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数式の TeX markup 例

直交座標系と極座標系の関係図

• Tex：$G=6.67259\times 10^{-11}{\mbox{m}}^{3}\cdot {\mbox{s}}^{-2}\cdot {\mbox{kg}}^{-1}$
• 非Tex：G = 6.67259 × 10^-11m³s^-2 kg^-1

• ベクトル解析（vector calculus）：参考 en:Del in cylindrical and spherical coordinates
  • 勾配（gradient）：${\vec {g}}=-{\mbox{grad}}(\psi )=-\nabla \psi$
    • 直交座標系：${\vec {g}}(x,y,z)={\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial \psi }{\partial z}}{\hat {z}}$
    • 極座標系（円柱座標）：${\vec {g}}(r,\theta ,z)={\frac {\partial \psi }{\partial r}}{\hat {r}}+{1 \over r}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}{\hat {\theta }}+{\frac {\partial \psi }{\partial z}}{\hat {z}}$
    • 極座標系（球座標）：${\vec {g}}(r,\theta ,\phi )={\frac {\partial \psi }{\partial r}}{\hat {r}}+{1 \over r}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}{\hat {\theta }}+{1 \over r\sin \theta }{\frac {\partial \psi }{\partial \phi }}{\hat {\phi }}$
  • 発散（divergence）： 直交座標の場合 ${\mbox{div}}{\vec {A}}(x,y,z)=\nabla \cdot {\vec {A}}(x,y,z)={\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}$，

    ${\mbox{div}}(\psi {\vec {A}})={\mbox{grad}}(\psi )\cdot {\vec {A}}+\psi {\mbox{div}}({\vec {A}})$

  • 回転（rot;curl）： 直交座標の場合 $\mathrm {rot} \,{\vec {A}}(x,y,z)=\nabla \times {\vec {A}}(x,y,z)=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}}\right){\vec {x}}+\left({\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}}\right){\vec {y}}+\left({\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right){\vec {z}}$
  • ラプラスの演算子（Laplace operator）：直交座標 $\Delta =\nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$，

    ポアソン方程式 $\Delta \psi ={\nabla }^{2}\psi =f$，　ラプラス方程式 $\Delta \psi ={\nabla }^{2}\psi =0.$

  • ダランベールの演算子（D'Alembert operator）：直交座標 $\square ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}$

• 重力ポテンシャル：$\phi =\int _{0}^{h}{\vec {g}}(r,\theta )dr$，　地球表面上 $\phi _{E}=\int _{0}^{R}{\vec {g}}(r,\theta )dr={\frac {GM}{R}}$

• 重力加速度：${\vec {g}}(r,\theta )=-{\mbox{grad}}(\phi )=-{GM \over r^{2}}{\hat {r}}+{1 \over r}{\partial \phi \over \partial \theta }{\hat {\theta }}$，　地球表面上 ${\vec {g}}(r,\theta )_{E}=-{GM \over R^{2}}{\hat {r}}$

回転軸の周りを外力で運動する系における物理量の関係。力のモーメント ${\vec {\tau }}$ と位置ベクトル ${\vec {r}}$ と力 ${\vec {F}}$ との関係（上の式）、および角運動量 ${\vec {L}}$ と位置ベクトル ${\vec {r}}$ と運動量 ${\vec {p}}$ との関係（下の式）。

• モーメント：${\vec {M}}\equiv {\vec {r}}\times {\vec {A}}$
  • 角運動量：${\vec {L}}\equiv {\vec {r}}\times {\vec {p}}={\vec {r}}\times m{\vec {v}}=m{\vec {r}}\times {\frac {d{\vec {r}}}{dt}}$
  • 力のモーメント：${\vec {N}}\equiv {\frac {d{\vec {L}}}{dt}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}\times {\vec {p}}+{\vec {r}}\times {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {v}}\times {\vec {p}}+{\vec {r}}\times {\vec {F}}$

    $={\vec {r}}\times {\vec {F}}={\vec {r}}\times m{\vec {a}}=m{\vec {r}}\times {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=m{\vec {r}}\times {\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}$

  • 角運動量保存の法則：外力が ${\vec {F}}=0$ あるいは中心力ならば ${\vec {N}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}=0$ .

    ゆえに ${\vec {L}}={\mbox{const.}}$

  • 慣性モーメント：$I$　（$I=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}$ または $I=\int \rho r^{2}dV$）
    • ${\vec {L}}\equiv I{\vec {\omega }}$　　　　　　　（角速度：${\vec {\omega }}={\frac {{\vec {r}}\times {\vec {v}}}{r^{2}}}$,　$\left|\omega \right|={\frac {d\theta }{dt}}$ ）
    • ${\vec {N}}\equiv I{\vec {\alpha }}=I{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}$　（角加速度：${\vec {\alpha }}\equiv {\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}$,　$\left|\alpha \right|={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}$ ）

• EFE：$G_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\,$

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$

• • シュヴァルツシルトの解（Schwarzschild metric）

    $ds^{2}=-d^{2}{d\tau }^{2}=-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}+{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}$

    $=-\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\right)$

    • シュヴァルツシルト半径（Schwarzschild radius）：$r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}$

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• 登録定数
  • 光速：$c=299792458{\mbox{m}}\cdot {\mbox{s}}^{-1}$
  • 万有引力定数：$G=6.67300\times 10^{-11}{\mbox{m}}^{3}\cdot {\mbox{kg}}^{-1}\cdot {\mbox{s}}^{-2}$
  • 円周率：$\pi =3.14159265$

• 計算例
  • アインシュタインの定数： 8*pi*G/c^4 $=2.07624296\times 10^{-43}{\mbox{m}}^{-1}\cdot {\mbox{kg}}^{-1}\cdot {\mbox{s}}^{2}$