In algebra lineare, l'esponenziale di matrice è la funzione di matrice corrispondente alla funzione esponenziale di una matrice quadrata.
La matrice esponenziale compare ad esempio nella risoluzione dei sistemi lineari di equazioni differenziali. Ha quindi un'importante applicazione nella teoria dei sistemi e nella teoria dei controlli automatici.
Sia
una matrice quadrata
a coefficienti reali o complessi. La matrice esponenziale di
, indicata con
, è una matrice quadrata
ottenuta con lo sviluppo in serie di potenze:
![{\displaystyle e^{A}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7ce578933ba9773c41b8292cbc6e3184090df6b)
Si tratta di una serie che è sempre convergente, quindi la matrice esponenziale è ben definita. Si nota che se
è una matrice
(quindi
è un numero reale o complesso), la serie della matrice esponenziale corrisponde alla definizione formale della funzione esponenziale.
La matrice esponenziale definisce una funzione:
![{\displaystyle \exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/640c1a93f269d1c44fb04163526a9f089b05d8d5)
dallo spazio delle matrici
al gruppo generale lineare di grado
, ossia il gruppo delle matrici invertibili. Si tratta di una mappa suriettiva, infatti ogni matrice invertibile può essere scritta come l'esponenziale di qualche altra matrice (considerando il campo complesso).
Date due matrici
e
, si ha:
![{\displaystyle \|e^{X+Y}-e^{X}\|\leq \|Y\|e^{\|X\|}e^{\|Y\|},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a1fb5fd5dfe94763704fff01bc554d1d351430)
con
la norma matriciale. Segue che la matrice esponenziale è continua e lipschitziana su sottoinsiemi compatti di
.
Siano
e
due matrici complesse di dimensione
e siano
e
due numeri complessi. Si indica la matrice identità con
e la matrice nulla con 0. La matrice esponenziale soddisfa le seguenti proprietà:
![{\displaystyle e^{0}=I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/650f93ef02a23568291fb73e80e943fd5e6c2b6e)
![{\displaystyle e^{aX}e^{bX}=e^{(a+b)X}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01b1a2689a26d46408b8b4741b79770905ed10ef)
![{\displaystyle e^{X}e^{-X}=I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/621cbb7e6cdd5d37e6817db67ff6f1a6d0793f8b)
- Se
, allora
.
- Se
è invertibile allora
.
![{\displaystyle \det(e^{X})=e^{\mathrm {tr} (X)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5570ac374d7eac520dca2c4bdbfecad15defb9d1)
, dove
indica la matrice trasposta di
. Ne segue che se
è una matrice simmetrica allora
è simmetrica; inoltre se
è una matrice antisimmetrica allora
è una matrice ortogonale.
, dove
indica la matrice trasposta coniugata di
. Ne segue che se
è una matrice hermitiana allora
è una matrice hermitiana; inoltre se
è una matrice antihermitiana allora
è una matrice unitaria.
- L'esponenziale di una matrice è sempre una matrice invertibile, in analogia con il fatto che l'esponenziale di un numero complesso non è mai nullo.
La funzione:
![{\displaystyle t\mapsto e^{tX}\qquad t\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c27c5cdfab4e7a235a494f70a7fe30811085a5f)
definisce una curva liscia nel gruppo generale lineare che passa per l'identità se
. La derivata in
è data da:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{tX}=Xe^{tX}=e^{tX}X.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75e0a817b25a7826df5444107440a47b49b8a0ab)
Più in generale, per un esponente dipendente da
:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{X(t)}=\int _{0}^{1}e^{\alpha X(t)}{\frac {dX(t)}{dt}}e^{(1-\alpha )X(t)}\,d\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/676313bf996578e3f62e2160ad2ca291b3dfeb81)
Portando
fuori dall'integrale, ed espandendo quest'ultimo tramite la formula di Baker-Campbell-Hausdorff, si ottiene l'espressione:
![{\displaystyle \left({\frac {d}{dt}}e^{X(t)}\right)e^{-X(t)}={\frac {d}{dt}}X(t)+{\frac {1}{2!}}[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)]+{\frac {1}{3!}}[X(t),[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)]]+\cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8ebfd5b87f6ffaa8463e90072b34c5a965f6b89)
Per ogni matrice quadrata sul campo dei numeri complessi si ha, grazie alla formula di Jacobi:
![{\displaystyle \det(e^{A})=e^{\operatorname {tr} (A)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dd7d99ce432ec98af9698c417bb1e2e5deee832)
Tale formula mostra che una matrice esponenziale è sempre invertibile, dato che il termine a destra non è mai nullo e quindi il determinante non è mai nullo.
Nel campo dei numeri reali la mappa:
![{\displaystyle \exp \colon M_{n}(\mathbb {R} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd4fd47427d1c1be0f2a1ab980369ea4cbe58ec2)
non è invece suriettiva.
Per il calcolo della matrice esponenziale
non viene utilizzata la serie di potenze dato che è costituita da una sommatoria di infiniti addendi. Utilizzando gli autovettori si ricava una serie con un numero finito di termini.
Considerando la diagonalizzabilità della matrice
si hanno due casi distinti.
Se la matrice
è diagonalizzabile significa che ha
autovettori linearmente indipendenti
. Si può quindi scrivere:
![{\displaystyle {\begin{matrix}A\mathbf {t} _{1}=\mathbf {t} _{1}\lambda _{1}\\A\mathbf {t} _{2}=\mathbf {t} _{2}\lambda _{2}\\\vdots \\A\mathbf {t} _{n}=\mathbf {t} _{n}\lambda _{n}\end{matrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f1f81cc20bcec46191499978f291bd53b568df5)
con
autovettore associato all'autovalore
. Si raggruppano tutti gli autovettori in un'unica matrice:
![{\displaystyle [{\begin{matrix}A\mathbf {t} _{1}&\dots &A\mathbf {t} _{n}\end{matrix}}]=[{\begin{matrix}\mathbf {t} _{1}\lambda _{1}&\dots &\mathbf {t} _{n}\lambda _{n}\end{matrix}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1a7aaca3a04b5a726b1e9370bd96bc29feac16c)
![{\displaystyle A[{\begin{matrix}\mathbf {t} _{1}&\dots &\mathbf {t} _{n}\end{matrix}}]=[{\begin{matrix}\mathbf {t} _{1}&\dots &\mathbf {t} _{n}\end{matrix}}]{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0&0&\dots \\0&\lambda _{2}&0&0&\dots \\0&0&\lambda _{3}&0&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &\lambda _{n}\\\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc56624d9660bac461d7f8bb6293675e75989b63)
Ponendo la matrice formata dagli autovettori pari a
e la matrice diagonale degli autovalori pari a
si ottiene:
![{\displaystyle AT=T\Lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18dff85e3f0846e8bdc17d3ac642d19fbd54b1e2)
Introducendo la matrice
, inversa di
, si ottengono le seguenti relazioni:
![{\displaystyle SAT=\Lambda \qquad A=T\Lambda S\qquad SA=\Lambda S.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/537475c1f3a1f941f67db2ae238f4f8ec6511e80)
Dalla seconda relazione si ricava:
![{\displaystyle A^{k}=(T\Lambda S)^{k}=T\cdot \Lambda \cdot S\cdot T\cdot \Lambda \cdot S\dots =T\Lambda ^{k}S.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2e18d4d74b064aefa2b8d4e683241deb482b63d)
Quindi:
![{\displaystyle e^{A}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}=T\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Lambda ^{k}}{k!}}\right]S=Te^{\Lambda }S.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3ef4f2e91c309624d7c3c91aff9ad57c429d434)
Si calcola
:
![{\displaystyle e^{\Lambda }=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Lambda ^{k}}{k!}}=I+{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0&\dots \\0&\lambda _{2}&0&\dots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &\lambda _{n}\\\end{bmatrix}}{\frac {1}{1!}}+{\begin{bmatrix}\lambda _{1}^{2}&0&0&\dots \\0&\lambda _{2}^{2}&0&\dots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &\lambda _{n}^{2}\\\end{bmatrix}}{\frac {1}{2!}}+\dots =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3d1c3b5125236dd02f1167093e5a643117f82a2)
![{\displaystyle ={\begin{bmatrix}1+{\frac {\lambda _{1}}{1!}}+{\frac {\lambda _{1}^{2}}{2!}}+\dots &0&0&\dots \\0&1+{\frac {\lambda _{2}}{1!}}+{\frac {\lambda _{2}^{2}}{2!}}+\dots &0&\dots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1+{\frac {\lambda _{n}}{1!}}+{\frac {\lambda _{n}^{2}}{2!}}+\dots \\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e^{\lambda _{1}}&0&0&\dots \\0&e^{\lambda _{2}}&0&\dots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &e^{\lambda _{n}}\\\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d4992b6360ba2528b600848ffa01e1ac30153ad)
Si considera ora l'ultima relazione precedentemente ricavata e si applica la trasposta:
![{\displaystyle SA=\Lambda S\Rightarrow (SA)^{T}=(\Lambda S)^{T}\Rightarrow A^{T}S^{T}=S^{T}\Lambda ^{T}\Rightarrow A^{T}S^{T}=S^{T}\Lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87cf75c4cce9b09f09003951287b2f922918076)
Si può quindi scrivere:
![{\displaystyle A^{T}[{\begin{matrix}\mathbf {s} _{1}^{T}&\dots &\mathbf {s} _{n}^{T}\end{matrix}}]=[{\begin{matrix}\mathbf {s} _{1}^{T}&\dots &\mathbf {s} _{n}^{T}\end{matrix}}]{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0&0&\dots \\0&\lambda _{2}&0&0&\dots \\0&0&\lambda _{3}&0&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &\lambda _{n}\\\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62bf442bad478a9310558180dca5a827c861442d)
Si nota quindi che gli
sono autovettori sinistri di
. Si può quindi partizionare la matrice
per righe:
![{\displaystyle S=\left[{\begin{matrix}\mathbf {s} _{1}^{T}\\\mathbf {s} _{2}^{T}\\\vdots \\\mathbf {s} _{n}^{T}\end{matrix}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e79e15ac4e0493f393db62d9862077ce0aea4222)
In questo modo si ottiene:
![{\displaystyle e^{A}=[{\begin{matrix}\mathbf {t} _{1}&\dots &\mathbf {t} _{n}\end{matrix}}]{\begin{bmatrix}e^{\lambda _{1}}&0&\dots \\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\dots &e^{\lambda _{n}}\\\end{bmatrix}}\left[{\begin{matrix}\mathbf {s} _{1}^{T}\\\vdots \\\mathbf {s} _{n}^{T}\end{matrix}}\right]=\mathbf {t} _{1}e^{\lambda _{1}}\mathbf {s} _{1}^{T}+\mathbf {t} _{2}e^{\lambda _{2}}\mathbf {s} _{2}^{T}+\dots +\mathbf {t} _{n}e^{\lambda _{n}}\mathbf {s} _{n}^{T}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8712730bb87b7eccd40b5b76df8f7ec6e5a5a83)
In conclusione, nel caso
sia diagonalizzabile, si ha:
![{\displaystyle e^{A}=\sum _{k=1}^{n}\mathbf {t} _{k}\cdot \mathbf {s} _{k}^{T}\cdot e^{\lambda _{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1f105b9c72c7b94da21e77dbd323cfe20f894c5)
con
autovettore destro e
autovettore sinistro, entrambi associati all'autovalore
Se
non è diagonalizzabile si ricorre alla forma di Jordan. In questo caso si ha
, con
matrice diagonale a blocchi:
![{\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{1}&0&0&\cdots \\0&J_{2}&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\cdots \\0&0&\cdots &J_{k}\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7901b5cf7781f669a0c1c0c7b630d04dabae5021)
dove il
-esimo blocco è della forma:
![{\displaystyle J_{k}={\begin{bmatrix}\lambda _{k}&1&0&\cdots \\0&\lambda _{k}&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &1\\0&0&\cdots &\lambda _{k}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{k}&0&0&\cdots \\0&\lambda _{k}&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &0\\0&0&\cdots &\lambda _{k}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots \\0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &1\\0&0&\cdots &0\end{bmatrix}}=\Lambda _{k}+J_{k0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/234178e35e37fb6d49cd123a7ab3d0946df42777)
Le matrici
vengono detti blocchi di Jordan. Utilizzando il procedimento seguito nel caso di
diagonalizzabile si ottiene:
![{\displaystyle e^{A}=Te^{J}S,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bbef8e5d4edde8665943d433bb8591f1e20f805)
dove:
![{\displaystyle e^{J}={\begin{bmatrix}e^{J_{1}}&0&0&\cdots \\0&e^{J_{2}}&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\cdots \\0&0&\cdots &e^{J_{k}}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd43a453344b5eefe809a2a3bbf750e732fe13d2)
Si nota che il prodotto delle matrici
e
è commutativo. Si può quindi scrivere:
![{\displaystyle e^{J_{k}}=e^{\lambda _{k}I}e^{J_{k0}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb26afa70bdd4137e9be4c8989cc0f6656c6e55a)
Si calcola ora
:
![{\displaystyle e^{J_{k0}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {J_{k0}^{k}}{k!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aa575f2a3750ede29e4e6eb30fe3b1f1e124b61)
Si verifica facilmente che
si calcola spostando in alto e a destra la diagonale formata dagli 1:
![{\displaystyle J_{k0}={\begin{bmatrix}0&1&0&0&\dots \\0&0&1&0&\dots \\0&0&0&1&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &1\\0&0&0&\dots &0\end{bmatrix}},\qquad J_{k0}^{2}={\begin{bmatrix}0&0&1&\dots &0\\0&0&0&1&\vdots \\0&0&0&\dots &\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &0\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8ed1f7c237ef224d8e1fb4be6a4bc6637a76447)
![{\displaystyle J_{k0}^{\nu _{k}-1}={\begin{bmatrix}0&0&0&\dots &1\\0&0&0&\dots &0\\0&0&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &0\end{bmatrix}},\qquad J_{k0}^{\nu _{k}}={\begin{bmatrix}0&0&0&\dots &0\\0&0&0&\dots &0\\0&0&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &0\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58808a09060ff382960386b79989f116eee88e8c)
dove
è la dimensione di
. Per potenze superiori a
si ha la matrice nulla. Quindi:
![{\displaystyle e^{J_{k0}}=\sum _{k=0}^{\nu _{k}-1}{\frac {J_{k0}^{k}}{k!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef1da0b5f5fe94795fe2ed9acce2fc32d25daec0)
Inoltre:
![{\displaystyle e^{\lambda _{k}I}={\begin{bmatrix}e^{\lambda _{k}}&0&0&0&\dots \\0&e^{\lambda _{k}}&0&0&\dots \\0&0&e^{\lambda _{k}}&0&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &e^{\lambda _{k}}\end{bmatrix}}=e^{\lambda _{k}}I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/198fc4fac8a50ffec3ace686e7797d20c99b9cae)
Quindi il
-esimo blocco di
ha la seguente espressione:
![{\displaystyle e^{J_{k}}=e^{\lambda _{k}I}e^{J_{k0}}=\sum _{k=0}^{\nu _{k}-1}{\frac {J_{k0}^{k}}{k!}}e^{\lambda _{k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ec84fcf0ef4f14f828b9ee1ab24f84ca202d10b)
La matrice esponenziale vale:
![{\displaystyle e^{A}=[{\begin{matrix}T_{1}&\dots &T_{s}\end{matrix}}]{\begin{bmatrix}e^{J_{1}}&0&\dots \\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\dots &e^{J_{n}}\\\end{bmatrix}}\left[{\begin{matrix}S_{1}^{T}\\\vdots \\S_{s}^{T}\end{matrix}}\right]=\sum _{k=1}^{s}[T_{k}e^{J_{k}}S_{k}^{T}]=\sum _{k=1}^{s}\sum _{i=1}^{\nu _{k}-1}{\frac {T_{k}J_{k0}^{i}S_{k}^{T}}{i!}}e^{\lambda _{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82f048cb2663f2251ed92ee19e7742a225ad207f)
dove
e
. La matrice
non è costituita dagli autovettori di
. Il calcolo della matrice di trasformazione
è più complesso rispetto al caso di
diagonalizzabile.
Se la matrice
è
, può essere decomposta rispetto alle matrici di Pauli
attraverso opportuni coefficienti complessi
nel modo seguente:
![{\displaystyle A=r_{0}I+\sum _{i=1}^{3}r_{i}\sigma _{i}=\left({\begin{matrix}r_{0}+r_{3}&r_{1}+ir_{2}\\r_{1}-ir_{2}&r_{0}-r_{3}\end{matrix}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4f7a1a5da8d643bd5eeea7cd68512c68f91ef15)
Allora vale:
![{\displaystyle \exp(A)=e^{r_{0}}\left(\cosh r+{\hat {r}}\cdot {\vec {\sigma }}\sinh r\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a6cdbc34eb20716f0ce954c11dece844943d1b4)
dove:
![{\displaystyle r={\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}}},\quad {\hat {r}}={\frac {1}{r}}(r_{1},r_{2},r_{3}),\quad {\vec {\sigma }}=(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}),\quad {\hat {r}}\cdot {\vec {\sigma }}={\frac {r_{1}}{r}}\sigma _{1}+{\frac {r_{2}}{r}}\sigma _{2}+{\frac {r_{3}}{r}}\sigma _{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1550c5b7126b7c8385cbbd5e01708ad34dbe191)
Sia
Utilizzando le proprietà delle matrici di Pauli
![{\displaystyle \sigma _{i}^{2}=I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c85045d975d573aa94387505253f0e43bb100c5)
e
![{\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}+\sigma _{j}\sigma _{i}=2\delta _{ij},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/913a821d190596a95016f2a0850db011abe8d2e5)
dove
è la funzione delta di Kronecker, si ha:
![{\displaystyle ({\vec {r}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2}=\sum _{i=1}^{3}r_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i=1}^{3}\sum _{j\not =i}r_{i}r_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}=\sum _{i=1}^{3}r_{i}^{2}I+\sum _{i=1}^{3}\sum _{j\not =i}r_{i}r_{j}{\frac {1}{2}}(\sigma _{i}\sigma _{j}+\sigma _{j}\sigma _{i})=r^{2}I+0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e595b36eb69e53284f6f91fa03c02b0dacf298a)
Per cui:
![{\displaystyle \exp(A)=e^{r_{0}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}({\vec {r}}\cdot {\vec {\sigma }})^{n}=e^{r_{0}}\,\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {r^{2n}}{(2n)!}}I+{\frac {{\vec {r}}\cdot {\vec {\sigma }}}{r}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {r^{2n+1}}{(2n+1)!}}\right]=e^{r_{0}}(I\cosh r+{\hat {r}}\cdot {\vec {\sigma }}\sinh r).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b12d3c5c74dc880fbd9e802536688a95af7b4d14)
La funzione esponenziale di una matrice viene frequentemente utilizzata per risolvere sistemi di equazioni differenziali. La soluzione del problema ai valori iniziali del primo ordine:
![{\displaystyle y'(t)=Ay(t),\qquad y(0)=y_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abe68a1c3a4e44e2d66f7921c08b1727edcd2138)
in cui
è una matrice costante (cioè di coefficienti costanti), è data da:
![{\displaystyle y(t)=e^{At}y_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbaf40d2de42bd9ecff47622a4ebddf7d8038b2c)
Si può anche utilizzare la funzione esponenziale di una matrice per studiare l'equazione non omogenea:
![{\displaystyle y'(t)=Ay(t)+z(t),\qquad y(0)=y_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba9b0d3189b6f01ba70021876b508d866448d75)
Non esiste invece nessuna soluzione in forma chiusa per equazioni del tipo:
![{\displaystyle y'(t)=A(t)y(t),\qquad y(0)=y_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a6047efe4d3337ea8be9476434c76e89a1aa4d7)
con
non costante, tuttavia è possibile trovare una soluzione nella forma di somma infinita.
- (EN) Bhatia, R., Matrix Analysis, Graduate Texts in Mathematics, vol. 169, Springer, 1997, ISBN 978-0-387-94846-1.
- (EN) Hermann Weyl, Space Time Matter, Dover, 1952, p. 142, ISBN 0-486-60267-2.
- (EN) James D. Bjorken e Sidney D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics, McGraw-Hill, 1964, p. 22.
- (EN) Roger A. Horn e Charles R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1991, ISBN 978-0-521-46713-1.
- matrice esponenziale, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
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- matrice, esponenziale di una, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
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- (EN) Eric W. Weisstein, Matrice esponenziale, su MathWorld, Wolfram Research.
![Modifica su Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png)
- (EN) Module for the Matrix Exponential, su math.fullerton.edu. URL consultato l'11 gennaio 2015 (archiviato dall'url originale il 9 giugno 2007).
- Esercizio svolto sulla forma canonica di Jordan (PDF), su mat.uniroma2.it.
- Esercizi sulla forma di Jordan e sull’esponenziale di matrice (PDF), su ce.unipr.it.