Trigonometria esférica
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Triangle_trirectangle.png/250px-Triangle_trirectangle.png)
Em matemática, a trigonometria esférica estuda as propriedades geométricas dos triângulos esféricos, em especial as relações que envolvem ângulos esféricos e arcos esféricos. É a área da geometria esférica que estuda os polígonos que se formam sobre a superfície das esferas, em especial, os triângulos. O estudo de trigonometria esférica tem especial relevância em náutica e navegação para determinar a posição de uma embarcação em alto-mar mediante a observação dos corpos celestes além de emprego na área ‘’design’’ de bola esportivas.
A esfera
[editar | editar código-fonte]Uma esfera E, de centro no ponto (a,b,c) e raio k, é domínio de R³ definido por todos pontos no espaço tridimensional que cumprem com a seguinte definição:
Círculo máximo
[editar | editar código-fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Ortodroma.svg/220px-Ortodroma.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png)
A intersecção de uma esfera com um plano que contenha seu centro gera um círculo máximo e uma circunferência máxima sobre a superfície da esfera. Um círculo máximo divide a esfera em dois hemisférios iguais. A distância entre dois pontos da superfície da esfera, unidos por um arco de círculo máximo, é a menor entre eles, e denomina-se distancia ortodrômica. Como exemplos de círculos máximos, temos na superfície terrestre os meridianos e a linha do equador.
Volume e superfície das esferas
[editar | editar código-fonte]O volume de uma esfera é o volume de revolução produzida por um semi círculo que gira ao redor do diâmetro. Segundo esta definição, se o seu raio é r, seu volume será:
A superfície é a superfície lateral de um corpo de revolução e será dada por:
Domínio sobre a superfície esférica
[editar | editar código-fonte]Um domínio de superfície esférica é uma área sobre a superfície da esfera, limitado pela curvas dessa superfície.
Triângulo esférico
[editar | editar código-fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Spherical_triangle_3d.png/350px-Spherical_triangle_3d.png)
Se três pontos da superfície esférica são unidos por arcos de círculo máximo, menores que 180º, a figura obtida denomina-se triângulo esférico. Os lados do polígono assim formado se expressam por conveniência como ângulos cujos vértices são o centro da esfera e não por sua longitude. Este arco medido em radianos e multiplicado pelo raio da esfera é a longitude do arco. Em um triângulo esférico os ângulos cumprem que: 180° < + + < 540°.
Fórmulas fundamentais
[editar | editar código-fonte]- ângulo formado entre os arcos AC e AB
- ângulo formado entre os arcos AB e BC
- ângulo formado entre os arcos AC e BC
Fórmula do cosseno
[editar | editar código-fonte]
Fórmula do seno
[editar | editar código-fonte]
Os senos dos lados são proporcionais a os senos dos ângulos opostos.
Fórmula da cotangente
[editar | editar código-fonte]A fórmula da cotangente também se denomina fórmula de elementos consecutivos. Ver na figura os seguintes elementos consecutivos:
ângulo lado ângulo lado
Cosseno dos elementos centrais é igual a: menos seno do ângulo médio pela cotangente do outro ângulo.
Fórmula de Bessel
[editar | editar código-fonte]Das fórmulas dos cossenos, obtendo a seção posterior, pode-se obter de imediato um conjunto de várias fórmulas conhecidas como "relações de seno por cosseno" ou também denominadas Fórmulas de Bessel, especialmente a terceira fórmula de Bessel. Foram deduzidas pela primeira vez pelo matemático Friedrich Wilhelm Bessel.
O conjunto das fórmulas de Bessel pode descrever para a esfera de raio unitário, isto é, a esfera trigonométrica, da forma:
Matrizes das fórmulas de um triângulo esférico
[editar | editar código-fonte]O conjunto das fórmulas do seno, do cosseno (conhecido por alguns como segunda e primeira fórmula de Bessel), e a tercei fórmula de Bessel, podem ser expressas da seguinte forma matricial:
sendo a, b y c os lados; y A, B y C os ângulos do triângulo esférico.
Triângulo esférico retângulo
[editar | editar código-fonte]O triângulo esférico com pelo menos um ângulo reto se denomina triângulo retângulo. Em um triângulo esférico seus três ângulos podem ser retos, em cujo caso, a soma é 270°. Em todos os outros casos essa soma excede os 180° e a esse excesso se denomina excesso esférico; se expressa pela fórmula: E: E = ++ - 180°.
Qualquer triângulo esférico pode descompor-se em dois triângulos esféricos retângulos.
Pentágono de Napier
[editar | editar código-fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/Neper%27s_Circle.png/220px-Neper%27s_Circle.png)
O pentágono de Napier é uma regra mnemónica para resolver triângulos esféricos retângulos; tem esse nome em memória do cientista inglês John Napier, e se constrói da seguinte forma:
Coloca-se em cada setor circular: cateto - ângulo - cateto - ângulo - cateto, consecutivamente, tal como aparecem ordenados no triângulo, exceto o ângulo reto C.
Se assinalam os ângulos B, A, e a hipotenusa c por seus complementares:
- B por (90° - B)
- A por (90° - A)
- c por (90° - c)
Estabelecem-se as seguintes regras:
- O seno de um elemento é igual o produto das tangentes dos elementos adjacentes:
- seno(a) = tg(b) tg(90° - B), ou seu equivalente: seno(a) = tg(b) ctg(B)
- O seno de um elemento é igual ao produto dos cossenos dos elementos opostos:
- seno(a) = cosseno(90° - A) cosseno(90° - c), ou seu equivalente: seno(a) = seno(A) seno(c)
Ver também
[editar | editar código-fonte]- Triângulo esférico
- Esfera armilar
- Geodésica
- Geometria não euclidiana
- Topologia
- Nikolái Lobachevski
- Ortodromia
Bibliografia
[editar | editar código-fonte]- Apuntes de Trigonometría esférica. Universidad de Cádiz. (em castelhano)
- Astronomía Náutica (tomo primero). Luis Virgile. Imprenta Escuela Naval Militar (Argentina). (em castelhano)
Ligações externas
[editar | editar código-fonte]- (em inglês) Great Circle Calculator
- (em inglês) Matemática del Círculo Máximo
- (em português) "O Livro de Instruções sobre Planos Desviantes e Planos Simples" é um manuscrito em árabe que remonta a 1740 e fala sobre trigonometria esférica, com diagramas.