미분기하학과 일반 상대성 이론에서 스핀 접속(spin接續, 영어: spin connection)은 스피너 다발 위에 존재하는 코쥘 접속이다. 아핀 접속으로부터 정의할 수 있다.
다음이 주어졌다고 하자.
- 매끄러운 다양체
![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
의 접다발
의 코쥘 접속 ![{\displaystyle \nabla }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3d0e93b78c50237f9ea83d027e4ebbdaef354b2)
위의 (국소) 필바인 ![{\displaystyle e_{1}^{\mu },\dotsc ,e_{n}^{\mu }\in \Gamma (\mathrm {T} M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7405924e7a00d80bc191c6680f32ff039e3cca76)
가 필바인 지수,
가 시공간 벡터 지수를 나타낸다고 하자.
그렇다면, 각 점에서 필바인은 접공간의 기저를 이루므로, 다음을 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \nabla _{\mu }e_{b}^{\nu }=\omega _{\mu }{}^{a}{}_{b}e_{a}^{\nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fbaa8722e7a8ce20db667ac01533bf74fad3314)
즉,
![{\displaystyle \omega _{\mu }{}^{a}{}_{b}=e_{\nu }^{a}\nabla _{\mu }e_{b}^{\nu }=e_{\nu }^{a}\left(\partial _{\mu }e_{b}^{\nu }+\Gamma _{\mu \rho }^{\nu }e_{b}^{\rho }\right)=e^{\nu a}\nabla _{\mu }e_{\nu b}=e^{\nu a}(\partial _{\mu }e_{\nu b}-\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }e_{\rho b})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c87f6e9044c9c333756ec345b56930f0168c7cc)
여기서
는 (
로 정의된 리만 계량에 대한) 크리스토펠 기호,
는 필바인이다.
이는 1차 미분 형식들로 이루어진
반대칭 행렬로 여겨질 수 있다. 즉,
![{\displaystyle \eta _{ac}\omega _{\mu }{}^{c}{}_{b}=-\eta _{bc}\omega _{\mu }{}^{c}{}_{a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d3595b7130fc4f5f843491a50f0819c24eb2002)
이다. 여기서
는 필바인 위의 이차 형식(계량)이다.
스핀 접속은 이름과 같이 스피너 다발의 접속의 성분을 구성한다. 구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.
- 부호수
의 준 리만 다양체
. 그 틀다발이
이라고 하자. 즉,
이다.
- 스핀 구조, 즉
의
으로의 올림
.
그렇다면, (디랙) 스피너 다발
![{\displaystyle S\twoheadrightarrow M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2291ef67589c348f506d681cc8facd0283b0f0c)
을 정의할 수 있다. 이는
차원 복소수 벡터 다발이다.
그렇다면,
위에는 다음과 같은 코쥘 접속이 존재한다. 성분으로서 이는 다음과 같다.
![{\displaystyle \nabla _{\mu }\psi =\left(\partial _{\mu }-{\frac {1}{4}}\mathrm {i} \omega _{\mu }^{ab}\sigma _{ab}\right)\psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee1ea5004cb17f00ce0439190532ed789d2dd27d)
여기서
![{\displaystyle \sigma \in \Gamma (\operatorname {End} (S)\otimes _{\mathbb {R} }{\mathfrak {so}}(m,n)^{*})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deb3b1127d1144b7a1cb2340d35e740e0387d468)
는
위의
표현이다.
이것은 리만 기하학에 사용된다.
만약 비틀림이 없는 경우, 스핀 접속은 다음을 만족시킨다.
![{\displaystyle (\mathrm {d} e^{a})_{\mu \nu }+(\omega ^{a}{}_{b}\wedge e^{b})_{\mu \nu }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b479863249888b899cf0586cd9c9d8653392233f)
여기서
는 1차 미분 형식의 외미분,
는 두 1차 미분 형식의 쐐기곱이다.