Forma tipica:
Si pone :
onde
e ponendo in questa l'espressione di y' si
ha l'equazione:
che è lineare in z.
Si pone:
e l'equazione diventa:
![{\displaystyle \ {dz \over dx}={4 \over x}-{2 \over x^{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1a4c0864d4798c579349a4e47434fe226507c57)
che risolta da:
Forma tipica:
Essendo a, b, e C funzioni date di x:
Se si conosce un integrale particolare y_1, ponendo
![{\displaystyle \ y=y_{1}+z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8dc1f0c92a523b2b1b018efc8f525153c19753e)
Essa si trasforma in una equazione di Bernoulli.
Questa equazione ammette l'integrale particolare;
per cui ponendo:
l'equazione diventa:
che si integra subito separando levariabili e si trova:
pere cui l'integrale generale della data è:
![{\displaystyle \ y=x-{2 \over x^{2}+2C}={x^{3}+2Cx-2 \over x^{2}+2C}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3843fc08a5fa459a2634ace227b15b4e7ec807d0)
Se si pone :
l'equazione data si trasforma in una equazione lineare.
- Forma tipica:
![{\displaystyle \ -\qquad y=\alpha (y')x+\beta (y').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7598f153bb71e22fadd5bba0b5799c588c2527ed)
Si derivano i due membri rispetto a xe si pone:
, onde l'equazione diventa:
![{\displaystyle \ [t-\alpha (t)]{dx \over dt}=\alpha '(t)x+\beta '(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dff823ba98dbf532e09a077a5f5a176dbb5933b)
Ovvero:
che è lineare nell'incognita
L'integrale generale si trova così in forma parametrica:
![{\displaystyle \ {\begin{cases}x&\varphi (t,C)\\y&\alpha (t)\varphi (t,C)+\beta (t)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/404e468a7c357227cc87dc0d0b20c02926dccfeb)
Se in particolare:
l'equazione si dice di Clairaut.
1) Si risolva l'equazione di Lagrange:
![{\displaystyle \ y=xy^{'2}+y^{'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56e136a0014bb71fd687420b6c39fd9a365db4e9)
Derivando e ponendo poi
si ha l'equazione lineare nell'incognita x:
![{\displaystyle \ {dx \over dt}+{2x \over t-1}=-{t \over t(t-1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d823ab35dfffb73bc5dbe167ad4ef10d6ad9d74)
Procedendo ora come è stato indicato nelle Equazioni lineari si trova
![{\displaystyle \ x={-t+log\ t+C_{1} \over (t-1)^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1631a2ee235fa073373eb5b82dab183df1fb698)
Quindi l'integrale generale dell'equazione data in forma parametrica è:
![{\displaystyle \ {-t+log\ t+C_{1} \over (t-1)^{2}}\qquad y={t[t\ log\ t+(C_{1}-2)t+1] \over (t-1)^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49e0e030a79189979bc0a83e36b931bdd5b4e4fe)
2) Si risolva l'equazione di Clairaut:
![{\displaystyle \ y=xy^{'}+y^{'2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9592abc23702c945f0c37360110f49de92c1978b)
Derivando e ponendo
si trova:
![{\displaystyle \ {dt \over dx}(x+2t)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cab5be3fc6ffeb9e10bf09401a004652f913a60)
L'equazione:
fornisce l'integrale generale, poiché:
che confrontata con la data diventa:
L'altra equazione:
da l'integrale singolare che è:
da cui
equazione che si può pure ottenere come curva inviluppo della famiglia costituita dall'integrale generale.