Teorema della corda

In trigonometria, il teorema della corda esprime la lunghezza della corda tracciata lungo una circonferenza e l'angolo sotteso dalla corda stessa. Data una circonferenza di raggio $R$, e una corda tracciata tra due punti $A$ e $B$ della circonferenza, l'angolo sotteso dalla corda stessa con vertice al centro della circonferenza è detto angolo al centro; ciascun angolo sotteso dalla corda e con vertice sulla circonferenza è detto angolo alla circonferenza.

La misura della corda ${\overline {AB}}$ è data da:

${\overline {AB}}=2R\sin \alpha =2R\sin {\frac {\beta }{2}}$,

dove $\alpha$ è l'angolo alla circonferenza e $\beta$ è l'angolo al centro.

Osserviamo che una corda sottende due tipi diversi di angoli alla circonferenza: la corda taglia infatti la circonferenza in due parti. Gli angoli che hanno il vertice sulla parte più grande sono acuti, quelli con il vertice sulla parte più piccola sono ottusi. Poiché la somma di un angolo del primo tipo con un angolo del secondo tipo è un angolo piatto, si ha che

$\sin \alpha _{1}=\sin(\pi -\alpha _{2})=\sin \alpha _{2}$,

per cui l'enunciato del teorema non presenta alcuna ambiguità.

Dimostrazione

Figura 1: il teorema della corda con l'angolo al centro

La dimostrazione del teorema per l'angolo al centro segue da elementari considerazioni geometriche: considerando la figura 1 a fianco, la bisettrice dell'angolo al centro forma il triangolo rettangolo $AHO$, a cui è possibile applicare le comuni formule trigonometriche:

${\overline {AB}}=2{\overline {AH}}=2R\sin A{\widehat {O}}H=2R\sin {\frac {\beta }{2}}$.

Per quanto riguarda l'angolo al centro, è sufficiente dimostrare che esso è metà dell'angolo alla circonferenza, il che si ottiene facilmente dalla seguente costruzione: data una corda $AB$ con l'angolo alla circonferenza $\alpha$ di vertice $C$, posto sul maggiore degli archi individuati da $A$ e $B$, e l'angolo al centro $\beta$ di vertice $O$, si traccia la retta che passa per il vertice dell'angolo alla circonferenza e per il centro.

Facendo riferimento alla figura 2 in basso a destra, sia $D$ l'intersezione tra $OB$ e $AC$. Valgono allora le seguenti relazioni:

${\begin{matrix}O{\widehat {B}}C&=&O{\widehat {C}}B=\alpha +\gamma &({\overline {OC}}={\overline {OB}})\\O{\widehat {D}}C&=&\beta +\gamma &{\mbox{(angolo opposto al vertice di }}A{\widehat {D}}O{\mbox{)}}\\\omega +\beta &=&(\beta +\gamma )+\gamma =\beta +2\gamma &{\mbox{(angolo opposto al vertice di }}A{\widehat {D}}C{\mbox{)}}\\\omega +\beta &=&O{\widehat {C}}B+O{\widehat {B}}C=2(\alpha +\gamma )=2\alpha +2\gamma &{\mbox{(angolo opposto al vertice di }}C{\widehat {O}}B{\mbox{)}}\end{matrix}}$

Figura 2: angoli al centro e alla circonferenza

Confrontando le ultime due uguaglianze segue $\beta +2\gamma =2\alpha +2\gamma$ e $\beta =2\alpha$.

Applicazioni

Come conseguenza diretta del teorema della corda è possibile calcolare la distanza della corda dal centro della circonferenza: sempre facendo riferimento alla figura 1, e mantenendo la nomenclatura sopra usata, tale distanza risulta essere:

${\overline {OH}}=R\cos \alpha =R\cos {\frac {\beta }{2}}$.

Applicando il teorema della corda ai tre lati di un triangolo inscritto in una circonferenza, si ottiene il teorema dei seni.

Voci correlate

• Teorema dei seni
• Triangolo