Trigonometria sferica

La trigonometria sferica è un ramo della geometria sferica che si occupa delle relazioni tra lati ed angoli dei poligoni ed in particolare dei triangoli costruiti su una sfera. È di notevole importanza per i calcoli astronomici e per la navigazione sia aerea che terrestre.

Triangoli sferici

Il primo trattato di trigonometria sferica è stato scritto da Al-Jayyani, un matematico arabo, nel 1060 d.C.

Linee sulla sfera

Sulla superficie di una sfera, l'analogo di una linea retta è un cerchio massimo, ossia un cerchio il cui centro coincide con il centro della sfera (ad esempio l'equatore e i meridiani sono cerchi massimi rispetto alla Terra). Come i segmenti su un piano, il più breve percorso tra due punti sulla superficie della sfera è un arco di cerchio massimo (geodetica).

Un'area della sfera che sia delimitata da archi di cerchio massimo è detto poligono sferico. In questo modo sono possibili "biangoli" sferici (poligoni dotati di due soli lati), diversamente dal caso planare.

I lati di questi poligoni non sono identificati per la loro lunghezza lineare, ma tramite l'angolo sotteso da essi rispetto al centro della sfera. La lunghezza dell'arco è dato dall'angolo al centro, misurato in radianti moltiplicato per il raggio della sfera.

Un triangolo sferico è quindi determinato dai suoi angoli e lati, specificati non dalla loro lunghezza lineare, ma dall'angolo al centro sotteso. La somma degli angoli interni di un triangolo sferico è sempre maggiore di 180°. La differenza tra la somma dei suoi angoli interni e 180° è detta eccesso sferico E: E = α + β + γ - 180° (dove α, β e γ si riferiscono agli angoli tra i lati). Per il teorema di Girard, l'eccesso sferico determina la superficie di ogni triangolo sferico. Dato E espresso in radianti e il raggio della sfera R, l'area A del triangolo sferico sarà: $A=ER^{2}.$ Da questa formula, mediante l'applicazione del teorema di Gauss-Bonnet, risulta chiaro che non sono possibili triangoli simili (ossia che hanno gli stessi angoli, ma diversa lunghezza dei lati, e/o diversa area) su una stessa sfera, a meno che non abbiano anche la stessa area. Questa osservazione è indipendente dalla dimensione della sfera.

Il pentagono di Napier e le sue relazioni con il triangolo sferico retto

Per risolvere un problema geometrico su una sfera, occorre suddividere la figura in triangoli sferici retti , ossia triangoli aventi un angolo pari a 90°, in modo da applicare il pentagono di Napier. Si tratta di un aiuto mnemonico per trovare facilmente le relazioni sussistenti tra gli angoli in un triangolo sferico retto: occorre scrivere i sei angoli (tre angoli e tre lati) del triangolo in ordine circolare (si comincia con un vertice e si procede con il lato adiacente) eliminando l'angolo di 90° e rimpiazzando i due lati adiacenti (a, b) con i loro complementi (ossia 90°-a, 90°-b). Il coseno di ciascuno dei cinque angoli sul pentagono di Napier è uguale:

• al prodotto delle cotangenti dei due angoli adiacenti
• al prodotto dei seni dei due angoli opposti

Identità

I triangoli sferici soddisfano la legge dei coseni sferici

$\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C$

L'identità si può derivare considerando il triangolo formato dalle linee tangenti che sottendono l'angolo C e usando la legge dei coseni piana. C'è anche un analogo della legge dei seni

${\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}.$

e il teorema delle cotangenti

$\cot(a)={\frac {\left[\cos(c)\cos(B)+\sin(B)\cot(A)\right]}{\sin(c)}}={\frac {\left[\cos(b)\cos(C)+\sin(C)\cot(A)\right]}{\sin(b)}}$

$\cot(b)={\frac {\left[\cos(a)\cos(C)+\sin(C)\cot(B)\right]}{\sin(a)}}={\frac {\left[\cos(c)\cos(A)+\sin(A)\cot(B)\right]}{\sin(c)}}$

$\cot(c)={\frac {\left[\cos(a)\cos(B)+\sin(B)\cot(C)\right]}{\sin(a)}}={\frac {\left[\cos(b)\cos(A)+\sin(A)\cot(C)\right]}{\sin(b)}}$

Voci correlate

• Geometria sferica
• Pentagramma miracoloso

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Collegamenti esterni

• trigonometria sferica, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) spherical trigonometry, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Trigonometria sferica, su MathWorld, Wolfram Research.