호모토피 이론에서 단체 준군(單體準群, 영어: simplicial groupoid, simplicially enriched groupoid)은 단체 집합의 모노이드 범주에 대하여 풍성한 범주를 이루는 준군이다.[1]:§Ⅴ[2]
단체 준군은 단체 집합의 모노이드 범주에 대하여 풍성한 범주를 이루는 준군이다.[1]:313, §Ⅴ.7[2]:10, §1 즉, 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- 집합
. 그 원소를 대상이라고 한다.
- 임의의 두
에 대하여, 단체 집합
. 이를
사상들의 단체 집합이라고 한다.
이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
- 각
에 대하여,
는 준군을 이룬다.
- 단체 범주
의 사상 (즉, 증가 함수)
에 대하여,
는 준군 준동형(즉, 함자)을 이룬다. (이들은 대상 집합
에 대하여 항등 함수이다.)
단체 준군의 사상은 준군 준동형(즉, 함자)을 이루는 단체 집합 사상(즉, 단체 범주 위의 준층의 자연 변환)이다. 단체 준군의 범주를
로 표기하자.
단체 준군의 정의에 따라, 준군의 범주 및 단체 집합의 범주로 가는 망각 함자
![{\displaystyle \operatorname {sGpd} \to \operatorname {Gpd} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26bb5b0fd852c021ee452a7ee5655651b7c60a9a)
![{\displaystyle \operatorname {sGpd} \to \operatorname {sSet} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbfe06ce20674279b218a5712ffa1e5c8c08655a)
가 존재한다.
모든 단체 준군으ᇿ 준군 범주의 단체 대상을 이루지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 준군 범주의 단체 대상 가운데 그 대상 단체 집합이 이산 공간인 경우 이는 단체 준군을 이룬다. 특히, 군은 하나의 대상만을 갖는 준군이므로, 군의 범주의 단체 대상은 항상 단체 준군이다. 군의 범주의 단체 대상을 단체군(單體群, 영어: simplicial group)이라고 한다.
모든 단체군은 자동적으로 칸 복합체이며,[3]:18‒04, §3, Théorème 3 따라서 그 호모토피 군을 정의할 수 있다.
단체 집합
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 자연수
에 대하여, 화살집
![{\displaystyle X_{n+1}{\underset {t}{\overset {s}{\rightrightarrows }}}X_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7baf2250558cb3cd116f05ec5ab2966b25b5dd6)
![{\displaystyle s=(\partial _{1})^{n+1}\colon X_{n+1}\to X_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05b6b3a7d693055c229d52ae49a8e9428649908b)
![{\displaystyle t=\partial _{0}\circ (\partial _{2})^{n}\colon X_{n+1}\to X_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4567643d901d57d71527474b2c73bc1e2c257013)
을 생각하자. (
는 화살의 머리,
는 화살의 꼬리를 뜻한다.) 이 화살집으로 생성되는 자유 준군을
이라고 표기하자.
이제, 이 위에 다음과 같은 단체 대상 구조를 줄 수 있다. 자유 준군의 사상의 생성원 (즉, 화살집의 화살)
에 대하여,
![{\displaystyle s_{i}^{\mathrm {G} X}(e)=s_{i+1}^{X}(e)\qquad \forall e\in X_{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d2e8d60890073cd8f2460a99b4cd8ed44fd3af2)
![{\displaystyle \partial _{i}^{\mathrm {G} X}(e)={\begin{cases}\partial _{i+1}^{X}(e)&1\leq i\leq n\\\partial _{0}^{\mathrm {G} X}(e)=(\partial _{0}^{X}(e))^{-1}\partial _{1}^{X}(e)&i=0\end{cases}}\qquad \forall e\in X_{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0491168ed99210bdd270a86f5a4eb29c17475f36)
그렇다면,
는 준군 범주의 단체 대상을 이루며, 면
및 퇴화 단체
사상들이 준군 대상에 대하여 상수 함수이므로, 이는 단체 준군을 이룬다.
이는 단체 집합의 범주에서 단체 준군의 범주로 가는 함자
![{\displaystyle \operatorname {sSet} \to \operatorname {sGpd} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57c27c9ca2e5212cba2066c08ac3ddff9331e3dc)
를 이룬다. 이를 드와이어-칸 고리 준군 함자(Dwyer-Kan고리準群函子, 영어: Dwyer–Kan loop groupoid functor)라고 한다. 대략, 단체 집합
의 고리 준군
는 다음과 같다.
의 대상의 집합
은
의 꼭짓점 집합
과 같다.
의 두 대상 사이의 사상들의 단체 집합은
의 1차원 이상 단체들로 구성된 “경로”들의 집합이다. 여기서
의 1차원 이상 단체에서, 0번째 꼭짓점을 (경로를 구성하는) 변의 “머리”로, 1번째 꼭짓점을 변의 “꼬리”로 여긴다.
이 개념은 고리 공간의 개념의, 단체 집합에 대한 공식화이다.
드와이어-칸 고리 준군 함자는 다음과 같이 제한될 수 있다.
![{\displaystyle G\colon \operatorname {sSet_{red}} \to \operatorname {simp} (\operatorname {Grp} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e63e307a518b1251953c23780f68ddad2bc90b31)
여기서
는 단체 집합 가운데 하나의 꼭짓점만을 갖는 것(축소 단체 집합 縮小單體集合 영어: reduced simplicial set)들의 범주이다.
은 단체군의 범주이다.
드와이어-칸 고리 준군 함자는 또한 오른쪽 수반 함자
![{\displaystyle \mathrm {B} \colon \operatorname {sGpd} \to \operatorname {sSet} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73abe39709d0f9aa53f60abb5980a1e5a29a30f2)
를 가지며, 이를 단체 분류 공간 함자(單體分類空間函子, 영어: simplicial classifying space functor)라고 한다. 즉, 수반 함자의 쌍
![{\displaystyle \mathrm {G} \colon \operatorname {sSet} \leftrightarrows \operatorname {sGpd} \colon \mathrm {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e473c0d7da5fcdad96973f3906f8b2695eef1f0)
이 존재한다.
단체군의 단체 분류 공간은 축소 단체 집합이다. 이를 통해, 수반 함자의 쌍
![{\displaystyle \mathrm {G} \colon \operatorname {sSet_{red}} \leftrightarrows \operatorname {Grp} ^{\triangle ^{\operatorname {op} }}\colon \mathrm {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eed1af2d804590d0c994a6b1512f80756b97e55)
이 존재한다.
구체적으로, 단체 준군
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
![{\displaystyle (\mathrm {B} G)_{0}=\operatorname {Ob} (G)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c2c701f7f855812f4ed0059a5df57ccd3f2b4b)
![{\displaystyle (\mathrm {B} G)_{1}=\operatorname {Mor} (G_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c0c2da58dd4aefdbae09915b194065028231385)
- 여기서
은 준군
의 사상의 머리 및 꼬리 함수이다.
- 면 사상은 다음과 같다.
![{\displaystyle \partial _{0}^{n}(h_{n-1},\dotsc ,h_{0})=(h_{n-2},\dotsc ,h_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a39b1000fec6d87c7f4a5bda5b434d6a255011e)
![{\displaystyle \partial _{i}^{n}(h_{n-1},\dotsc ,h_{0})=(\partial _{i-1}^{G_{n-1}}h_{n-1},\partial _{i-2}^{G_{n-2}}h_{n-2},\dotsc ,\partial _{1}^{G_{n-i+1}}h_{n-i+1},(\partial _{0}^{G_{n-i}}h_{n-i})h_{n-i-1},h_{n-i-2},\dotsc ,h_{0})\qquad (0<i<n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b29bb390d1da68f9a9d0c0059183380a7b48dfd8)
![{\displaystyle \partial _{n}^{n}(h_{n-1},\dotsc ,h_{0})=(\partial _{n-1}^{G_{n-1}}h_{n-1},\dotsc ,\partial _{1}^{G_{1}}h_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/581069b9b7bff0ce9ca4b737fc69ded779112531)
- 퇴화 사상은 다음과 같다.
![{\displaystyle s_{0}^{n}(h_{n-1},\dotsc ,h_{0})=(\operatorname {id} _{{\mathsf {s}}(h_{n-1})},h_{n-1},\dotsc ,h_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c415d09e9d6b5fc1f3d0586f80a49f1e859d8f)
![{\displaystyle s_{i}^{n}(h_{n-1},\dotsc ,h_{0})=(s_{i-1}h_{n-1},\dotsc ,s_{0}h_{n-i},\operatorname {id} _{{\mathsf {t}}(h_{n-i})},h_{n-i-1},\dotsc ,h_{0})\qquad (0<i\leq n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b3cb7d228512b913cb8c6efbd1fea36d450f70)
단체 준군의 범주는 모형 범주의 구조를 가지며, 이는 단체 범주의 (표준적) 모형 범주 구조와 퀼런 동치이다.[1]:323, Theorem 7.8 즉, 그 호모토피 범주는 단체 범주의 호모토피 범주와 동치이다.[1]:325, Corollary 7.11
이 모형 범주 구조에서, 사상
가 올뭉치일 필요 충분 조건은 다음 두 조건이 동시에 성립하는 것이다.
- (올림의 존재) 임의의
의 대상
및
의 사상
에 대하여,
이며
인
의 사상
이 존재한다.
- 각 대상
에 대하여, 단체 집합 사상
는 칸 올뭉치이다.
이 모형 범주 구조에서, 사상
가 약한 동치일 필요 충분 조건은 다음 두 조건이 동시에 성립하는 것이다.
는 연결 성분 집합
,
사이의 전단사 함수를 정의한다.
- 임의의
에 대하여,
는 단체 집합의 약한 동치를 이룬다.
이에 따라, 단체 준군을 위상 공간의 호모토피 유형의 모형으로 간주할 수 있다. 이러한 관점에서, 단체군은 연결 공간에 해당한다.
단체군
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이로부터 무어 복합체라는 군들의 열을 정의할 수 있다.
![{\displaystyle (\mathrm {N} G)_{0}{\xleftarrow {\partial _{1}}}(\mathrm {N} G)_{1}{\xleftarrow {\partial _{2}}}(\mathrm {N} G)_{2}{\xleftarrow {\partial _{3}}}\dotsb }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d5312865744b83a9e78cb945930593bf491e3a)
이 사이의 사상
은 군 준동형이며, 또한
(상수 함수)이다. 즉, 이는 군의 “사슬 복합체”를 이룬다. 또한, 각 경계 사상의 상은 정규 부분군을 이룬다. (즉, 이 “사슬 복합체”의 “호몰로지”를 취할 수 있다.) 이러한 구조
를 단체군
의 무어 복합체(Moore複合體, 영어: Moore complex)라고 한다.
구체적으로,
![{\displaystyle (\mathrm {N} G)_{n}=\bigcap _{i=1}^{n}\ker \partial _{i}^{G_{n}}\leq G_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25ae7ad8574ca242c48db8e9225eb9848f96a70c)
![{\displaystyle \partial _{n}=\left(\partial _{i}^{G_{n}}\upharpoonright (\mathrm {N} G)_{n}\right)\colon (\mathrm {N} G)_{n}\to (\mathrm {N} G)_{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bd168aa2672be25dedb7fa1073145724bb3f61f)
이다. 여기서
은 단체 대상의 면 사상이다. (※
은 교집합에서 사용되지 않는다.) 다시 말해,
- 무어 복합체의 항
은
의
차원 단체 가운데, 1번째〜
번째 면들이 모두 자명한 것들로 구성된 부분군이다. 그러나 0번째 면은 자명하지 않을 수 있다. (특히,
이다.)
- 무어 복합체의 경계 준동형은 0번째 면을 취하는 연산이다.
이러한 무어 복합체는 초교차 복합체(超交叉複合體, 영어: hypercrossed complex)라는 대수 구조를 이루며, 무어 복합체 구성을 통해 단체군의 범주는 초교차 복합체의 범주와 동치이다.[4]
특히, 무어 복합체에서
이라고 하고, 처음 두 항
![{\displaystyle (\mathrm {N} G)_{0}{\xleftarrow {\partial }}(\mathrm {N} G)_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfc3b5bc027e90c5124e637dd90c3c97288a6032)
을 생각하자.
은
위에 다음과 같이 작용한다.
![{\displaystyle g\cdot h=s_{0}^{G_{0}}(g)h(s_{0}^{G_{0}}(g))^{-1}\in (\mathrm {N} G)_{1}\qquad (g\in G_{0},\;h\in (\mathrm {N} G)_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ef4c1285c808d6d78d9e1065f3bec44265de032)
그렇다면, 이 데이터는 교차 가군을 정의한다.
축소 단체 집합의 고리 군은 다니얼 칸이 1958년에 도입하였다.[5] 이 구성을 윌리엄 제러드 드와이어(영어: William Gerard Dwyer, 1947〜)와 다니얼 칸이 1984년에 임의의 단체 집합의 고리 준군으로 일반화하였다.[6]