ゲルハルト・ゲンツェン

ゲルハルト・ゲンツェン

ゲルハルト・カール・エーリヒ・ゲンツェン（ドイツ語: Gerhard Karl Erich Gentzen, 1909年11月24日 - 1945年8月4日）はドイツの論理学者・数学者。

ヘルマン・ワイルとパウル・ベルナイスの弟子。ゲッティンゲン大学でワイルに学び、1934年に学位を取得。プラハ大学で講師となる。1945年、第二次世界大戦でソ連軍に捕らえられ、プラハの捕虜収容所で栄養失調のため死去した。

主要な業績は、自然数論におけるペアノ算術の無矛盾性の証明、自然演繹 NK, NJ とシークエント計算 LK, LJ と呼ばれる証明論の体系の確立である。 自然演繹の体系は、「自然」の名の通り実際の人間の推論過程に近い直観的で分かりやすい体系である。 一方、シーケント計算は、最小限の公理 A → A と、構造および論理結合子に関する推論規則からなる。 NK, LK は古典論理を扱い、NJ, LJ は直観主義論理を扱う。ゲンツェンはこの LK においてカット除去定理 （基本定理） を証明した。 この定理は、ある定理を導く論理の道筋には、その定理自身と公理より複雑なものは現れないようにできることを示し、 LK の完全性の証明に使われた。「すべての」を意味する記号∀を使い始めたのもゲンツェンである。

著作

• “Über die Existenz unabhängiger Axiomensysteme zu unendlichen Satzsystemen”. Mathematische Annalen 107 (2): pp. 329-350. (1932). http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002275872. 
• “Untersuchungen über das logische Schließen. I”. Mathematische Zeitschrift 39 (2): pp. 176-210. (1934). http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002375508. 
• “Untersuchungen über das logische Schließen. II”. Mathematische Zeitschrift 39 (3): pp. 405-431. (1935). http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002375605. 
• “Die Widerspruchsfreiheit der Stufenlogik”. Mathematische Zeitschrift 41: pp. 357-366. (1936). http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002376741. 
• “Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie”. Mathematische Annalen 112: pp. 493-565. (1936). http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002278391. 
• “Der Unendlichkeitsbegriff in der Mathematik. Vortrag, gehalten in Münster am 27. Juni 1936 am Institut von Heinrich Scholz”. Semester-Berichte Münster: pp. 65-80. (1936-1937). 
• “Unendlichkeitsbegriff und Widerspruchsfreiheit der Mathematik”. Actualites scientifiques et industrielles 535: pp. 201-205. (1937). 
• “Die gegenwartige Lage in der mathematischen Grundlagenforschung”. Deutsche Mathematik 3: pp. 255-268. (1938). 
• “Neue Fassung des Widerspruchsfreiheitsbeweises fur die reine Zahlentheorie”. Forschungen zur Logik und zur Grundlegung der exakten Wissenschaften 4: pp. 19-44. (1938). 
• “Beweisbarkeit und Unbeweisbarkeit von Anfangsfallen der transfiniten Induktion in der reinen Zahlentheorie”. Mathematische Annalen 119: pp. 140-161. (1943). http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002281287. 

死後発表されたもの

• “Zusammenfassung von mehreren vollständigen Induktionen zu einer einzigen”. Archiv für mathematische Logik und Grundlagenforschung 2 (1): pp. 81-93. (1954). http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002042649. 
• “Der erste Widerspruchsfreiheitsbeweis für die klassische Zahlentheorie”. Archiv für mathematische Logik und Grundlagenforschung 16: pp. 97-118. (1974). http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002044366.  - パウル・ベルナイスによって出版された。
• “Über das Verhältnis zwischen intuitionistischer und klassischer Arithmetik”. Archiv für mathematische Logik und Grundlagenforschung 16: pp. 119-132. (1974). http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002044374.  - パウル・ベルナイスによって出版された。

参考文献

• Eckart Menzler-Trott (2001). Gentzens Problem: Mathematische Logik im nationalsozialistischen Deutschland. Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-6574-9 
  • Eckart Menzler-Trott (2007). Logic's Lost Genius: The Life of Gerhard Gentzen. History of Mathematics. 33. Edward Griffor and Craig Smorynski (trans.). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3550-5. http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=hmath-33 
• M. E. Szabo (1969). Collected Papers of Gerhard Gentzen. North-Holland. ISBN 0-7204-2254-X 

関連項目

• ゲンツェンの無矛盾性証明
• 全称記号
• エプシロン・ノート
• 論理包含
• 普遍例化

外部リンク

• O'Connor, John J; Edmund F. Robertson "Gerhard Gentzen". MacTutor History of Mathematics archive.（英語）
• Gerhard Gentzen - Mathematics Genealogy Projectでの紹介。