알렉산더 쌍대성(Alexander雙對性, 영어: Alexander duality)은 대수적 위상수학에 등장하는 쌍대성 중 하나로, 초구 속 부분 공간의 호몰로지와 그 여집합의 코호몰로지가 서로 동형이라는 것을 말한다.
알렉산더 쌍대성
초구의 비어있지 않은 부분 공간
이 국소적으로 축약 가능할 경우, 다음이 성립한다.
.
여기서
는 축소 호몰로지 · 코호몰로지 군이다. 만약 축소 체흐 코호몰로지를 쓸 경우 국소 축약 가능 공간이라는 조건이 필요 없어진다.
를
의 열린 덮개라고 하면 다음이 성립한다.
slant product를 이용한 증명
[편집]
에 대해 다음 사상을 생각할 수 있다.
![{\displaystyle X\times (\mathbb {S} ^{n}\setminus X)\to \mathbb {S} ^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49aec50a3f4038df6066b694d03adc21fd75f261)
![{\displaystyle (x,y)\mapsto {\frac {x+y}{\|x-y\|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/431faff3eb09e0fdb7d15bdb54b0a21282297a28)
위 사상은 다음 코호몰로지류에 대응한다.
![{\displaystyle [\phi ]\in \operatorname {H} ^{n-1}(X\times (\mathbb {S} ^{n}\setminus X))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66398bca7a22d8c1a90256188f6226da0b6b1898)
위 코호몰로지류와 slant product를 통해, 사상을 만들 수 있다.
![{\displaystyle [\phi ]_{/}\colon \operatorname {H} _{\bullet }(X)\to \operatorname {H} ^{n-\bullet -1}(\mathbb {S} ^{n}\setminus X),\quad \alpha \mapsto \alpha /[\phi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f33b6e24436f93eb630b3e11b43577a1942fd4d)
이제, 만약
가 콤팩트 국소 축약 가능 공간일 경우, 이는 축소 호몰로지의 동형 사상
![{\displaystyle [{\tilde {\phi }}]_{/}\colon \operatorname {\tilde {H}} _{\bullet }(X)\to \operatorname {\tilde {H}} ^{n-\bullet -1}(\mathbb {S} ^{n}\setminus X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78c545c4b2e10b4064855d2e2c358dce4a44dc27)
을 정의한다. 이 사상에 의해 알렉산더 쌍대성이 성립한다.
가 축약 가능 공간)이라고 하자. 이 경우,
역시 축약 가능 공간이다. 축약 가능 공간의 축소 호몰로지와 축소 코호몰로지는 모두 0이므로, 이 경우 알렉산더 쌍대성이 자명하게 성립한다.
(반면, 축약 가능 공간은 0차 (코)호몰로지를 가지므로, 축소가 아닌 일반 (코)호몰로지의 경우 동형이 성립하지 않는 것을 알 수 있다.)
가
차원 초구라고 하자. 이 경우
![{\displaystyle \operatorname {\tilde {H}} _{i}(X)={\begin{cases}0&i<n\\\mathbb {Z} &i=n\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eee2b8656e850a1e1ab1a92cb0771e65b43e5e0d)
이며, 반면
![{\displaystyle \mathbb {S} ^{n+1}\setminus \mathbb {S} ^{n}\cong \mathbb {B} ^{n+1}\times \{0,\infty \}\simeq \{0,\infty \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fc0aac07bae6325e12878258b551b8e92ce7c40)
은 두 개의 점을 가진 이산 공간과 호모토피 동치이므로
![{\displaystyle \operatorname {\tilde {H}} ^{i}(\mathbb {S} ^{n+1}\setminus X)={\begin{cases}\mathbb {Z} &i=0\\0&i>0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1fc86fb799a57bd86c1ad6bf28f1a957df32f7e)
이다. 이에 따라서 알렉산더 쌍대성이 성립하는 것을 알 수 있다.
마찬가지로,
이며
인 경우를 생각하자. 이 경우
![{\displaystyle X=\mathbb {S} ^{1}\simeq \mathbb {S} ^{3}\setminus \mathbb {S} ^{1}=\mathbb {S} ^{3}\setminus X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c66c98b3758478c5ce167b03663f99599dbe2c7b)
이며, 이는 오직 1차에만 자명하지 않은 축소 (코)호몰로지를 갖는다. 이에 따라서 알렉산더 쌍대성이 성립하는 것을 알 수 있다. 이 경우 알렉산더 쌍대성 사상은 연환수에 의하여 유도된다.
1915년에 제임스 워델 알렉산더가 알렉산더 쌍대성의 최초의 형태를 증명하였다.[1] 알렉산더의 시대에는 (코)호몰로지가 아직 발견되지 않았으며, 알렉산더가 실제로 증명한 것은 법2의 베티 수가 일치한다는 것이었다.
- ↑ Alexander Ⅱ, James W. (1915). “A proof of the invariance of certain constants of analysis situs”. 《Trans. Amer. Math. Soc.》 (영어) 16: 148–154.