 그 위에 잘 정의된다. 이 경우, 추가로 다음 성질이 성립한다.
즉, 이 경우 자명하지 않은 영원소들을 없앨 수 있다.
측도 공간
[편집]측도 대수(測度代數, 영어: measure algebra)는 시그마 대수 와 그 위의 측도 의 순서쌍 이다.[5]:277, §9.3
가측 공간 에서, 가측 집합들의 집합족 는 시그마 대수를 이룬다. 측도 공간 은 가측 공간 과 위의 측도 의 순서쌍이다. 만약 가 확률 측도라면, 를 확률 공간이라고 한다.
연산
[편집]합측도
[편집]임의의 측도 공간들의 족 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 분리합집합
위에 시그마 대수
를 부여하고, 그 위에 측도
를 부여할 수 있다.
곱측도
[편집]두 측도 공간 , 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 곱집합 위에 시그마 대수
를 부여하자. (여기서 는 주어진 집합족으로 생성되는 최소의 시그마 대수를 뜻한다.) 이제, 추가로 와 이 시그마 유한 측도라면, 위에 다음과 같은 측도를 부여할 수 있다.
시그마 유한 조건 아래, 이는 다음 항등식을 만족시키는, 위의 유일한 측도이다.
(우변에서 으로 놓는다.)
그러나 만약 시그마 유한 조건이 성립하지 않는다면 위 등식이 성립하지 못할 수 있다.
성질
[편집]임의의 측도 공간 에서 다음 명제들이 성립한다.
거리 구조
[편집]불 대수 위의 유한 가법 측도 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 위에 다음과 같은 확장된 유사 거리 함수(영어: extended pseudometric) 를 정의할 수 있다.
여기서 은 대칭차이다.
만약 가 유한 측도라면, 이는 유사 거리 공간을 이루며, 측도 대수 는 거리 공간을 이룬다.
원자
[편집]불 대수 위의 유한 가법 측도 가 주어졌을 때, 영원소들의 순서 아이디얼
을 생각하자. 의 원자(原子, 영어: atom)는 의 극소 원소이다. (다시 말해, 몫대수 의 순서론적 원자이다.) 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 원소 이다.
- 임의의 에 대하여,
원자를 갖지 않는 측도를 비원자적 측도(非原子的測度, 영어: nonatomic measure)라고 한다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
그렇다면, 비원자적 측도에 대한 중간값 정리(영어: intermediate-value theorem for nonatomic measures)에 따르면, 다음 두 조건을 만족시키는 함수 가 존재한다.
증명:
증명은 다음과 같다.
① 부분 정의 함수들의 집합
이 정의에 등장하는 두 조건을 만족시키는 (즉, 증가 함수이며 의 오른쪽 역함수인) 부분 정의 함수들로 구성되었다고 하자. 이 위에 통상적인 부분 순서
를 주자. 그렇다면, 는 닫힌 부분 순서 집합임을 쉽게 확인할 수 있으며, 초른 보조정리에 의하여 극대 원소 를 갖는다.
② 귀류법을 사용하여, 임의의 에 대하여, 이며 라고 하자. 그렇다면, 는 의 원자가 되어 가정에 모순된다.
③ 귀류법을 사용하여, 이라고 하자. 속에 포함되는 열린구간들의 족은 초른의 보조 정리에 의하여 극대 원소 를 갖는다. 극대 원소의 정의에 따라, 로 수렴하는 증가 수열
과 로 수렴하는 감소 수열
가 존재한다. 이제,
를 정의하면,
가 되므로, 이며, ②에 따라 가 존재하는데, 이는 모순이다.
따라서, 이러한 의 크기는 이상이며, 만약 어떤 집합 에 대하여 라면 의 크기 역시 이상이다.
분류
[편집]가산 가법 측도 대수 가 다음 조건을 만족시킨다면 동질 측도 대수(同質測度代數, 영어: homogeneous measure algebra)라고 한다.
- 임의의 두 에 대하여, 만약 일 경우, 이다.
여기서 는 (유사 거리 공간으로서의) 무게이며, 는 하집합을 뜻하며, 은 하집합에 제한하여 얻는 측도 대수를 뜻한다.
마하람 정리(영어: Maharam’s theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.
- 모든 가산 가법 측도 대수는 가산 개의 동질 측도 대수들의 직합이다.[5]:280, Theorem 9.3.5(i)[6]:109, Theorem 1
- 모든 동질 측도 대수에 대하여, 만약 확률 측도 대수라면, 어떤 기수 에 대하여 와 동형이다.[5]:280, Theorem 9.3.5(ii)[6]:111, Theorem 2
여기서, 는 곱공간 의 측도 대수이다. 즉, 닫힌구간 위에 르베그 측도를 부여한 뒤, 개의 곱측도를 취하고, 영집합 시그마 아이디얼에 대한 몫을 취하여 얻는 측도 대수이다.
예
[편집]집합 위의 측도
[편집]임의의 불 대수 위에서, 값 0을 갖는 상수 함수는 항상 유한 가법 측도를 이루며, 만약 가 -완비 불 대수라면 이는 -가법 측도이다.
셈측도는 집합의 원소 개수를 의미하는 측도이다. 이는 유한 집합 위에 사용되는 통상적인 측도이다.
디랙 측도(영어: Dirac measure)는 집합에 특정 원소가 포함되는지에만 값이 결정된다. 어떠한 원소 에 대해, 디랙 측도 는 에 가 포함되면 1, 그렇지 않으면 0의 값을 가진다. 즉, 지시 함수 로 표현할 수 있다. 디랙 측도는 디랙 델타 함수를 측도로 표현한 것으로 볼 수 있다.
집합론에서는 측정 측도가 존재할 수 있는 기수를 가측 기수라고 한다.
불 대수 위의 극대 필터 가 주어졌을 때, 다음과 같은 유한 가법 확률 측도를 정의할 수 있다.
위상 공간
[편집]임의의 거리 공간 위에는 하우스도르프 측도라는 측도가 존재한다.
유클리드 공간 위에는 통상적으로 르베그 측도가 사용된다.
역사
[편집]1898년 저서[7]에서 에밀 보렐은 구간의 길이의 개념을 가산 가법성을 사용하여 실수선의 보렐 집합에 대하여 일반화하였다. 즉, 현대적인 용어로 보렐은 실수선의 보렐 집합의 르베그 측도를 정의하였다.
이후 1902년 박사 학위 논문[8]에서 앙리 르베그는 보렐의 이론을 간략화·일반화하였으며, 고차원 유클리드 공간의 르베그 측도를 정의하였고, 이를 통하여 함수의 적분 이론을 전개하였다.
같이 보기
[편집]각주
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- ↑ 가 나 다 Bogachev, Vladimir I. (2007). 《Measure theory. Volume 2》 (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-34514-5. ISBN 978-3-540-34513-8.
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외부 링크
[편집]위키미디어 공용에 측도 관련 미디어 분류가 있습니다.
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- “Measure space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Measure algebra (measure theory)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Atom”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Measure space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
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- Tao, Terry (2009년 1월 1일). “A quick review of measure and probability theory”. 《What’s New》 (영어).
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