正多角形

正多角形（せいたかっけい、せいたかくけい、英: regular polygon）とは、全ての辺の長さが等しく、全ての内角の大きさが等しい多角形である。なお、この記事では断りのない限り $n$ は3以上の自然数とする。

正多角形は線対称であり、正 $n$ 角形の対称軸は $n$ 本である。また、正偶数角形は点対称でもある。

頂点の数が同じ正多角形同士は全て互いに相似である。

ユークリッド幾何学

緑色の線分は、正

n

角形を合同な二等辺三角形に

n

等分したときの高さ

正多角形の全ての頂点は同一円周上にある。つまり正多角形は円に内接する。角の数が最小であるのは正三角形である。三角形では、辺の長さが全て等しいか、または角の大きさが全て等しい三角形は正三角形になる。しかし他の多角形では辺の長さが全て等しく、かつ角の大きさも全て等しくなければ正多角形とはならない。例えば四角形では辺の長さがすべて等しいものは菱形、角の大きさがすべて等しいものは長方形であり、正四角形（正方形）とは限らない。菱形かつ長方形である四角形が正方形となる。

正 $n$ 角形の一つの内角の大きさを度数法で表すと

{\frac {180^{\circ }(n-2)}{n}}

である。どの内角も180°より小さいので、全ての正多角形は凸多角形である。

正 $n$ 角形の面積は一辺を $a$ とすると

{na^{2} \over 4}\cot {\pi  \over {n}}

と表される。この式は、正 $n$ 角形の外心と各頂点を線分で結ぶと、合同な $n$ 個の二等辺三角形に分割できることで導出される。（二等辺三角形の高さが ${a \over 2}\cot {\pi \over {n}}$ となる。）

多角形 $F$ に対して、頂点が $F$ の辺上にあり、なおかつ $F$ の内部にあるとき、多角形は多角形 $F$ に内接するという。また、 $F$ の頂点が辺上にあり、Fの外部にある多角形は多角形 $F$ に外接するという。

（例）：正六角形ABCDEFにおいて、辺AB,CD,EFの中点を頂点とする△PQRは正六角形ABCDEFに内接する図形である。

以上のことを踏まえた上で、一辺の長さが $a$ である正 $n$ 角形 $F$ において、 $F$ に内接する正 $n$ 角形で、面積が最小であるものの面積 $s$ 、 $F$ に外接する正 $n$ 角形で、面積が最大であるものの面積 $S$ はそれぞれ、

s={na^{2} \over 4}\cot {\pi  \over {n}}\cos ^{2}{\pi  \over {n}}

S={na^{2} \over 2\sin {2\pi  \over {n}}}

と表される^{[疑問点 – ノート]}。

正多角形の重心は、外心および内心に一致する。正偶数角形に限れば、最長の対角線同士の交点と一致する。

半径が一定の円に内接する正 $n$ 角形は、 $n \to \infty$ とするとその円に近づくので、十分大きい $n$ について「周長÷外接円の直径」を計算すると円周率の近似値が得られる。これは、初期の円周率の求め方で、円周率の歴史上の始まりに位置する。これはいわば「正∞角形は円である」ということである。

正多角形は線対称である。その軸の本数は頂点の個数に等しい。

正 $2 n$ 角形（ $n$ は2以上の自然数）の $n$ 組の対辺はそれぞれ平行である。さらに点対称でもある。
正奇数角形においては、どの2辺も平行でない。

内角の求め方

正 $n$ 角形の内角は、次のようにして求めることができる。

$n$ 角形の内角の和は

180°(n - 2)

であり、正多角形の内角は等しいから、1つの内角は

{\frac {180^{\circ }(n-2)}{n}}

となる。

多角形の外角の和は360°であることを用いると、正 $n$ 角形の外角は

{\frac {360^{\circ }}{n}}

であるから、それに対する内角は

180^{\circ }-{\frac {360^{\circ }}{n}}{\Bigl (}{=}\;{\frac {180^{\circ }(n-2)}{n}}{\Bigr )}

となる。

対角線の長さ

正 $n$ 角形の対角線の長さの種類は

\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor -1={\frac {2n-5+(-1)^{n}}{4}}

だけある（ $⌊ x ⌋$ はガウス記号）。一辺の長さを $a$ とすると、 $m$ 番目に短い対角線の長さは

{a\sin {(m+1)\pi  \over {n}} \over {\sin {\pi  \over {n}}}}

である。 $m = 0$ のとき辺の長さ、 $m = 1$ のとき最短の対角線の長さを表す。

コンパスと定規を用いて描けるもの

$p$ を素数とする。正 $p$ 角形のうち、作図可能なものは、頂点の個数 $p$ がフェルマー素数 (3, 5, 17, 257, 65537) である場合のみであり、それぞれ正三角形、正五角形、正十七角形、正二百五十七角形、正六万五千五百三十七角形である。頂点の個数が素数でないものについては、その数を素因数分解した時に奇数の因数がフェルマー素数のみでかつ、同じものが存在しない場合、または奇数の因数が存在しない（2の冪）場合のみ作図することが可能である。

例：正方形は、奇数の因数がないので (4=2×2) 作図することができる。正六角形や正十五角形は、奇数の因数がフェルマー素数のみなので (6=2×3, 15=3×5) 作図することができる。正九角形は、奇数の因数はフェルマー素数のみだが同じ数の重複があるので (9=3×3) 作図できない。

正十七角形の作図可能性は、1796年3月30日にカール・フリードリヒ・ガウスが発見した。さらにガウスは1801年に出版したDisquisitiones Arithmeticae（『ガウス整数論』）の第365条、第366条において、作図できる正多角形の必要十分条件も示している。

作図可能の比較

正多角形（正三十二角形までで）が作図可能かどうかを以下に示す。なお、○は作図可能、×は作図不可能を示す。

正多角形	定規とコンパスによる作図	折紙による作図	ネウシス作図 (Neusis)	備考
正三角形	○	○	○
正方形	○	○	○
正五角形	○	○	○
正六角形	○	○	○
正七角形	×	○	○	ピアポント素数も参照のこと。
正八角形	○	○	○
正九角形	×	○	○
正十角形	○	○	○
正十一角形	×	×	×→○^[1]	折り紙は1回ずつ折る方法だが、3重折りを許せば折り紙で作図可能^[2]。2重折りで作図可能^[3]。
正十二角形	○	○	○
正十三角形	×	○	○
正十四角形	×	○	○
正十五角形	○	○	○
正十六角形	○	○	○
正十七角形	○	○	○	フェルマー素数も参照のこと。
正十八角形	×	○	○
正十九角形	×	○	○
正二十角形	○	○	○
正二十一角形	×	○	○
正二十二角形	×	×	×→○^[1]
正二十三角形	×	×	×
正二十四角形	○	○	○
正二十五角形	×	×	未解決問題
正二十六角形	×	○	○
正二十七角形	×	○	○
正二十八角形	×	○	○
正二十九角形	×	×	×
正三十角形	○	○	○
正三十一角形	×	×	未解決問題
正三十二角形	○	○	○
正三十三角形	×	×	×→○
正三十四角形	○	○	○
正三十五角形	×	○	○
正三十六角形	×	○	○
正三十七角形	×	○	○
正三十八角形	×	○	○
正三十九角形	×	○	○
正四十角形	○	○	○

正p角形（p は3以上の素数）、正(2n + 1)角形の作図に必要な値 cos(2 $π$ /2n+1) は、n次方程式の解として求められる^[4]。

n	2n+1	方程式の次数	方程式の次数（素因数分解）	定規とコンパス作図	折り紙作図
1	正3角形	1次方程式	1次方程式	○	○
2	正5角形	2次方程式	2次方程式	○	○
3	正7角形	3次方程式	3次方程式	×	○
5	正11角形	5次方程式	5次方程式	×	×
6	正13角形	6次方程式	(2×3)次方程式	×	○
8	正17角形	8次方程式	(2×2×2)次方程式	○	○

楕円幾何学

最も角が少ないのは正二角形である。二角形は必ず正二角形になる。

この幾何学上の正三角形は、内角の和は180°より大きく、ユークリッド幾何学上のルーローの三角形と同じ図形である。

双曲幾何学

最も角が少ないのは正三角形であり、内角の和は180°より小さい。

脚注

[脚注の使い方]

^ ^a ^b On the construction of the regular hendecagon by marked ruler and compass
^ 西村保三、山本一海「折り紙による5次方程式の解法 : 3重折りによる5乗根,角の5等分,正11角形の作図」『福井大学教育地域科学部紀要』第3号、福井大学教育地域科学部、2012年、59-66頁、ISSN 2185-369X、NAID 110009552129。
^ Lucero, J. C. (2018). “Construction of a regular hendecagon by two-fold origami”. Crux Mathematicorum 44: 207-213.
^ 折り紙で正十三角形が作図できて正十一角形が作図できない理由【数学解説 / #豊穣ミノリ / VTuber】 - YouTube