Onda evanescente

Un'onda evanescente è un particolare tipo di onda elettromagnetica piana non uniforme. Essa è fondamentale nello studio di fenomeni quali la riflessione totale.

Definizione

Un'onda può essere classificata come evanescente se il suo vettore di attenuazione ${\vec {a}}$ e il suo vettore di fase ${\vec {k}}$ sono tra loro perpendicolari. Ciò non è possibile in un mezzo qualunque, ma solamente in quelli nei quali la conducibilità è nulla. Difatti, per definizione, il vettore di propagazione ${\vec {S}}$ si può scrivere come

${\vec {S}}={\vec {a}}+i{\vec {k}}$

ma inoltre vale ${\vec {S}}\cdot {\vec {S}}=-\omega ^{2}\mu \epsilon _{c}$ con $\mu$ permeabilità magnetica del mezzo e $\epsilon _{c}=\epsilon -{\frac {i\gamma }{\omega }}$ permettività dielettrica complessa del mezzo.

Deve quindi valere la coppia di relazioni: $\left\{{\begin{array}{l}|{\vec {a}}|^{2}-|{\vec {k}}|^{2}=-\omega ^{2}\mu \epsilon \\2{\vec {a}}\cdot {\vec {k}}=\omega \mu \gamma \\\end{array}}\right.$

In un'onda evanescente ${\vec {a}}\cdot {\vec {k}}=0$, ma tale relazione può essere rispettata solo in un mezzo in cui la conducibilità $\gamma$ è nulla.

Onde evanescenti nei conduttori

Per semplicità, consideriamo il caso unidimensionale di un conduttore sottoposto ad un campo elettrico oscillante $\mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}e^{-iwt}$. Mettiamoci inoltre nell'approssimazione di campi deboli, così da poter trascurare gli effetti magnetici nel conduttore.
In queste ipotesi, l'equazione del moto per gli elettroni assume la forma:

$m({\ddot {x}}+\gamma {\dot {x}}+w_{0}^{2}x)=-e\mathbf {E} _{0}e^{-iwt}$

ma in un conduttore gli elettroni sono liberi, e quindi il termine armonico si annulla ( $w_{0}=0$). Ci si riduce così all'equazione:

$m({\ddot {x}}+\gamma {\dot {x}})=-eE_{0}e^{-iwt}$

che ha come soluzione per la velocità:

$\mathbf {v} (t)=-{\frac {e}{m(-i\omega +\gamma )}}\mathbf {E}$

e ricordando che per definizione vale $\mathbf {J} =-Ne\mathbf {v}$ dove con N si indica il numero di elettroni per unità di volume, si ottiene:

$\mathbf {J} ={\frac {Ne^{2}}{m(i\omega +\gamma )}}\mathbf {E}$

e definendo la frequenza di plasma come:

$\omega _{pl}^{2}={\frac {Ne^{2}}{m\varepsilon _{0}}}$

è possibile esprimere la densità di corrente $\mathbf {J}$ come:

$\mathbf {J} ={\frac {\omega _{pl}^{2}}{(-i\omega +\gamma )}}\varepsilon _{0}\mathbf {E}$

e ricordando la relazione $\mathbf {J} =\mathbf {\sigma } \mathbf {E}$ è possibile introdurre la conducibilità generalizzata:

$\mathbf {\sigma } ={\frac {\omega _{pl}^{2}}{(-i\omega +\gamma )}}\varepsilon _{0}$

che, come è possibile notare, è in generale una quantità complessa.
Nel caso di basse frequenze $\omega <<\gamma$ essa è puramente reale, e ci si riconduce al caso omhico, nella quale la conducibilità non dipende dalla frequenza. Consideriamo invece alte frequenze $\omega >>\gamma$, per le quali si ha un comportamento:

$\mathbf {\sigma } =i{\frac {\omega _{pl}^{2}}{\omega }}$

e si può quindi notare che la corrente è sfasata di ${\frac {\pi }{2}}$ rispetto al campo $\mathbf {E}$.
È giunta l'ora di considerare l'equazione di propagazione del campo elettrico, che come noto è:

$\nabla ^{2}\mathbf {E} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial t}}$

avente soluzione del tipo:

$\mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}e^{ikx-i\omega t}$

sostituendola, insieme all'espressione ricavata per $\mathbf {J}$, nell'equazione d'onda, si ottiene la relazione di dispersione:

$\omega ^{2}=k^{2}c^{2}+{\frac {i\omega }{i\omega -\gamma }}\omega _{pl}^{2}$

che nel limite di alte frequenze $\omega >>\gamma$ porta a:

$\omega ^{2}=k^{2}c^{2}+\omega _{pl}^{2}$

ovvero

$k^{2}={\frac {\omega ^{2}-\omega _{pl}^{2}}{c^{2}}}$

e, nel caso $\omega <\omega _{pl}^{2}$ il numero d'onda k è puramente immaginario, il campo elettrico nel conduttore è della forma:

$\mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}e^{\frac {-x}{l_{p}}}e^{-i\omega t}$

ovvero, il campo elettrico non si propaga all'interno del conduttore, ma penetra solo sino ad una distanza detta lunghezza di pelle inerziale:

$l_{p}={\sqrt {\frac {c^{2}}{\omega _{pl}^{2}-\omega ^{2}}}}$

In virtù di questa caratteristica, questo genere di onde vengono definite evanescenti.

Proprietà

Nello studio della riflessione totale tra due mezzi semi-infiniti si può dimostrare che se l'angolo di incidenza dell'onda è maggiore dell'angolo critico, nel mezzo 2 si instaura un'onda piana evanescente con vettore di fase parallelo alla superficie di separazione tra i mezzi e vettore di attenuazione quindi normale alla stessa.

Un'ulteriore proprietà importante di un'onda piana evanescente è che la parte reale del vettore di Poynting è parallela alla direzione di ${\vec {k}}$ mentre la sua parte immaginaria è parallela alla direzione di ${\vec {a}}$.

Bibliografia

• P. Marino, S. Scotto, Appunti di Fisica B II.
• Michele Midrio, Campi Elettromagnetici, SGEditoriali, 2006, ISBN 88-86281-82-X

Voci correlate

• Onde elettromagnetiche
• Onda piana
• Riflessione
• Rifrazione
• Angolo critico