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ブロッホ方程式 (ブロッホほうていしき、英 : Bloch equations )とは、磁気共鳴 の現象論 的記述をする方程式 を指す。1946年 にフェリックス・ブロッホ によって発表された[ 1] 。1957年 に米国の物理学者リチャード・ファインマン はブロッホ方程式がより一般的な量子力学 の2状態系 における密度行列 の時間発展 の記述に適用できることを示し、アンモニア メーザー の解析に応用した[ 2] 。
核スピン の集団があって、静磁場 の中に置かれたとする。磁場 の方向に z 軸を一致させた直交座標 を選ぶ。核スピン全体の z 成分を Sz 、その熱平衡 値を ⟨ Sz ⟩ と書く。核スピン全体の x 成分 Sx の熱平衡値は 0 である。 y 成分も同様である。核スピンは静磁場のまわりをラーモア歳差運動 しているが、高周波に共鳴するとスピンの向きが逆転する。こうして熱平衡でなくなった核スピン集団は急速に熱平衡状態に戻ろうとする。静磁場を Hz 、高周波の中の磁場成分を Hx , Hy とするとこの様子は
d
S
z
d
t
=
γ
(
S
x
H
y
−
S
y
H
x
)
−
S
z
−
⟨
S
z
⟩
T
1
d
S
x
d
t
=
γ
(
S
y
H
z
−
S
z
H
y
)
−
S
x
T
2
d
S
y
d
t
=
γ
(
S
z
H
x
−
S
x
H
z
)
−
S
y
T
2
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS_{z}}{dt}}&=\gamma (S_{x}H_{y}-S_{y}H_{x})-{\frac {S_{z}-\langle S_{z}\rangle }{T_{1}}}\\{\frac {dS_{x}}{dt}}&=\gamma (S_{y}H_{z}-S_{z}H_{y})-{\frac {S_{x}}{T_{2}}}\\{\frac {dS_{y}}{dt}}&=\gamma (S_{z}H_{x}-S_{x}H_{z})-{\frac {S_{y}}{T_{2}}}\end{aligned}}}
で記述される。これらをブロッホ方程式 という。γ は核磁気モーメント 、T 1 は縦緩和時間 、T 2 は横緩和時間 である。
ブロッホ方程式は共鳴波長光に応答する原子の2準位 系、光子 の偏光 状態、磁場に応答するスピン 1/2の系等の一般的な量子力学における2状態系の記述に用いられる[ 3] 。
正規直交化 された2状態を |1⟩ , |2⟩ とすると、系の量子状態 |ψ (t )⟩ と密度行列 ˆ ρ は
|
ψ
(
t
)
⟩
=
c
1
(
t
)
|
1
⟩
+
c
2
(
t
)
|
2
⟩
(
|
c
1
(
t
)
|
2
+
|
c
2
(
t
)
|
2
=
1
)
{\displaystyle |\psi (t)\rangle =c_{1}(t)|1\rangle +c_{2}(t)|2\rangle \quad (|c_{1}(t)|^{2}+|c_{2}(t)|^{2}=1)}
ρ
^
=
|
ψ
(
t
)
⟩
⟨
ψ
(
t
)
|
=
|
c
1
|
2
|
1
⟩
⟨
1
|
+
c
1
c
2
∗
|
1
⟩
⟨
2
|
+
c
2
c
1
∗
|
2
⟩
⟨
1
|
+
|
c
2
|
2
|
2
⟩
⟨
2
|
{\displaystyle {\hat {\rho }}=|\psi (t)\rangle \langle \psi (t)|=|c_{1}|^{2}|1\rangle \langle 1|+c_{1}c_{2}^{\,\ast }|1\rangle \langle 2|+c_{2}c_{1}^{\,\ast }|2\rangle \langle 1|+|c_{2}|^{2}|2\rangle \langle 2|}
と表せる。このとき、恒等演算子 とパウリ行列 に対応する演算子 [ 4]
σ
0
^
=
|
1
⟩
⟨
1
|
+
|
2
⟩
⟨
2
|
=
I
^
{\displaystyle {\hat {\sigma _{0}}}=|1\rangle \langle 1|+|2\rangle \langle 2|={\hat {I}}}
σ
1
^
=
|
1
⟩
⟨
2
|
+
|
2
⟩
⟨
1
|
{\displaystyle {\hat {\sigma _{1}}}=|1\rangle \langle 2|+|2\rangle \langle 1|}
σ
2
^
=
−
i
(
|
1
⟩
⟨
2
|
−
|
2
⟩
⟨
1
|
)
{\displaystyle {\hat {\sigma _{2}}}=-i(|1\rangle \langle 2|-|2\rangle \langle 1|)}
σ
3
^
=
|
1
⟩
⟨
1
|
−
|
2
⟩
⟨
2
|
{\displaystyle {\hat {\sigma _{3}}}=|1\rangle \langle 1|-|2\rangle \langle 2|}
を導入すると、密度行列は
ρ
^
=
s
0
I
^
2
+
s
1
σ
^
1
2
+
s
2
σ
^
2
2
+
s
3
σ
^
3
2
{\displaystyle {\hat {\rho }}=s_{0}{\frac {\hat {I}}{2}}+s_{1}{\frac {{\hat {\sigma }}_{1}}{2}}+s_{2}{\frac {{\hat {\sigma }}_{2}}{2}}+s_{3}{\frac {{\hat {\sigma }}_{3}}{2}}}
と展開できる。但し、展開係数は
s
0
=
Tr
(
ρ
^
)
=
|
c
1
|
2
+
|
c
2
|
2
=
1
{\displaystyle s_{0}=\operatorname {Tr} ({\hat {\rho }})=|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1}
s
1
=
Tr
(
σ
^
1
ρ
^
)
=
c
1
∗
c
2
+
c
2
∗
c
1
{\displaystyle s_{1}=\operatorname {Tr} ({\hat {\sigma }}_{1}{\hat {\rho }})=c_{1}^{\,\ast }c_{2}+c_{2}^{\,\ast }c_{1}}
s
2
=
Tr
(
σ
^
2
ρ
^
)
=
i
(
c
1
c
2
∗
−
c
2
c
1
∗
)
{\displaystyle s_{2}=\operatorname {Tr} ({\hat {\sigma }}_{2}{\hat {\rho }})=i(c_{1}c_{2}^{\,\ast }-c_{2}c_{1}^{\,\ast })}
s
3
=
Tr
(
σ
^
3
ρ
^
)
=
|
c
1
|
2
−
|
c
2
|
2
{\displaystyle s_{3}=\operatorname {Tr} ({\hat {\sigma }}_{3}{\hat {\rho }})=|c_{1}|^{2}-|c_{2}|^{2}}
で与えられる。ここで
s
→
(
t
)
=
s
1
e
1
→
+
s
2
e
2
→
+
s
2
e
3
→
{\displaystyle {\vec {s}}(t)=s_{1}{\vec {e_{1}}}+s_{2}{\vec {e_{2}}}+s_{2}{\vec {e_{3}}}}
で定義される3次元単位ベクトル をブロッホベクトル といい、ブロッホベクトルがなす単位球面 をブロッホ球 という。
系のハミルトニアン を
H
^
=
ℏ
Ω
0
I
^
2
+
ℏ
Ω
1
σ
^
1
2
+
ℏ
Ω
2
σ
^
2
2
+
ℏ
Ω
3
σ
^
3
2
=
ℏ
Ω
0
I
^
2
+
ℏ
Ω
→
(
t
)
⋅
σ
→
(
t
)
2
{\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \Omega _{0}{\frac {\hat {I}}{2}}+\hbar \Omega _{1}{\frac {{\hat {\sigma }}_{1}}{2}}+\hbar \Omega _{2}{\frac {{\hat {\sigma }}_{2}}{2}}+\hbar \Omega _{3}{\frac {{\hat {\sigma }}_{3}}{2}}=\hbar \Omega _{0}{\frac {\hat {I}}{2}}+\hbar {\vec {\Omega }}(t)\cdot {\frac {{\vec {\sigma }}(t)}{2}}}
とすると、ブロッホベクトル s → (t ) の時間発展 は緩和項の無いブロッホ方程式
d
d
t
s
→
(
t
)
=
Ω
→
(
t
)
×
s
→
(
t
)
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\vec {s}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\times {\vec {s}}(t)}
で与えられる[ 5] 。こうした2状態系のブロッホ方程式による記述は、1957年にリチャード・ファインマンによって導入された[ 2] 。
^ Bloch, F. (1946). “Nuclear Induction” . Phys. Rev. 70 : 460-473. doi :10.1103/PhysRev.70.460 . http://www.physast.uga.edu/classes/phys8900/qzhao/PDF8500_08/PR_70_460.pdf .
^ a b Feynman, Richard P.; Vernon, Frank L.; Hellwarth, Robert W. (1957). “Geometrical Representation of the Schrödinger Equation for Solving Maser Problems” . J. Appl. Phys. 28 : 49–52. doi :10.1063/1.1722572 . http://unicorn.ps.uci.edu/249/pdfs/FeynmanPaper.pdf .
^ 北野 (2010)、第8章
^ 2状態 |1⟩ , |2⟩ を特定の基底
|
1
⟩
=
(
1
0
)
,
|
2
⟩
=
(
0
1
)
{\displaystyle |1\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\,|2\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}
と一致させたときに、ˆ σ k はパウリ行列そのものになる。
^ 密度行列が満たすフォン・ノイマン方程式
i
ℏ
∂
ρ
^
∂
t
=
[
H
^
,
ρ
^
]
{\displaystyle i\hbar {\partial {\hat {\rho }} \over {\partial t}}=[{\hat {H}},{\hat {\rho }}]}
から導かれる。