이체 문제 에서 고유 궤도 에너지
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
specific orbital energy ) 또는 활력에너지 (vis-viva energy )는 궤도에 관여하는 두 물체의 위치 에너지
ϵ
p
{\displaystyle \epsilon _{p}}
운동 에너지
ϵ
k
{\displaystyle \epsilon _{k}}
환산 질량 으로 나눈 값으로, 활력방정식 에 의해 이 값은 시간과 관계없이 일정하게 유지된다. 단위는 J/kg = m2 ⋅s−2 또는 MJ/kg = km2 ⋅s−2 이다.
ϵ
=
ϵ
k
+
ϵ
p
=
v
2
2
−
μ
r
=
−
1
2
μ
2
h
2
(
1
−
e
2
)
=
−
μ
2
a
{\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon &=\epsilon _{k}+\epsilon _{p}\\&={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu ^{2}}{h^{2}}}\left(1-e^{2}\right)=-{\frac {\mu }{2a}}\end{aligned}}}
v
{\displaystyle v}
r
{\displaystyle r}
μ
=
G
(
m
1
+
m
2
)
{\displaystyle \mu ={G}(m_{1}+m_{2})}
표준 중력 변수 의 합이다.
h
{\displaystyle h}
상대 비각운동량 이다.
e
{\displaystyle e}
궤도 이심률 이다.
a
{\displaystyle a}
긴반지름 이다.타원 궤도에서 고유 궤도 에너지는 해당 궤도를 도는 1 kg의 물체를 탈출 궤도로 진입시키는 데 필요한 에너지의 역수이며, 쌍곡선 궤도의 경우에는 포물선 궤도에 비해 추가로 보유한 에너지의 양과 같다.
타원 궤도에서 고유 궤도 에너지의 식은 상대 비각운동량 과 결합하면 다음으로 단순화된다.[ 1]
ϵ
=
−
μ
2
a
{\displaystyle \epsilon =-{\frac {\mu }{2a}}}
μ
=
G
(
m
1
+
m
2
)
{\displaystyle \mu =G\left(m_{1}+m_{2}\right)}
표준 중력 변수 이다.
a
{\displaystyle a}
긴반지름 이다.증명
타원 궤도에서 고유 각운동량 h 는 다음으로 구해진다.
h
2
=
μ
p
=
μ
a
(
1
−
e
2
)
{\displaystyle h^{2}=\mu p=\mu a\left(1-e^{2}\right)}
고유 궤도 에너지 식의 일반형은 다음과 같다.
ϵ
=
v
2
2
−
μ
r
{\displaystyle \epsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}}
궤도 근점에서의 상대 속도와 관련시키면 다음과 같이 변한다.
v
p
2
=
h
2
r
p
2
=
h
2
a
2
(
1
−
e
)
2
=
μ
a
(
1
−
e
2
)
a
2
(
1
−
e
)
2
=
μ
(
1
−
e
2
)
a
(
1
−
e
)
2
{\displaystyle v_{p}^{2}={h^{2} \over r_{p}^{2}}={h^{2} \over a^{2}(1-e)^{2}}={\mu a\left(1-e^{2}\right) \over a^{2}(1-e)^{2}}={\mu \left(1-e^{2}\right) \over a(1-e)^{2}}}
따라서 고유 궤도 에너지 방정식은 다음과 같이 변형된다.
ϵ
=
μ
a
[
1
−
e
2
2
(
1
−
e
)
2
−
1
1
−
e
]
=
μ
a
[
(
1
−
e
)
(
1
+
e
)
2
(
1
−
e
)
2
−
1
1
−
e
]
=
μ
a
[
1
+
e
2
(
1
−
e
)
−
2
2
(
1
−
e
)
]
=
μ
a
[
e
−
1
2
(
1
−
e
)
]
=
−
μ
2
a
{\displaystyle \epsilon ={\mu \over a}{\left[{1-e^{2} \over 2(1-e)^{2}}-{1 \over 1-e}\right]}={\mu \over a}{\left[{(1-e)(1+e) \over 2(1-e)^{2}}-{1 \over 1-e}\right]}={\mu \over a}{\left[{1+e \over 2(1-e)}-{2 \over 2(1-e)}\right]}={\mu \over a}{\left[{e-1 \over 2(1-e)}\right]}=-{\mu \over 2a}}
포물선 궤도에서 고유 궤도 에너지는 다음으로 고정된다.
ϵ
=
0
{\displaystyle \epsilon =0}
쌍곡선 궤도에서는 a 의 표시 방법에 따라, 타원 궤도와 형태가 같게 표시하거나 부호를 반전하여 표시한다. 이 경우의 고유 궤도 에너지는 특성 에너지(
C
3
{\displaystyle C_{3}}
ϵ
=
μ
2
a
{\displaystyle \epsilon ={\mu \over 2a}}
쌍곡선 초과 속도
v
∞
{\displaystyle v_{\infty }}
2
ϵ
=
C
3
=
v
∞
2
.
{\displaystyle 2\epsilon =C_{3}=v_{\infty }^{2}.}
따라서, 궤도 위치 벡터
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
궤도 속도 벡터
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
타원 궤도에서 궤도 긴반지름의 변화에 대한 고유 궤도 에너지의 변화율은 다음과 같다.
μ
2
a
2
{\displaystyle {\frac {\mu }{2a^{2}}}}
μ
=
G
(
m
1
+
m
2
)
{\displaystyle \mu ={G}(m_{1}+m_{2})}
표준 중력 변수 이다.
a
{\displaystyle a\,\!}
긴반지름 이다.궤도 중심체의 반지름이 R 이라 하면, 중심체 표면에 대한 타원 궤도에서 필요한 추가적인 고유 궤도 에너지는 다음과 같다.
−
μ
2
a
+
μ
R
=
μ
(
2
a
−
R
)
2
a
R
{\displaystyle \ -{\frac {\mu }{2a}}+{\frac {\mu }{R}}={\frac {\mu (2a-R)}{2aR}}}
2
a
−
R
{\displaystyle 2a-R}
a
{\displaystyle a}
R
{\displaystyle R}
(
g
R
/
2
)
{\displaystyle (gR/2)}
V
2
2
=
g
R
2
{\displaystyle {\frac {V^{2}}{2}}={\frac {gR}{2}}}
V
=
g
R
{\displaystyle V={\sqrt {gR}}}
보이저 1호 의 궤도 수치는 다음과 같다.
태양의 표준 중력 변수:
μ
=
G
M
{\displaystyle \mu =GM}
3 ⋅s−2
r = 17×10^ 9 km
v = 17.1 km/s 따라서 고유 궤도 에너지는 다음으로 구해진다.
ϵ
=
ϵ
k
+
ϵ
p
=
v
2
2
−
μ
r
{\displaystyle \epsilon =\epsilon _{k}+\epsilon _{p}={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}}
2 ⋅s−2 − 8 km2 ⋅s−2 = 138 km2 ⋅s−2 또한, 쌍곡선 초과 속도는 다음으로 구해진다.
v
∞
=
{\displaystyle v_{\infty }=}
km/s로켓의 시간당 고유 궤도 에너지 변화는
v
⋅
a
{\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} }
v
⋅
(
a
−
g
)
{\displaystyle \mathbf {v} \cdot (\mathbf {a} -\mathbf {g} )}
v
⋅
g
{\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {g} }
a 은 추력 으로 인해 생기는 가속도로, 시간당 델타 V 가 소모되는 비율이다.g 은 중력장의 세기이다.v 은 로켓의 속도이다.로켓의 단위 델타 V 변화당 고유 궤도 에너지 변화는 다음으로 표현되며,
v
⋅
a
|
a
|
{\displaystyle {\frac {\mathbf {v\cdot a} }{|\mathbf {a} |}}}
이는 |v |에 v 와 a 사이 각도의 코사인 값을 곱한 것과 같다.
따라서 고유 궤도 에너지를 증가시키기 위해 델타 V를 가할 때, 가속도 a 가 v 의 방향과 같은 방향으로 가해졌을 때 가장 효율이 높다.
로켓을 처음 발사할 때나 더 높은 궤도로 올라갈 때, 즉 v 와 g 사이의 각도가 둔각일 경우, 델타 V를 최대한 빠르고 짧게 가하는 것이 가장 효율이 높다. 즉 행성을 근접 통과할 때는 행성에 가장 가까운 지점에서 분사하는 것이 가장 효율이 좋다는 뜻으로, 오베르트 효과 와 같은 뜻이다.
반대로 고유 궤도 에너지를 감소시킬 때는, a 가 v 와 반대 방향일 때 효율이 가장 높으며, v 와 g 사이 각도가 예각인 착륙이나 낮은 궤도로 내려가는 경우에는 델타 V를 최대한 늦게 가하는 것이 효율이 높다.
a 의 방향이 v 와 같다면 식은 다음이 된다.
Δ
ϵ
=
∫
v
d
(
Δ
v
)
=
∫
v
a
d
t
{\displaystyle \Delta \epsilon =\int v\,d(\Delta v)=\int v\,adt}
궤도
거리(중심부터 중심까지)
고도(지구의 표면부터)
공전 속도
공전 주기
고유 궤도 에너지
지구의 자전 (비교용)
6,378 km 0 km
465.1 m/s
23 시간 56 분 −62.6 MJ/kg
지구 표면에서의 이론적인 궤도 (적도)
6,378 km
0 km
7.9 km/s
1 시간 24 분 18 초
−31.2 MJ/kg
지구 저궤도
6,600–8,400 km
200–2,000 km
원: 6.9–7.8 km/s 타원: 6.5–8.2 km/s 1 시간 29 분 – 2 시간 8 분
−29.8 MJ/kg
몰니야 궤도
6,900–46,300 km
500–39,900 km
1.5–10.0 km/s
11 시간 58 분
−4.7 MJ/kg
정지 궤도
42,000 km
35,786 km
3.1 km/s
23 시간 56 분
−4.6 MJ/kg
달의 궤도
363,000–406,000 km
357,000–399,000 km
0.97–1.08 km/s
27.3 일
−0.5 MJ/kg
![{\displaystyle \epsilon ={\mu \over a}{\left[{1-e^{2} \over 2(1-e)^{2}}-{1 \over 1-e}\right]}={\mu \over a}{\left[{(1-e)(1+e) \over 2(1-e)^{2}}-{1 \over 1-e}\right]}={\mu \over a}{\left[{1+e \over 2(1-e)}-{2 \over 2(1-e)}\right]}={\mu \over a}{\left[{e-1 \over 2(1-e)}\right]}=-{\mu \over 2a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d149cb91a7c43b6be5fafc9133edbc2c97d472f)
