逆三角関数

数学において、逆三角関数（ぎゃくさんかくかんすう、逆三角函数、英: inverse trigonometric function、時折 cyclometric function^[1]）は（定義域を適切に制限した）三角関数の逆関数である。具体的には、それらは正弦 (sine)、余弦 (cosine)、正接 (tangent)、余接 (cotangent)、正割 (secant)、余割 (cosecant) 関数の逆関数である。これらは三角関数値から角度を得るために使われる。逆三角関数は工学、航法、物理学、幾何学において広く使われる。

表記

逆三角関数の表記はたくさんある。しばしば $sin -1 (x), cos -1 (x), tan -1 (x)$ などの表記が使われるが、この慣習はよく使われる $sin 2 (x)$ といった、写像の合成ではなく冪乗を意味する表記と混同し、それゆえ合成的逆と乗法逆元との混乱を起こす可能性がある。三角関数には各逆数に名称が付されており、 $(cos x) -1 = sec x$ といった事実により混乱は幾分改善される。著者によっては別の慣習表記もあり^[2]、 $Sin -1 (x), Cos -1 (x)$ などのように、大文字の（英語版）最初の文字を $-1$ の右上添え字とともに用いるという表記がある。これは $sin -1 (x), cos -1 (x)$ などによって表現されるべき乗法逆元との混乱を避ける。一方、語頭の大文字を主値を取ることを意味するために使う著者もいる^[3]。また別の慣習は接頭辞に arc- を用いることであり、右上の $-1$ の添え字の混乱は完全に解消される。その際の表記は $arcsin (x), arccos (x), arctan (x), arccot (x), arcsec (x), arccsc (x)$ となる。本記事では全体的にこの慣習を表記に用いる。コンピュータ言語では、逆三角関数の表記は通常 asin, acos, atan が使われている。

歴史

接頭辞 "arc" の起源は、弧度法に由来する。例えば、「余弦が $x$ となる角度」は、単位円において、「余弦が $x$ となる弧 (arc)」と同義である^[4]。

逆正接函数の数表は実用上の要請から、すでにクラウディオス・プトレマイオスによって作成されていたという^[5]。

→詳細は「atan2」を参照

→「en:CORDIC」も参照

基本的な性質

主値

6つの三角関数はいずれも単射でないから、その逆関係は多価関数である。逆関数を考えるには、変域を制限する。それゆえ逆関数の値域はもとの関数の定義域の真の部分集合である。

例えば、平方根関数 $y = \sqrt x$ は $y 2 = x$ から定義できるのと同様に、関数 $y = arcsin(x)$ は $sin(y) = x$ であるように定義される。 $sin y = x$ となる数 $y$ は無数にある；例えば $0 = sin 0 = sin π = sin 2π = \dots$ となっている。返す値を1つだけにするために、関数はその主枝（英語版）に制限する。この制限の上で、定義域内の各 $x$ に対して表現 $arcsin(x)$ はその主値と呼ばれるただ1つの値だけを返す。これらの性質はすべての逆三角関数について同様に当てはまる。

主逆関数は以下の表にリストされる。

名前	通常の表記	定義	実数を与える $x$ の定義域	通常の主値の終域（ラジアン）	通常の主値の終域（度）
逆正弦 (arcsine)	$y = arcsin x$	$x = sin y$	$-1 \leq x \leq 1$	$−.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}π/2 ≤ y ≤ π/2$	$-90° \leq y \leq 90°$
逆余弦 (arccosine)	$y = arccos x$	$x = cos y$	$-1 \leq x \leq 1$	$0 \leq y \leq π$	$0° \leq y \leq 180°$
逆正接 (arctangent)	$y = arctan x$	$x = tan y$	すべての実数	$- π / 2 < y < π / 2$	$-90° < y < 90°$
逆余接 (arccotangent)	$y = arccot x$	$x = cot y$	すべての実数	$0 < y < π$	$0° < y < 180°$
逆正割 (arcsecant)	$y = arcsec x$	$x = sec y$	$x \leq -1 or 1 \leq x$	$0 \leq y < π / 2 or π / 2 < y \leq π$	$0° \leq y < 90° or 90° < y \leq 180°$
逆余割 (arccosecant)	$y = arccsc x$	$x = csc y$	$x \leq -1 or 1 \leq x$	$- π / 2 \leq y < 0 or 0 < y \leq π / 2$	$-90° \leq y < 0° or 0° < y \leq 90°$

（注意：逆正割関数の終域を $(0 \leq y < π / 2 or π \leq y < 3 / 2 π)$ と定義する著者もいる、なぜならば正接関数がこの定義域上非負だからである。これによっていくつかの計算がより首尾一貫したものになる。例えば、この終域を用いて、 $tan(arcsec(x)) = \sqrt x 2 - 1$ と表せる。一方で終域 $(0 \leq y < π / 2 or π / 2 < y \leq π)$ を用いる場合、 $tan(arcsec(x)) = \pm \sqrt x 2 - 1$ と書かねばならない、なぜならば正接関数は $0 \leq y < π / 2$ 上は負でないが $π / 2 < y \leq π$ 上は正でないからである。類似の理由のため、同じ著者は逆余割関数の終域を $(-π < y \leq - π / 2 or 0 < y \leq π / 2)$ と定義する。）

$x$ が複素数であることを許す場合、 $y$ の終域はその実部にのみ適用する。

三角関数と逆三角関数の関係

逆三角関数の三角関数を以下の表に示す。表にある関係を導くには、単純には幾何学的な考察から、直角三角形の一辺の長さを 1 とし、他方の辺の長さを $0 \leq x \leq 1$ にとってピタゴラスの定理と三角比の定義を適用すればよい（表中の図を参照）。このような幾何学的な手段を用いない、純代数学的導出はより長いものとなる。

$\theta$	$\sin \theta$	$\cos \theta$	$\tan \theta$
$\arcsin x$	$\sin \arcsin x=x$	$\cos \arcsin x={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\tan \arcsin x={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos x$	$\sin \arccos x={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\cos \arccos x=x$	$\tan \arccos x={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$
$\arctan x$	$\sin \arctan x={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos \arctan x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan \arctan x=x$
$\operatorname {arccot} x$	$\sin \operatorname {arccot} x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos \operatorname {arccot} x={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan \operatorname {arccot} x={\frac {1}{x}}$
$\operatorname {arcsec} x$	$\sin \operatorname {arcsec} x={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	$\cos \operatorname {arcsec} x={\frac {1}{x}}$	$\tan \operatorname {arcsec} x={\sqrt {x^{2}-1}}$
$\operatorname {arccsc} x$	$\sin \operatorname {arccsc} x={\frac {1}{x}}$	$\cos \operatorname {arccsc} x={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	$\tan \operatorname {arccsc} x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$

逆三角関数の間の関係

余角：

{\begin{aligned}\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\\operatorname {arccot} x&={\frac {\pi }{2}}-\arctan x\\\operatorname {arccsc} x&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec} x\end{aligned}}

負角：

{\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin x\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos x\\\arctan(-x)&=-\arctan x\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot} x\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec} x\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc} x\end{aligned}}

逆数：

{\begin{aligned}\arccos {\frac {1}{x}}&=\operatorname {arcsec} x\\\arcsin {\frac {1}{x}}&=\operatorname {arccsc} x\\\arctan {\frac {1}{x}}&={\frac {\pi }{2}}-\arctan x=\operatorname {arccot} x,{\text{ if }}x>0\\\arctan {\frac {1}{x}}&=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan x=-\pi +\operatorname {arccot} x,{\text{ if }}x<0\\\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\arctan x,{\text{ if }}x>0\\\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}&={\frac {3}{2}}\pi -\operatorname {arccot} x=\pi +\arctan x,{\text{ if }}x<0\\\operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}&=\arccos x\\\operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}&=\arcsin x\end{aligned}}

表から $sin$ の項目を参照すれば：

{\begin{aligned}\arccos x&=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arctan x&=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\end{aligned}}

ここでは複素数の平方根を、正の実部（あるいは平方が負の実数であれば正の虚部）を持つように選ぶ。

半角公式（英語版） $\tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}$ から、次を得る：

{\begin{aligned}\arcsin x&=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\\[1ex]\arccos x&=2\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}},{\text{ if }}-1<x\leq +1\\[1ex]\arctan x&=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\end{aligned}}

逆正接加法定理

\arctan u+\arctan v=\arctan {\frac {u+v}{1-uv}}{\pmod {\pi }},\qquad uv\neq 1\,.

これは正接の加法定理

\tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}

から

\alpha =\arctan u\,,\quad \beta =\arctan v

とすることで導かれる。

微分積分学

逆三角関数の導関数

→詳細は「三角関数の公式の一覧 § 逆三角関数に関する公式」を参照

$z$ の複素数値の導関数は次の通りである：

{\begin{aligned}{\frac {d}{dz}}\arcsin z&={\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}};\quad z\neq \pm 1\\{\frac {d}{dz}}\arccos z&={\frac {-1}{\sqrt {1-z^{2}}}};\quad z\neq \pm 1\\{\frac {d}{dz}}\arctan z&={\frac {1}{1+z^{2}}};\quad z\neq \pm i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccot} z&={\frac {-1}{1+z^{2}}};\quad z\neq \pm i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arcsec} z&={\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-z^{-2}}}}};\quad z\neq 0,\pm 1\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccsc} z&={\frac {-1}{z^{2}{\sqrt {1-z^{-2}}}}};\quad z\neq 0,\pm 1\end{aligned}}

$x$ が実数である場合のみ、以下の関係が成り立つ：

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&={\frac {1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&={\frac {-1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\end{aligned}}

導出例： $θ = arcsin x$ であれば：

{\frac {d\arcsin x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sin \theta }}={\frac {d\theta }{\cos \theta \,d\theta }}={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}

定積分としての表現

導関数を積分し一点で値を固定すると逆三角関数の定積分としての表現が得られる：

{\begin{aligned}\arcsin x&=\int _{0}^{x}{\frac {dz}{\sqrt {1-z^{2}}}},\qquad |x|\leq 1\\\arccos x&=\int _{x}^{1}{\frac {dz}{\sqrt {1-z^{2}}}},\qquad |x|\leq 1\\\arctan x&=\int _{0}^{x}{\frac {dz}{z^{2}+1}},\\\operatorname {arccot} x&=\int _{x}^{\infty }{\frac {dz}{z^{2}+1}},\\\operatorname {arcsec} x&=\int _{1}^{x}{\frac {dz}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}},\qquad x\geq 1\\\operatorname {arcsec} x&=\pi +\int _{x}^{-1}{\frac {dz}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}},\qquad x\leq -1\\\operatorname {arccsc} x&=\int _{x}^{\infty }{\frac {dz}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}},\qquad x\geq 1\\\operatorname {arccsc} x&=\int _{-\infty }^{x}{\frac {dz}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}},\qquad x\leq -1\end{aligned}}

$x = 1$ では被積分関数値は定義できないが、定積分としては広義積分としてきちんと定義されている。

級数

正弦・余弦関数のように、逆三角関数は次のように級数を用いて計算できる：

{\begin{aligned}\arcsin z&=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\binom {2n}{n}}{4^{n}(2n+1)}}z^{2n+1}\\&=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\dfrac {z^{2n+1}}{2n+1}}\\&=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\dotsb ;\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}

{\begin{aligned}\arccos z&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\\&={\frac {\pi }{2}}-\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\binom {2n}{n}}{4^{n}(2n+1)}}z^{2n+1}\\&={\frac {\pi }{2}}-\left(z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\dotsb \right);\quad |z|\leq 1\end{aligned}}

{\begin{aligned}\arctan z&=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}\\&=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\dotsb ;\quad |z|\leq 1,z\neq \pm i\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arccot} z&={\dfrac {\pi }{2}}-\arctan z\\&={\frac {\pi }{2}}-\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}\\&={\frac {\pi }{2}}-\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\dotsb \right);\quad |z|\leq 1,z\neq \pm i\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&=\arccos {\frac {1}{z}}\\&={\frac {\pi }{2}}-\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\binom {2n}{n}}{4^{n}(2n+1)}}z^{-(2n+1)}\\&={\frac {\pi }{2}}-\left(z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\dotsb \right);\quad |z|\geq 1\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arccsc} z&=\arcsin {\frac {1}{z}}\\&=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\binom {2n}{n}}{4^{n}(2n+1)}}z^{-(2n+1)}\\&=z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\dotsb ;\quad |z|\geq 1\end{aligned}}

レオンハルト・オイラー (Leonhard Euler) は逆正接関数のより効率的な級数を見つけた：

\arctan z={\frac {z}{1+z^{2}}}\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }\prod \limits _{k=1}^{n}{\dfrac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}.

（

n = 0

に対する和の項は

1

である 0 項の積であることに注意する。）

代わりにこれは次のようにも書ける^[6]：

\arctan z=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}\;{\dfrac {z^{\,2n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}

ここから次の級数も得られる：

(\arcsin z)^{2}=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {2^{2n+1}(n!)^{2}}{(2n+2)!}}\;z^{\,2n+2}

変種：逆正接関数の連分数

逆正接関数の冪級数の2つの代わりはこれらの一般化連分数（英語版）である：

{\begin{aligned}\arctan z&={\cfrac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3-1z^{2}+{\cfrac {(3z)^{2}}{5-3z^{2}+{\cfrac {(5z)^{2}}{7-5z^{2}+{\cfrac {(7z)^{2}}{9-7z^{2}+\ddots }}}}}}}}}}\\&={\cfrac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots \,}}}}}}}}}}\end{aligned}}

これらの2番目は cut 複素平面において有効である。 $- i$ から虚軸を下がって無限の点までと $i$ から虚軸を上がって無限の点までの2つの cut がある。それは $-1$ から $1$ まで走る実数に対して最もよく働く。部分分母は奇数であり部分分子は（最初の後）単に $(nz) 2$ であり各完全平方が一度現れる。1つ目はレオンハルト・オイラーによって開発された。2つ目はガウスの超幾何級数（英語版）を利用してカール・フリードリヒ・ガウス (Carl Friedrich Gauss) によって開発された。

逆三角関数の不定積分

実および複素値 $x$ に対して：

{\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arccos x\,dx&=x\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arctan x\,dx&=x\arctan x-{\frac {1}{2}}\log \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot} x\,dx&=x\operatorname {arccot} x+{\frac {1}{2}}\log \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&=x\operatorname {arcsec} x-\log \left[x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right)\right]+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&=x\operatorname {arccsc} x+\log \left[x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right)\right]+C\end{aligned}}

実数 $x \geq 1$ に対して：

{\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec} x\,dx&=x\operatorname {arcsec} x-\log \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&=x\operatorname {arccsc} x+\log \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}

これらはすべて部分積分と上で示された単純な導関数の形を用いて導出できる。

例

$\int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u$ を用いて、

{\begin{aligned}u&=&\arcsin x&\quad \quad \mathrm {d} v=\mathrm {d} x\\\mathrm {d} u&=&{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}&\quad \quad v=x\end{aligned}}

とおく。すると

\int \arcsin x\,\mathrm {d} x=x\arcsin x-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x

k=1-x^{2}

と置換する。すると

\mathrm {d} k=-2x\,\mathrm {d} x

そして

\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2}}\int {\frac {\mathrm {d} k}{\sqrt {k}}}=-{\sqrt {k}}

x に逆置換すると

\int \arcsin x\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C

が出る。

複素平面への拡張

逆三角関数は解析関数であるから、実数直線から複素平面に拡張することができる。その結果は複数のシートと分岐点を持つ関数になる。拡張を定義する1つの可能な方法は：

\arctan z=\int _{0}^{z}{\frac {dx}{1+x^{2}}}\quad z\neq \pm i

ただし −i と +i の真の間にない虚軸の部分は主シートと他のシートの間の cut である；

\arcsin z=\arctan {\frac {z}{\sqrt {1-z^{2}}}}\quad z\neq \pm 1

ただし（平方根関数は負の実軸に沿って cut を持ち）−1 と +1 の真の間にない実軸の部分は arcsin の主シートと他のシートの間の cut である；

\arccos z={\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\quad z\neq \pm 1

これは arcsin と同じ cut を持つ；

\operatorname {arccot} z={\frac {\pi }{2}}-\arctan z\quad z\neq \pm i

これは arctan と同じ cut を持つ；

\operatorname {arcsec} z=\arccos {\frac {1}{z}}\quad z\neq 0,\pm 1

ただし −1 と +1 の両端を含む間の実軸の部分は arcsec の主シートと他のシートの間の cut である；

\operatorname {arccsc} z=\arcsin {\frac {1}{z}}\quad z\neq 0,\pm 1

これは arcsec と同じ cut を持つ。

対数を使った形

これらの関数は複素対数関数を使って表現することもできる。これらの関数の対数表現は三角関数の指数関数による表示を経由して初等的な証明が与えられ、その定義域を複素平面に自然に拡張する。

{\begin{aligned}\arcsin x&=-i\log(ix+{\sqrt {1-x^{2}}})&=\operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}\\[10pt]\arccos x&=-i\log(x-i{\sqrt {1-x^{2}}})={\frac {\pi }{2}}+i\log(ix+{\sqrt {1-x^{2}}})={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x&=\operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}\\[10pt]\arctan x&={\frac {1}{2}}i\{\log(1-ix)-\log(1+ix)\}&=\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}\\[10pt]\operatorname {arccot} x&={\frac {1}{2}}i\left\{\log \left(1-{\frac {i}{x}}\right)-\log \left(1+{\frac {i}{x}}\right)\right\}&=\arctan {\frac {1}{x}}\\[10pt]\operatorname {arcsec} x&=-i\log \left(i{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}+{\frac {1}{x}}\right)=i\log \left({\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}+{\frac {i}{x}}\right)+{\frac {\pi }{2}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc} x&=\arccos {\frac {1}{x}}\\[10pt]\operatorname {arccsc} x&=-i\log \left({\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}+{\frac {i}{x}}\right)&=\arcsin {\frac {1}{x}}\end{aligned}}

ここで注意しておきたいことは、複素対数関数における主値は、複素数の偏角部分 arg の主値の取り方に依存して決まることである。それ故に、ここで示した対数表現における主値は、複素対数関数の主値を基準にすると、逆三角関数の主値で述べた通常の主値と一致しない場合があることに注意する必要がある。一致させたい場合は、対数部の位相をずらすことで対応できる。もし文献により異なる対数表現が与えられているような場合には、主値の範囲を異なる範囲で取る場合であると考えられるので、目的に応じて対数部の位相をずらす必要がある。

証明1

\arcsin x=\theta

とおくと、

\sin \theta =x

正弦の指数関数による定義より

{\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}=x

を得る。

k=e^{i\,\theta }

とおくと

{\frac {k-{\frac {1}{k}}}{2i}}=x

これを $k$ について解くと、

k^{2}-2ix\,k-1=0

e^{i\theta }=k=ix\pm {\sqrt {1-x^{2}}}

\arcsin x=\theta =-i\log(ix\pm {\sqrt {1-x^{2}}})

（正の分枝を選ぶ）

証明2

\theta =\arcsin x

e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta

自然対数を取り、

- i

を掛け、

arcsin x

を

θ

に代入する。

\arcsin x=-i\log(\cos \arcsin x+i\sin \arcsin x)

\arcsin x=-i\log({\sqrt {1-x^{2}}}+ix)

複素平面における逆三角関数
$\arcsin z$
$\arccos z$
$\arctan z$
$\operatorname {arccot} z$
$\operatorname {arcsec} z$
$\operatorname {arccsc} z$

応用

一般の解

各三角関数は引数の実部において周期的であり、2 $π$ の各区間において2度すべてのその値を取る。正弦と余弦は（k を整数として）周期を 2 $π$ k − $π$ /2 で始め 2 $π$ k + $π$ /2 で終わり、2 $π$ k + $π$ /2 から 2 $π$ k + 3/2 $π$ までは逆にする。コサインとセカントは周期を 2 $π$ k で始め 2 $π$ k + $π$ で終わらせそれから 2 $π$ k + $π$ から 2 $π$ k + 2 $π$ まで逆にする。タンジェントは周期を 2 $π$ k − $π$ /2 から始め 2 $π$ k + $π$ /2 で終わらせそれから 2 $π$ k + $π$ /2 から 2 $π$ k + 3/2 $π$ まで（前へ）繰り返す。コタンジェントは周期を 2 $π$ k で始め 2 $π$ k + $π$ で終わらせそれから 2 $π$ k + $π$ から 2 $π$ k + 2 $π$ まで（前へ）繰り返す。

この周期性は k を何か整数として一般の逆において反映される：

\sin y=x\ \Leftrightarrow \ y=\arcsin x+2k\pi {\text{ or }}y=\pi -\arcsin x+2k\pi

1つの方程式に書けば：

\sin y=x\ \Leftrightarrow \ y=(-1)^{k}\arcsin x+k\pi

\cos y=x\ \Leftrightarrow \ y=\arccos x+2k\pi {\text{ or }}y=2\pi -\arccos x+2k\pi

1つの方程式に書けば：

\cos y=x\ \Leftrightarrow \ y=\pm \arccos x+2k\pi

\tan y=x\ \Leftrightarrow \ y=\arctan x+k\pi

\cot y=x\ \Leftrightarrow \ y=\operatorname {arccot} x+k\pi

\sec y=x\ \Leftrightarrow \ y=\operatorname {arcsec} x+2k\pi {\text{ or }}y=2\pi -\operatorname {arcsec} x+2k\pi

\csc y=x\ \Leftrightarrow \ y=\operatorname {arccsc} x+2k\pi {\text{ or }}y=\pi -\operatorname {arccsc} x+2k\pi

応用：直角三角形の鋭角の計量

逆三角関数は、直角三角形において、辺の長さから鋭角を求めるときに有用である。例えば $sin$ の直角三角形による定義を思い出すと

\theta =\arcsin {\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}

が従う。しばしば、斜辺 (hypotenuse) は未知であり $arcsin$ や $arccos$ を使う前に、ピタゴラスの定理： $a 2 + b 2 = h 2$ （ $h$ は斜辺の長さ）を使って計算される必要がある。逆正接関数はこの状況で重宝する、なぜなら斜辺の長さは必要ないからだ。

\theta =\arctan {\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}.

例えば、7 メートル行くと 3 メートル下がる屋根を考えよう。この屋根は水平線と角度 $θ$ をなす。このとき $θ$ は次のように計算できる：

\theta =\arctan {\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}=\arctan {\frac {\text{rise}}{\text{run}}}=\arctan {\frac {3}{7}}\approx 23.2^{\circ }.

コンピュータサイエンスとエンジニアリング

逆正接関数の2引数の変種

→詳細は「atan2」を参照

$atan2$ 関数は 2つの引数を取り、与えられた $y, x$ に対して $y / x$ の逆正接関数値を計算する関数だが、その返り値は $(-π, π]$ の範囲に定める。言い換えると、 $atan2(y, x)$ は座標平面の $x$ 軸の正の部分と点 $(x, y)$ の間の角度に反時計回りの角度（上半平面、 $y > 0$ ）に正の符号、時計回りの角度（下半平面、 $y < 0$ ）に負の符号を付けたものである。 $atan2$ 関数は最初多くのコンピュータ言語に導入されたが、今日では他の科学や工学の分野においても一般的に用いられている。なお、マイクロフトのExcelでは引数の順番が逆になっている。

$atan2$ は標準的な $arctan$ 、すなわち終域を $(- π / 2, π / 2)$ に持つ、を用いて次のように表現できる：

\operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan {\dfrac {y}{x}}&\qquad x>0\\\arctan {\dfrac {y}{x}}+\pi &\qquad y\geq 0,x<0\\\arctan {\dfrac {y}{x}}-\pi &\qquad y<0,x<0\\{\dfrac {\pi }{2}}&\qquad y>0,x=0\\-{\dfrac {\pi }{2}}&\qquad y<0,x=0\\\mathrm {undefined} &\qquad y=0,x=0\end{cases}}

それはまた複素数 $x + iy$ の偏角の主値にも等しい。

この関数はタンジェント半角公式（英語版）を用いて次のようにも定義できる： $x > 0$ あるいは $y \neq 0$ ならば

\operatorname {atan2} (y,x)=2\arctan {\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}

しかしながらこれは $x \leq 0$ かつ $y = 0$ が与えられると成り立たないので、計算機で用いる定義としては適切ではない。

上の引数の順序 $(y, x)$ は最も一般的のようであり、特にC言語のようなISO規格において用いられるが、少数の著者は逆の慣習 $(x, y)$ を用いているため、注意が必要である。これらのバリエーションは atan2 に詳しい。

x, y 共に 0 の場合、インテルの CPU の FPATAN 命令、Javaプラットフォーム、.NET Framework などは下記ルールに従っている。

atan2(+0, +0) = +0

atan2(+0, −0) = +π

atan2(−0, +0) = −0

atan2(−0, −0) = −π

位置パラメータを伴う逆正接関数

多くの応用において^[どれ?]方程式 $x = tan y$ の解 $y$ は与えられた値 $-\infty < η < \infty$ にできるだけ近い値を取るべきである。適切な解はパラメータ修正逆正接関数

y=\arctan _{\eta }x:=\arctan x+\pi \cdot \operatorname {rni} {\frac {\eta -\arctan x}{\pi }}

によって得られる。丸め関数 $\operatorname {rni}$ は引数に最も近い整数を与える (round to the nearest integer)。

実際的考慮

$0$ と $π$ の近くの角度に対して、逆余弦は条件数であり、計算機において角度計算の実装に用いると精度が落ちてしまう（桁数の制限のため）。同様に、逆正弦は $\pm π / 2$ の近くで精度が低い。すべての角度に対して十分な精度を達成するには、実装では逆正接あるいは atan2 を使うべきである。

確率分布

arctan はコーシー分布の、arcsinは逆正弦分布（英語版）の累積分布関数である。

脚注

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^ 例えば Dörrie, Heinrich (1965). Triumph der Mathematik. Trans. David Antin. Dover. p. 69. ISBN 0-486-61348-8
^ Prof. Sanaullah Bhatti; Ch. Nawab-ud-Din; Ch. Bashir Ahmed; Dr. S. M. Yousuf; Dr. Allah Bukhsh Taheem (1999). “Differentiation of Tigonometric, Logarithmic and Exponential Functions”. In Prof. Mohammad Maqbool Ellahi, Dr. Karamat Hussain Dar, Faheem Hussain (Pakistani English). Calculus and Analytic Geometry (First ed.). Lahore: Punjab Textbook Board. p. 140
^ “逆三角関数―その多価関数性と主値”. 岡本良治. 2022年4月1日閲覧。
^ "Inverse trigonometric functions" in The Americana: a universal reference library, Vol.21, Ed. Frederick Converse Beach, George Edwin Rines, (1912).
^ 一松信『教室に電卓を！ 3』海鳴社、1986年11月。
^ Chien-Lih, Hwang (2005). “89.67 An Elementary Derivation of Euler's Series for the Arctangent Function”. The Mathematical Gazette 89 (516): 469-470. ISSN 0025-5572.

外部リンク

竹之内脩『逆三角関数』 - コトバンク
『逆三角関数の重要な性質まとめ』 - 高校数学の美しい物語
Weisstein, Eric W. "Inverse Trigonometric Functions". mathworld.wolfram.com (英語).
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Inverse trigonometric functions”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
cyclometric functions - PlanetMath.（英語）
Weisstein, Eric W. "Inverse Tangent". mathworld.wolfram.com (英語).
integral related to arc sine - PlanetMath.（英語）

[1] 例えば Dörrie, Heinrich (1965). Triumph der Mathematik. Trans. David Antin. Dover. p. 69. ISBN 0-486-61348-8

[Book-2] Prof. Sanaullah Bhatti; Ch. Nawab-ud-Din; Ch. Bashir Ahmed; Dr. S. M. Yousuf; Dr. Allah Bukhsh Taheem (1999). “Differentiation of Tigonometric, Logarithmic and Exponential Functions”. In Prof. Mohammad Maqbool Ellahi, Dr. Karamat Hussain Dar, Faheem Hussain (Pakistani English). Calculus and Analytic Geometry (First ed.). Lahore: Punjab Textbook Board. p. 140

[3] “逆三角関数―その多価関数性と主値”. 岡本良治. 2022年4月1日閲覧。

[4] "Inverse trigonometric functions" in The Americana: a universal reference library, Vol.21, Ed. Frederick Converse Beach, George Edwin Rines, (1912).

[5] 一松信『教室に電卓を！ 3』海鳴社、1986年11月。

[6] Chien-Lih, Hwang (2005). “89.67 An Elementary Derivation of Euler's Series for the Arctangent Function”. The Mathematical Gazette 89 (516): 469-470. ISSN 0025-5572.

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表記

歴史