利用者:知識熊/sandbox/ローレンツ・ゲージ条件の導出

ここではマクスウェルの方程式からローレンツ・ゲージ条件を導く。

通常、マクスウェルの式は E を電場の強度、B を磁束密度、D を電束密度、H を磁場の強度、ρ を電荷密度、j を電流密度として、作用素 ∇ を用いて

${\begin{cases}\nabla \cdot {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {x}})&=0\\\nabla \times {\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {x}})+{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {x}})}{\partial t}}&=0\\\nabla \cdot {\boldsymbol {D}}(t,{\boldsymbol {x}})&=\rho (t,{\boldsymbol {x}})\\\nabla \times {\boldsymbol {H}}(t,{\boldsymbol {x}})-{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}(t,{\boldsymbol {x}})}{\partial t}}&={\boldsymbol {j}}(t,{\boldsymbol {x}})\end{cases}}$

と表記されるが、真空中ではE-B対応とE-H対応により、電束密度 D と電場 E 及び磁場の強度 H と磁束密度 B がそれぞれ

${\boldsymbol {D}}=\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}},~{\boldsymbol {H}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\boldsymbol {B}}$

と言う関係にある為、ベクトル解析の回転（「∇×」）と勾配（「∇」）及び発散（「∇·」）とラプラシアン（「∇²」）の演算子をそれぞれ

${\mathsf {rot}},~{\mathsf {grad}},~{\mathsf {div}},~\Delta$

と定義し、c² = 1/μ₀ε₀ とすると

${\mathsf {div}}{\boldsymbol {B}}=0$

(1)

${\mathsf {rot}}{\boldsymbol {E}}=-{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}$

(2)

${\mathsf {div}}{\boldsymbol {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$

(3)

${\mathsf {rot}}{\boldsymbol {B}}=\mu _{0}{\boldsymbol {j}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}$

(4)

と表わせる。ここで、電磁ポテンシャル (φ, A) を用いて電場の強度 E と磁束密度 B をそれぞれ

${\boldsymbol {E}}=-{\mathsf {grad}}\phi -{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}},~{\boldsymbol {B}}={\mathsf {rot}}{\boldsymbol {A}}$

と定義すると(1)式と(2)式は自明であるが、残りの2式は自明ではないので、これら2式を満たすように電磁ポテンシャルに条件を課さなければならない。

まず、(3)式に電場の強度の定義式を代入して

$-{\mathsf {div}}({\mathsf {grad}}\phi )-{\mathsf {div}}\left({\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}\right)={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$

より

$-\Delta \phi -{\frac {\partial }{\partial t}}({\mathsf {div}}{\boldsymbol {A}})={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$

となる。ここで、ダランベルシアンを

$\Box =\Delta -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$

と定義して代入すると

$-\Box \phi -{\frac {\partial }{\partial t}}({\mathsf {div}}{\boldsymbol {A}})-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$

より

$\therefore \Box \phi =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}-{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\mathsf {div}}{\boldsymbol {A}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)$

(5)

となる。

また、(4)式に電場の強度と磁束密度の定義式を代入すると

${\mathsf {rot}}({\mathsf {rot}}{\boldsymbol {A}})=\mu _{0}{\boldsymbol {j}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\mathsf {grad}}\phi +{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}\right)$

となり、この式の左辺にベクトル解析の公式 ${\mathsf {rot}}({\mathsf {rot}}{\boldsymbol {F}})=-\Delta {\boldsymbol {F}}+{\mathsf {grad}}({\mathsf {div}}{\boldsymbol {F}})$ を適用して式変形すると

$-\Delta {\boldsymbol {A}}+{\mathsf {grad}}({\mathsf {div}}{\boldsymbol {A}})=\mu _{0}{\boldsymbol {j}}-{\frac {1}{c^{2}}}\left({\mathsf {grad}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {A}}}{\partial t^{2}}}\right)$

となる。この式にダランベルシアンの定義式を代入すると

$-\Box {\boldsymbol {A}}+{\mathsf {grad}}({\mathsf {div}}{\boldsymbol {A}})=\mu _{0}{\boldsymbol {j}}-{\mathsf {grad}}\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)$

より

$\therefore \Box {\boldsymbol {A}}=-\mu _{0}{\boldsymbol {j}}+{\mathsf {grad}}\left({\mathsf {div}}{\boldsymbol {A}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)$

(6)

となる。

したがって、(5)式及び(6)式の右辺の第2項を消去すれば良いので、ローレンツ・ゲージ条件は

${\mathsf {div}}{\boldsymbol {A}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0$

となる。