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アポロニウスの円。AP:BPが一定になるようにPを動かすと軌跡は円を描く。
アポロニウスの円(アポロニウスのえん)は、2定点A・Bをとり、点PをAP:BPが一定となるように(但しAP≠BP)したときの点Pの軌跡である。ペルガのアポロニウスの名前を残すが、起源はより古いと思われる。例えば、既にアリストテレス『気象論』第三巻で虹の形状を論じるのに用いられている。
点PをAP:BPが一定となるようにしたときの点Pの軌跡のうち、線分ABの上の点をQ、ABの延長線上の点をRとすると、
- AQ:QB=AP:PB
- AR:RB=AP:PB
内角と外角の二等分線の関係の逆より、PQとPRはそれぞれ∠APBの内角と外角の二等分線である。
よって、∠QPR=90°
ゆえに、点Pの軌跡は線分QRを直径とする円である。
m, n を互いに異なる正の実数とする。線分ABを m : n に内分する点を Q、外分する点をRとすると、
![{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {PQ} }}={\frac {n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n+m}},\ {\overrightarrow {\mathrm {PR} }}={\frac {n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n-m}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f2a4f00f7c936f919a6a93be19badfcb4ade3ec)
このとき、
![{\displaystyle \mathrm {PA} :\mathrm {PB} =m:n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8c955c2ccdc3b190081829150e5cb2634f7ddd4)
![{\displaystyle \Leftrightarrow n|{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}|=m|{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93302e0bd36454ff6f7c7a37885f3590af817b1b)
![{\displaystyle \Leftrightarrow n^{2}|{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}|^{2}=m^{2}|{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}|^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad24331a4cfdc7b5c552868a3f741638aad7fad)
![{\displaystyle \Leftrightarrow (n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})\cdot (n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7193fb5f6df5d88b87dff6ac7e604fdf5f6bcf)
![{\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n+m}}\cdot {\frac {n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n-m}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81bad31aff7579eb3b1cccba865c9c802cdcba11)
![{\displaystyle \Leftrightarrow {\overrightarrow {\mathrm {PQ} }}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {PR} }}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7193e91dc8aec35755472296ab415e78c5fb7e0)
![{\displaystyle \Leftrightarrow {\overrightarrow {\mathrm {PQ} }}={\vec {0}}\vee {\overrightarrow {\mathrm {PR} }}={\vec {0}}\vee {\overrightarrow {\mathrm {PQ} }}\perp {\overrightarrow {\mathrm {PR} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4bad200831fb2ddf977f95177dc66c3d7f984dc)
![{\displaystyle \Leftrightarrow \mathrm {P} =\mathrm {Q} \vee \mathrm {P} =\mathrm {R} \vee \angle {\mathrm {QPR} }=90^{\circ }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37b866c8c06e441ce3ad5f0d24843f4f8db9a979)
したがって、点Pの軌跡は線分QRを直径とする円になる。
線分QRの中点をOとすると、
![{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {OQ} }}=-{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {QR} }},\ {\overrightarrow {\mathrm {OR} }}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {QR} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72cca7efb85837f390b20e2d67551dc27981170c)
したがって、
![{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {PQ} }}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {PR} }}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f63ca43e9b18d9ff07ada1211f513277399acb0)
![{\displaystyle \Leftrightarrow ({\overrightarrow {\mathrm {PO} }}+{\overrightarrow {\mathrm {OQ} }})\cdot ({\overrightarrow {\mathrm {PO} }}+{\overrightarrow {\mathrm {OR} }})=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85eb56c9c349a5c8426ff35eae9a63ce374cf82)
![{\displaystyle \Leftrightarrow ({\overrightarrow {\mathrm {PO} }}-{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {QR} }})\cdot ({\overrightarrow {\mathrm {PO} }}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {QR} }})=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b10cdc4f786407e54b9054fc62a461a73761b8f)
![{\displaystyle \Leftrightarrow |{\overrightarrow {\mathrm {PO} }}|^{2}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}|{\overrightarrow {\mathrm {QR} }}|^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42c0f2b6e1e9670833226c5c47684132a5e1f3e9)
![{\displaystyle \Leftrightarrow \mathrm {PO} ={\frac {1}{2}}\mathrm {QR} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdcc764305cd5bd41c74c82ca404fb40403f05a4)
これより、点Pの軌跡は線分QRの中点Oを中心とする半径
の円、すなわち線分QRを直径とする円になる。
線分QRの中点をOとすると、点Oはアポロニウスの円の中心となり、
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {PO} }}&={\frac {{\overrightarrow {\mathrm {PQ} }}+{\overrightarrow {\mathrm {PR} }}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n+m}}+{\frac {n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n-m}}\right)\\&={\frac {(n-m)(n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})+(n+m)(n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})}{2(n+m)(n-m)}}\\&={\frac {2n^{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-2m^{2}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{2(n^{2}-m^{2})}}\\&={\frac {n^{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m^{2}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n^{2}-m^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06b0fac79ab3cef50e37a1fadd8b49ee9395da07)
すなわち、点Oは線分ABを
に外分する点になる。
アポロニウスの円の半径を r とする。ここで平方完成
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {QR} }}&={\frac {{\overrightarrow {\mathrm {PR} }}-{\overrightarrow {\mathrm {PQ} }}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n-m}}-{\frac {n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n+m}}\right)\\&={\frac {(n+m)(n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})-(n-m)(n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})}{2(n+m)(n-m)}}\\&={\frac {2mn{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-2mn{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{2(n^{2}-m^{2})}}\\&={\frac {mn({\overrightarrow {\mathrm {PB} }}-{\overrightarrow {\mathrm {PA} }})}{m^{2}-n^{2}}}\\&={\frac {mn}{m^{2}-n^{2}}}{\overrightarrow {\mathrm {AB} }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd168647a0fd246f9b856b2ec3b8fde47d3deb64)
定義より、
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {AR} }}&={\overrightarrow {\mathrm {PR} }}-{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}\\&={\frac {n{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n-m}}-{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}\\&={\frac {m}{n-m}}({\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})\\&={\frac {m}{m-n}}{\overrightarrow {\mathrm {AB} }},\\{\overrightarrow {\mathrm {QB} }}&={\frac {n}{m+n}}{\overrightarrow {\mathrm {AB} }},\\{\overrightarrow {\mathrm {AO} }}&={\overrightarrow {\mathrm {PO} }}-{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}\\&={\frac {n^{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m^{2}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n^{2}-m^{2}}}-{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}\\&={\frac {m^{2}}{n^{2}-m^{2}}}({\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})\\&={\frac {m^{2}}{m^{2}-n^{2}}}{\overrightarrow {\mathrm {AB} }},\\{\overrightarrow {\mathrm {BO} }}&={\overrightarrow {\mathrm {PO} }}-{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}\\&={\frac {n^{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-m^{2}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{n^{2}-m^{2}}}-{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}\\&={\frac {n^{2}}{n^{2}-m^{2}}}({\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})\\&={\frac {n^{2}}{m^{2}-n^{2}}}{\overrightarrow {\mathrm {AB} }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc86944c611f9cf56d2cfcac8f731541effd038a)
したがって、
![{\displaystyle r=\left|{\frac {mn}{m^{2}-n^{2}}}\right|\cdot \mathrm {AB} ={\frac {\mathrm {AR} \cdot \mathrm {QB} }{\mathrm {AB} }}={\sqrt {\mathrm {OA} \cdot \mathrm {OB} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9efe186bcffa5c843c3292bad5ecf589f044d1d5)
アポロニウスの問題に対する解はアポロニウスの円とも呼ばれる。