환론 에서, 곱셈에 대한
항등원 을 '단위원'(單位元, unity)이라고 부르기도 합니다.
단위원 (單位圓,unit circle)은 반지름이 1 인 원이다. 특별히 해석기하학 에서는 원점
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
많은 경우 단위원은
S
1
{\displaystyle S^{1}}
n
{\displaystyle n}
n
=
1
{\displaystyle n=1}
S
1
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
|
x
2
+
y
2
=
1
}
.
{\displaystyle S^{1}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|x^{2}+y^{2}=1\right\}.}
[ 편집 ] 단위원 위의 임의의 점
P
{\displaystyle P}
극좌표 를 이용하여 나타내는 경우,
(
r
,
θ
)
=
(
1
,
θ
)
{\displaystyle (r,\theta )=(1,\theta )}
θ
{\displaystyle \theta }
P
{\displaystyle P}
O
P
{\displaystyle OP}
x
{\displaystyle x}
0
{\displaystyle 0}
θ
{\displaystyle \theta }
2
π
{\displaystyle 2\pi }
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
점
P
{\displaystyle P}
점
P
{\displaystyle P}
s
i
n
θ
=
y
r
,
c
o
s
θ
=
x
r
{\displaystyle sin\theta ={\frac {y}{r}},cos\theta ={\frac {x}{r}}}
단위원의 경우, 원점으로부터의 거리
r
=
1
{\displaystyle r=1}
y
=
s
i
n
θ
,
x
=
c
o
s
θ
{\displaystyle y=sin\theta ,x=cos\theta }
이와 같은 방식으로 삼각함수의 정의를 이용하여 단위원 위의 모든 점을 '원점으로부터의 거리(
r
{\displaystyle r}
x
{\displaystyle x}
θ
{\displaystyle \theta }
[ 편집 ] 단위원 위의 임의의 한 점
P
{\displaystyle P}
t
{\displaystyle t}
t
{\displaystyle t}
(
−
1
,
0
)
{\displaystyle (-1,0)}
l
{\displaystyle l}
l
{\displaystyle l}
(
−
1
,
0
)
{\displaystyle (-1,0)}
P
{\displaystyle P}
l
{\displaystyle l}
P
{\displaystyle P}
t
{\displaystyle t}
(
−
1
,
0
)
{\displaystyle (-1,0)}
단위원의 원의 방정식:
x
2
+
y
2
=
1.
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}
직선
l
{\displaystyle l}
y
=
t
x
+
t
.
{\displaystyle y=tx+t.}
직선
l
{\displaystyle l}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
x
2
+
(
t
x
+
t
)
2
=
1.
{\displaystyle x^{2}+(tx+t)^{2}=1.}
⇒
x
2
+
t
2
x
2
+
2
t
2
x
+
t
2
−
1
=
0.
{\displaystyle \Rightarrow x^{2}+t^{2}x^{2}+2t^{2}x+t^{2}-1=0.}
⇒
(
1
+
t
2
)
x
2
+
2
t
2
x
+
(
t
2
−
1
)
=
0.
{\displaystyle \Rightarrow (1+t^{2})x^{2}+2t^{2}x+(t^{2}-1)=0.}
얻어낸
x
{\displaystyle x}
P
{\displaystyle P}
x
{\displaystyle x}
x
=
−
t
2
±
t
4
−
(
t
2
−
1
)
(
t
2
+
1
)
(
1
+
t
2
)
=
−
t
2
±
t
4
−
(
t
4
−
1
)
(
1
+
t
2
)
=
−
t
2
±
t
4
−
t
4
+
1
(
1
+
t
2
)
=
t
2
±
1
1
+
t
2
.
{\displaystyle x={\frac {-t^{2}\pm {\sqrt {t^{4}-(t^{2}-1)(t^{2}+1)}}}{(1+t^{2})}}={\frac {-t^{2}\pm {\sqrt {t^{4}-(t^{4}-1)\ }}}{(1+t^{2})}}={\frac {-t^{2}\pm {\sqrt {t^{4}-t^{4}+1}}}{(1+t^{2})}}={\frac {t^{2}\pm 1}{1+t^{2}}}.}
∴
x
=
−
1
{\displaystyle \therefore x=-1}
x
=
1
−
t
2
1
+
t
2
.
{\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.}
따라서, 점
P
{\displaystyle P}
x
{\displaystyle x}
x
=
1
−
t
2
1
+
t
2
{\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}
x
{\displaystyle x}
l
{\displaystyle l}
y
{\displaystyle y}
P
{\displaystyle P}
단위원과 직선
l
{\displaystyle l}
P
=
(
1
−
t
2
1
+
t
2
,
2
t
1
+
t
2
)
{\displaystyle P=\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}
이와 같은 방식으로 원과 두 개의 교점을 갖는 직선을 이용하여 단위원 위의 모든 점의 좌표(단,
(
−
1
,
0
)
{\displaystyle (-1,0)}
t
{\displaystyle t}
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
P
{\displaystyle P}
(
−
1
,
0
)
{\displaystyle (-1,0)}
t
{\displaystyle t}
참고) 단위원 위의 임의의 한 점의 유리매개화를 통해 단위원과 임의의 곡선
g
(
x
,
y
)
{\displaystyle g(x,y)}
예를 들어,
f
(
x
,
y
)
=
x
2
+
y
2
−
1
,
g
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1,g(x,y)=0}
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
g
(
x
,
y
)
{\displaystyle g(x,y)}
g
(
x
,
y
)
{\displaystyle g(x,y)}
n
{\displaystyle n}
결론부터 말하자면,
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
g
(
x
,
y
)
{\displaystyle g(x,y)}
2
n
{\displaystyle 2n}
우선, 두 곡선
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
g
(
x
,
y
)
{\displaystyle g(x,y)}
Q
{\displaystyle Q}
(
−
1
,
0
)
{\displaystyle (-1,0)}
Q
=
(
1
−
t
2
1
+
t
2
,
2
t
1
+
t
2
)
{\displaystyle Q=\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}
이 때,
(
x
,
y
)
=
(
1
−
t
2
1
+
t
2
,
2
t
1
+
t
2
)
{\displaystyle (x,y)=\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}
g
(
x
,
y
)
=
g
(
1
−
t
2
1
+
t
2
,
2
t
1
+
t
2
)
=
0
{\displaystyle g(x,y)=g\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)=0}
여기서
g
(
x
,
y
)
=
g
(
1
−
t
2
1
+
t
2
,
2
t
1
+
t
2
)
=
0
{\displaystyle g(x,y)=g\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)=0}
t
{\displaystyle t}
따라서 우리가 알고 싶은 것은
t
{\displaystyle t}
t
{\displaystyle t}
C
{\displaystyle C}
ij
(
1
−
t
2
1
+
t
2
)
i
{\displaystyle ({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}})^{i}}
(
2
t
1
+
t
2
)
j
{\displaystyle ({\frac {2t}{1+t^{2}}})^{j}}
=
{\displaystyle =}
C
{\displaystyle C}
ij
(
1
−
t
2
)
i
(
2
t
)
j
(
1
+
t
2
)
i
+
j
{\displaystyle {\frac {(1-t^{2})^{i}(2t)^{j}}{(1+t^{2})^{i+j}}}}
(단,
C
{\displaystyle C}
ij 는 각 항의 계수이며, i+j<n이다.)
그리고 위 식 우변에
(
1
+
t
2
)
{\displaystyle (1+t^{2})}
i+j 을 곱하면,
C
{\displaystyle C}
ij
(
1
−
t
2
)
i
(
2
t
)
j
(
1
+
t
2
)
n
−
i
+
j
{\displaystyle (1-t^{2})^{i}(2t)^{j}(1+t^{2})^{n-i+j}}
그러므로 차수(
d
e
g
r
e
e
{\displaystyle degree}
2
i
+
j
+
2
n
−
2
(
i
+
j
)
{\displaystyle 2i+j+2n-2(i+j)}
=
2
n
−
j
<
2
n
{\displaystyle =2n-j<2n}
따라서
t
{\displaystyle t}
2
n
{\displaystyle 2n}
단위원 과 임의의 곡선
g
(
x
,
y
)
{\displaystyle g(x,y)}
2
n
{\displaystyle 2n}
복소평면 상의 단위원은 절댓값이 1 인 복소수 의 자취
{z ∈ C | |z | = 1} = {exp(i θ) | 0 ≤ θ < 2π} 가 된다 (exp는 자연대수의 밑인 e 을 밑으로 하는 복소변수 지수함수 ). 이 집합은 복소수의 통상의 곱에 관해서 닫혀 있고 군 (群, group)을 이루어 원주군 (circle group)으로 불리기도 한다. 이것은 또 1차원의 유니타리 군 으로 불리는 리 군 이며 U(1)라고 표시한다.
이 부분의 본문은 삼각함수입니다.
