Utente:Luca Antonelli/Sandbox01

La funzione di Dirichlet è una funzione di variabile reale, che assume due soli valori, diversi a seconda che la variabile indipendente sia razionale o irrazionale. Questa funzione fu introdotta da Peter Dirichlet come esempio di funzione molto lontana dalle tradizionali funzioni note fino ad allora nell'analisi matematica.

Definizione

La funzione di Dirichlet è definita nel modo seguente:

$\chi (x)=\left\{{\begin{matrix}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \end{matrix}}\right.$

È la funzione indicatrice dell'insieme dei razionali $\mathbb {Q}$. Viene talora chiamata funzione di Dirichlet la funzione definita a valori invertiti:

$\chi (x)=\left\{{\begin{matrix}0&x\in \mathbb {Q} \\1&x\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \end{matrix}}\right.$

Nel seguito quest'ultima funzione sarà indicata come $1-\chi$.

Continuità e integrabilità

La funzione di Dirichlet è un esempio di funzione che non è continua in nessun punto del dominio, infatti ogni intorno di qualsiasi punto contiene sempre almeno un numero razionale e un numero irrazionale (in effetti infiniti punti per entrambe le categorie) e quindi due punti in cui la funzione assume valore 0 e 1.

La funzione è non integrabile secondo Riemann ma integrabile secondo Lebesgue. Poiché la funzione assume quasi ovunque valore 0 (essendo l'insieme dei numeri razionali un insieme di misura nulla) ll risultato dell'operazione di integrazione su qualunque intervallo $[a,b]$ è 0. Per analoghe ragioni, l'integrale della funzione $1-\chi$ sull'intervallo $[a,b]$ vale $b-a$.

Altre proprietà

Il grafico della funzione apparirebbe come due rette orizzontali, di ordinata 0 e 1, "sbiadite", ovvero fatte di tanti punti infinitamente vicini e "buchi" puntiformi infinitamente vicini.

La funzione di Dirichlet è approssimabile mediante funzioni continue secondo la formula seguente:

$\chi (x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\lim _{m\rightarrow \infty }\left[\cos \left(2\pi n!x\right)\right]^{m}$.

La funzione 1 − χ presenta inoltre un minimo relativo e assoluto improprio per ogni x razionale, e un massimo relativo e assoluto improprio per ogni x irrazionale.

Funzione di Dirichlet modificata

Nel 1854 Bernhard Riemann descrisse una variante della funzione di Dirichlet, che pur essendo discontinua su ogni intervallo della retta reale, è integrabile secondo Riemann. Una possibile definizione di questa funzione è:

$\mathrm {X} (x)={\begin{cases}{\frac {1}{q}}&x={\frac {p}{q}},{\mbox{con }}{\frac {p}{q}}{\mbox{ ridotta ai minimi termini}}\\0&x\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} .\end{cases}}$

Questa funzione è integrabile secondo Riemann perché dato un qualunque valore positivo $\epsilon$, la funzione supera $\epsilon$ solamente in un numero finito di punti; le somme integrali che approssimano il valore dell'integrale tendono quindi a zero. Inoltre, la funzione è anche continua in ogni valore irrazionale di $x$: preso infatti un numero irrazionale $x_{0}$ e fissato un valore positivo $\epsilon$, esiste sempre un intorno di $x_{0}$ in cui $\mathrm {X} (x_{0})<\epsilon$; segue quindi che: $\lim _{x\rightarrow x_{0}}\mathrm {X} (x)=0$.

Bibliografia

• John Stillwell, Il teorema fondamentale del calcolo, in Claudio Bartocci e Piergiorgio Odifreddi (a cura di), La Matematica II - Problemi e teoremi, Torino, Einaudi, 2008, ISBN 978-88-06-16425-6.

Voci correlate

• Misura di Lebesgue

Collegamenti esterni

• Una discussione sull'integrabilità della funzione di Dirichlet

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