Utente:Luca Antonelli/Sandbox01: differenze tra le versioni
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La '''funzione di Dirichlet''' è una [[funzione di variabile reale]], che assume due soli valori, diversi a seconda che la variabile indipendente sia [[numero razionale|razionale]] o [[numero irrazionale|irrazionale]]. Questa funzione fu introdotta da [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Peter Dirichlet]] come esempio di funzione molto lontana dalle tradizionali funzioni note fino ad allora nell'[[analisi matematica]]. |
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==Definizione== |
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La funzione di Dirichlet è definita nel modo seguente: |
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: <math>\chi(x)=\left\{ |
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\begin{matrix} |
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1 & x \in \mathbb{Q} \\ |
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0 & x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q} |
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\end{matrix} |
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\right. |
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</math> |
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È la [[funzione indicatrice]] dell'insieme dei razionali <math>\mathbb{Q}</math>. |
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Viene talora chiamata funzione di Dirichlet la funzione definita a valori invertiti: |
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: <math>\chi(x)=\left\{ |
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\begin{matrix} |
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0 & x \in \mathbb{Q} \\ |
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1 & x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q} |
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\end{matrix} |
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\right. |
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</math> |
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Nel seguito quest'ultima funzione sarà indicata come <math>1 - \chi</math>. |
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==Continuità e integrabilità== |
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La funzione di Dirichlet è un esempio di funzione che non è [[funzione continua|continua]] in nessun punto del [[dominio (matematica)|dominio]], infatti ogni [[intorno]] di qualsiasi punto contiene sempre almeno un numero razionale e un numero irrazionale (in effetti infiniti punti per entrambe le categorie) e quindi due punti in cui la funzione assume valore 0 e 1. |
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La funzione è non [[integrale di Riemann|integrabile secondo Riemann]] ma [[integrale di Lebesgue|integrabile secondo Lebesgue]]. Poiché la funzione assume [[quasi ovunque]] valore 0 (essendo l'insieme dei numeri razionali un [[insieme di misura nulla]]) ll risultato dell'operazione di integrazione su qualunque intervallo <math>[a,b]</math> è 0. Per analoghe ragioni, l'integrale della funzione <math>1 - \chi</math> sull'intervallo <math>[a,b]</math> vale <math>b - a</math>. |
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==Altre proprietà== |
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Il [[grafico di una funzione|grafico]] della funzione apparirebbe come due [[retta|rette]] orizzontali, di ordinata 0 e 1, "sbiadite", ovvero fatte di tanti punti infinitamente vicini e "buchi" puntiformi infinitamente vicini. |
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La funzione di Dirichlet è approssimabile mediante funzioni continue secondo la formula seguente: |
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: <math>\chi(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \lim_{m \rightarrow \infty} \left[ \cos \left( 2 \pi n! x \right) \right]^m</math>. |
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La funzione 1 − χ |
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presenta inoltre un minimo relativo e assoluto improprio per ogni x razionale, e un massimo relativo e assoluto improprio per ogni x irrazionale. |
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==Funzione di Dirichlet modificata== |
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Nel [[1854]] [[Bernhard Riemann]] descrisse una variante della funzione di Dirichlet, che pur essendo discontinua su ogni [[intervallo (matematica)|intervallo]] della [[retta reale]], è integrabile secondo Riemann. Una possibile definizione di questa funzione è: |
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: <math> |
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\Chi(x)= |
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\begin{cases} |
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\frac{1}{q} & x = \frac{p}{q}, \mbox{con } \frac{p}{q} \mbox{ ridotta ai minimi termini} \\ |
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0 & x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}. |
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\end{cases} |
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</math> |
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Questa funzione è integrabile secondo Riemann perché dato un qualunque valore positivo <math>\epsilon</math>, la funzione supera <math>\epsilon</math> solamente in un numero finito di punti; le [[Integrale#Definizione di integrale|somme integrali]] che approssimano il valore dell'integrale tendono quindi a zero. |
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Inoltre, la funzione è anche continua in ogni valore irrazionale di <math>x</math>: preso infatti un numero irrazionale <math>x_0</math> e fissato un valore positivo <math>\epsilon</math>, esiste sempre un intorno di <math>x_0</math> in cui <math>\Chi(x_0) < \epsilon</math>; segue quindi che: |
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<math>\lim_{x \rightarrow x_0}\Chi(x) = 0</math>. |
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==Bibliografia== |
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* {{cita libro|cognome=Stillwell|nome=John|curatore=Claudio Bartocci e Piergiorgio Odifreddi|titolo=La Matematica II - Problemi e teoremi|anno=2008|editore=Einaudi|città=Torino|capitolo=Il teorema fondamentale del calcolo|id=ISBN 978-88-06-16425-6}} |
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==Voci correlate== |
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* [[Misura di Lebesgue]] |
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==Collegamenti esterni== |
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* [http://www.vialattea.net/esperti/mat/ifzero/_dirichlet.htm Una discussione sull'integrabilità della funzione di Dirichlet] |
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<nowiki>[[Categoria: Funzioni reali di variabile reale]] |
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[[Categoria: Teoria della misura]] |
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[[Categoria: Funzioni speciali]] |
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{{Portale|matematica}} |
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[[bg:Функция на Дирихле]] |
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[[cs:Dirichletova funkce]] |
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[[de:Dirichlet-Funktion]] |
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[[en:Nowhere continuous function]] |
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[[he:פונקציית דיריכלה]] |
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[[ja:ディリクレの関数]] |
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[[nl:Dirichletfunctie]] |
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[[pl:Funkcja Dirichleta]] |
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[[pt:Função de Dirichlet]] |
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[[ru:Функция Дирихле]] |
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[[sk:Dirichletova funkcia]] |
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[[sv:Dirichlets funktion]]</nowiki> |
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