Utente:Luca Antonelli/Sandbox01: differenze tra le versioni
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Inoltre, la funzione è anche continua in ogni valore irrazionale di <math>x</math>: preso infatti un numero irrazionale <math>x_0</math> e fissato un valore positivo <math>\epsilon</math>, esiste sempre un intorno di <math>x_0</math> in cui <math>\Chi(x_0) < \epsilon</math>; segue quindi che: |
Inoltre, la funzione è anche continua in ogni valore irrazionale di <math>x</math>: preso infatti un numero irrazionale <math>x_0</math> e fissato un valore positivo <math>\epsilon</math>, esiste sempre un intorno di <math>x_0</math> in cui <math>\Chi(x_0) < \epsilon</math>; segue quindi che: |
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<math>\lim_{x \rightarrow x_0}\Chi(x) = 0</math>. |
<math>\lim_{x \rightarrow x_0}\Chi(x) = 0</math>. |
Versione delle 21:53, 26 apr 2009
La funzione di Dirichlet è una funzione di variabile reale, che assume due soli valori, diversi a seconda che la variabile indipendente sia razionale o irrazionale. Questa funzione fu introdotta da Peter Dirichlet come esempio di funzione molto lontana dalle tradizionali funzioni note fino ad allora nell'analisi matematica.
Definizione
La funzione di Dirichlet è definita nel modo seguente:
È la funzione indicatrice dell'insieme dei razionali . Viene talora chiamata funzione di Dirichlet la funzione definita a valori invertiti:
Nel seguito quest'ultima funzione sarà indicata come .
Continuità e integrabilità
La funzione di Dirichlet è un esempio di funzione che non è continua in nessun punto del dominio, infatti ogni intorno di qualsiasi punto contiene sempre almeno un numero razionale e un numero irrazionale (in effetti infiniti punti per entrambe le categorie) e quindi due punti in cui la funzione assume valore 0 e 1.
La funzione è non integrabile secondo Riemann ma integrabile secondo Lebesgue. Poiché la funzione assume quasi ovunque valore 0 (essendo l'insieme dei numeri razionali un insieme di misura nulla) ll risultato dell'operazione di integrazione su qualunque intervallo è 0. Per analoghe ragioni, l'integrale della funzione sull'intervallo vale .
Altre proprietà
Il grafico della funzione apparirebbe come due rette orizzontali, di ordinata 0 e 1, "sbiadite", ovvero fatte di tanti punti infinitamente vicini e "buchi" puntiformi infinitamente vicini.
La funzione di Dirichlet è approssimabile mediante funzioni continue secondo la formula seguente:
- .
La funzione 1 − χ presenta inoltre un minimo relativo e assoluto improprio per ogni x razionale, e un massimo relativo e assoluto improprio per ogni x irrazionale.
Funzione di Dirichlet modificata
Nel 1854 Bernhard Riemann descrisse una variante della funzione di Dirichlet, che pur essendo discontinua su ogni intervallo della retta reale, è integrabile secondo Riemann. Una possibile definizione di questa funzione è:
Questa funzione è integrabile secondo Riemann perché dato un qualunque valore positivo , la funzione supera solamente in un numero finito di punti; le somme integrali che approssimano il valore dell'integrale tendono quindi a zero. Inoltre, la funzione è anche continua in ogni valore irrazionale di : preso infatti un numero irrazionale e fissato un valore positivo , esiste sempre un intorno di in cui ; segue quindi che: .
Bibliografia
- John Stillwell, Il teorema fondamentale del calcolo, in Claudio Bartocci e Piergiorgio Odifreddi (a cura di), La Matematica II - Problemi e teoremi, Torino, Einaudi, 2008, ISBN 978-88-06-16425-6.
Voci correlate
Collegamenti esterni
[[Categoria: Funzioni reali di variabile reale]]
[[Categoria: Teoria della misura]]
[[Categoria: Funzioni speciali]]
{{Portale|matematica}}
[[bg:Функция на Дирихле]]
[[cs:Dirichletova funkce]]
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