ここでは、ビッグバン直後の輻射優勢の時代の宇宙の温度 T を時刻 t の関数として導出する。
銀河系を宇宙の中心と仮定して、銀河系から宇宙の端までの距離を r とすると、宇宙の膨張にかかる力学的エネルギーの和は宇宙の膨張の速度による運動エネルギーと引力の和となるが、宇宙が漸近的に平坦であると仮定すると、力学的エネルギーの和は 0 になる。したがって、宇宙の膨張の速度を距離の時間微分 ·r、宇宙の全物質の質量を m、万有引力定数を G とすると
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}&={\tfrac {Gm^{2}}{r}}\\{\dot {r}}^{2}&={\tfrac {2Gm}{r}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21fbc2e5e66c89d6f24639f3864a7c256a695396)
となり、エネルギー密度 u と光速 c を用いて全物質の質量 m を
![{\displaystyle m={\tfrac {4\pi r^{3}u}{3c^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5e459ee07f2980f9bd78cde42278c9e3b528e57)
と表すと
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {r}}^{2}&={\tfrac {8\pi Gr^{2}u}{3c^{2}}}\\\left({\tfrac {\dot {r}}{r}}\right)^{2}&={\tfrac {8\pi Gu}{3c^{2}}}\\{\tfrac {\dot {r}}{r}}&={\sqrt {\tfrac {8\pi Gu}{3c^{2}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87d41510e0effa8cd71a07e2929120c858a695d8)
となる。これにシュテファン=ボルツマンの法則 u = 4σT4/c を代入すると
![{\displaystyle {\tfrac {\dot {r}}{r}}={\sqrt {\tfrac {32\pi G\sigma T^{4}}{3c^{3}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/130f8150c44882ca4a243d3ec40a557eb250034e)
(1)
と表される。ただし、σ = 2π5k 4
B /15h3c2 = π2k 4
B /60ħ3c2 はシュテファン=ボルツマン定数で、kB はボルツマン定数、h はプランク定数、ħ はディラック定数である。
ここで、ウィーンの変位則を rT = const. として時間について全微分すると
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {r}}T+r{\dot {T}}&=0\\{\dot {r}}T&=-r{\dot {T}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/969f203e5ec4e5e5141d831a2d1849c8b490e6b3)
となり、両辺を rT で割ると
![{\displaystyle {\tfrac {\dot {r}}{r}}=-{\tfrac {\dot {T}}{T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83695131dd1fd5b608879adb223ff87e19587fcb)
となる。これにより(1)式は
![{\displaystyle {\begin{aligned}-{\tfrac {\dot {T}}{T}}&={\sqrt {\tfrac {32\pi G\sigma T^{4}}{3c^{3}}}}\\-{\tfrac {\dot {T}}{T^{3}}}&={\sqrt {\tfrac {32\pi G\sigma }{3c^{3}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/328f35e6d47efd9f8791be9d5180a40ddef712c9)
となり、·T = dT/dt より −dT/T3 = √32πGσ/3c3dt なので、左辺を 0 から T まで、右辺を 0 から t まで積分すると
![{\displaystyle {\begin{aligned}-\int _{0}^{T}{\tfrac {\mathrm {d} T}{T^{3}}}&=\int _{0}^{t}{\sqrt {\tfrac {32\pi G\sigma }{3c^{3}}}}\mathrm {d} t\\{\tfrac {1}{2T^{2}}}&=t{\sqrt {\tfrac {32\pi G\sigma }{3c^{3}}}}\\2T^{2}&={\tfrac {1}{t}}{\sqrt {\tfrac {3c^{3}}{32\pi G\sigma }}}\\T^{2}&={\tfrac {1}{t}}{\sqrt {\tfrac {3c^{3}}{128\pi G\sigma }}}\\T&={\tfrac {1}{\sqrt {t}}}{\sqrt[{4}]{\tfrac {3c^{3}}{128\pi G\sigma }}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df047dd57f3b3471243a00419ae187b425d4ee21)
となる。
光速と万有引力定数およびシュテファン=ボルツマン定数はそれぞれ2014CODATA推奨値で、c = 299792458 m/s, G = 6.67408(31)×10−11 m3/(s2·kg), σ = 5.670367(13)×10−8 W/(m2·K4) なので、T = 1.51812×1010/√t となる。