信頼区間(しんらいくかん、: Confidence interval, CI)とは、統計学母集団の真の値(母平均等)が含まれることが、かなり確信 (confident) できる数値範囲のことである[1]。例えば95%CIとは、信頼区間を計算するために用いた数学的モデルが有意水準α = 0.05の仮説検定で棄却されないパラメーターの範囲を指す[2]。真の値は未測定であっても確率変数ではなく、特定の区間に含まれるか含まれないかは確定している。

95%信頼区間の図解。中央が推定値(estimate)。

数学的には、母数空間 Θ 上の関数 g: ΘR母数 θΘ でとる値 g(θ) を統計的に推定するために用いられる区間をいう。実数 0 < α < 1 と(観測できない)母数 θ により定まる確率分布 P = Pθ をもつ母集団からの標本 X1, …, Xn に関する統計量 a, b が不等式

を満たすとき、区間 [a, b] を g(θ) の 100(1 − α)% 信頼区間という。値 1 − α(または 100(1 − α)%)は、信頼水準: confidence level)または信頼係数: confidence coefficient)と呼ばれ、慣習的には95%や99%(つまり α = 0.05, 0.01)などの数値を用いる。これを

○% CI [a, b]

と表記することもある。

例えば「信頼水準95%で、投票者の35%から45%がA候補を支持している」といったとき、95%というのが信頼水準で、35%から45%というのが信頼区間、g(θ) に当たるのはA候補の支持率である。

2019年には科学者800人超が『Nature』に署名を掲載し、誤って使われていることも多い「統計的有意性」を使うのをやめて信頼区間を互換区間(compatible interval、調和区間、適合区間、非矛盾区間)という言葉に言い換えて使用すべきだとされた[3][4]

解釈

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95%信頼区間の例。50の信頼区間のうち3つには母平均μが含まれていない。

上の言い方は「候補Aの支持率が35%から45%である確率は95%である」 というふうにとられやすいが、これは(少なくとも従来の統計学の主流的考え方としては)誤解である。

別の例として、観測値から海王星の質量を推定する場合を以下に記す。

1.「信頼水準90%で、海王星の質量は a から b の間である」

とは言えるが、観測から得られた値 ab に基づいて

2.「海王星の質量が a から b の間に入る確率は90%である」

と言うことはできない。質量はあくまで定数であって、誤差が生じるのは観測による、つまり ab が誤差を含む統計量だからである。従来の統計学(確率を頻度として定義する頻度主義統計学)の考え方では海王星の例(1)を言い直せば、

1'. 「同じ測定を10回行えば、9回程度の頻度割合)で『海王星の質量は a から b の間である』という測定結果が得られる」

ということになる。

ただし、確率を信頼の度合いとして定義するベイズ統計学の考え方では、2のような言い方は必ずしも誤りではない。この場合、普通用いられる考え方はベイズ信用区間(Bayesian credible interval)である。これはまず θ の値として予想される事前確率分布から出発して、次に観測データが与えられた条件での θ の条件付確率分布を求め、これを事後確率分布として“信頼”区間の表現に用いる方法である。

具体例

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X1, …, Xn を、平均 μ分散 σ2 > 0正規分布に従う母集団から抽出した独立な標本とする。そこで標本平均と不偏分散をそれぞれ

 

とおけば

 

は自由度 n − 1 のt分布に従う。ここで T が従う分布は(観測できない)母数 θ = (μ, σ2) にはよらないことに注意。

tn−1(α) をこの分布の上側100α%点とすれば

 

となる。したがって

 

が成り立ち、平均 g(θ) = μ の 100(1 − α)% 信頼区間

 

が得られる。

出典

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  1. ^ 役に立つ医療統計学/用語集”. 2020年7月2日閲覧。
  2. ^ 19-3. 95%信頼区間のもつ意味 | 統計学の時間 | 統計WEB”. 2021年5月16日閲覧。
  3. ^ 井上輝一 (2019年3月26日). “「“統計的に有意差なし”もうやめませんか」 Natureに科学者800人超が署名して投稿”. ITmedia. 2019年5月21日閲覧。
  4. ^ Amrhein V (2019). “Scientists rise up against statistical significance”. Nature 567 (7748): 305-7. doi:10.1038/d41586-019-00857-9. PMID 30894741. 

関連項目

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