Armoniche cilindriche
In analisi matematica le armoniche cilindriche, definite per la prima volta da Daniel Bernoulli e successivamente rinominate da Bessel di cui talvolta prendono il nome (in modo erroneo nell'insieme, sono in realtà una loro sottoclasse), sono le soluzioni canoniche delle equazioni di Bessel:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Bessel_Functions.png/400px-Bessel_Functions.png)
per un numero arbitrario (che rappresenta l'ordine della funzione). Poiché contengono la gamma di Eulero, il più comune e importante caso particolare è quello in cui è un numero intero , in cui la situazione si semplifica notevolmente col fattoriale e le armoniche acquisiscono altre proprietà particolari. Si può notare innanzitutto (per la parità della funzione in ) che e hanno la stessa soluzione, per cui si usa definire convenzionalmente due differenti funzioni di Bessel per questi due ordini. Uno dei settori nel quale vengono usate è la teoria dei segnali, in particolare nel settore della modulazione dei segnali per le trasmissioni. Nello specifico le armoniche cilindriche compaiono nello sviluppo in Serie di Fourier di un segnale modulato in frequenza (FM) o di un segnale modulato in fase (PM), quando il segnale di ingresso è una sinusoide.
Funzioni di Bessel
modificaLa soluzione dell'equazione ordinaria può essere cercata nella forma generale di serie di potenze crescente in :
dove per rendere unica la rappresentazione, non è restrittivo esigere che . Le derivate saranno allora:
Sostituendo nell'equazione e raccogliendo i termini con le stesse potenze di , si ottiene:
perché l'eguaglianza si verifichi è necessario che ogni coefficiente delle potenze di sia nullo: si ha quindi il sistema infinito:
Il sistema infinito può essere smembrato in due parti in base al criterio di parità di :
Poiché si era supposto , la prima equazione è determinante in quanto implica che , e quindi dà accesso alla soluzione ricorsiva del sistema pari:
dove compare la funzione gamma di Eulero, mentre quello dispari è a questo punto soddisfatto solo se tutti gli . Quindi le soluzioni particolari valgono:
Solitamente, alle costanti si attribuiscono i valori:
si ottiene quindi che la soluzione generale può essere espressa nella sola funzione di Bessel ordinaria (talvolta detta del primo tipo, per distinguerla da quelle di Neumann ed Hankel), che si definisce come:
Si può facilmente dimostrare che la serie ottenuta è convergente assolutamente e uniformemente in ogni dominio limitato di e sull'intero piano complesso di eccetto che per (dove se ha una singolarità del tipo ). Ciò segue dal criterio di Weierstrass: per e il valore assoluto tra termini successivi è minore di :
se , sarebbe a dire poiché è naturale se , che non dipende da e : perciò la funzione è analitica per tutti i valori di e per diverso da . La soluzione generale diventa:
In generale e sono linearmente indipendenti in , ma se è naturale ciò non è più vero. Infatti , ed i primi termini della serie di svaniscono in quanto divisi per la gamma di argomenti negativi che è notoriamente infinita. Quindi ripartendo dal termine -esimo si ottiene:
Funzioni di Neumann
modificaProprio a causa della ridondanza delle due opposte funzioni di Bessel di ordine naturale si rende necessario introdurre una seconda funzione a sostituire una delle due. Vengono allora introdotte le funzioni di Neumann (talvolta dette impropriamente sul piano storico di Bessel del secondo tipo) che in quanto combinazione lineare delle due funzioni opposte di Bessel, precisamente:
costituiscono un'alternativa ad una delle due, convenzionalmente alla seconda. Una combinazione lineare della funzione di Bessel e della corrispondente di Neumann formano quindi una soluzione generale per qualunque , sia per le equazioni ordinarie che per le modificate.
Infatti per la regola di de l'Hôpital il limite per α tendente ad un intero vale:
che sviluppando in serie la funzione di Bessel corrispondente diventa:
dove è la Costante di Eulero-Mascheroni.
Funzioni di Hankel
modificaUn'ulteriore riformulazione di due soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione di Bessel sono le funzioni di Hankel in due classi (conosciute anche come Funzioni di Bessel di terzo tipo) e , definite da:
La loro importanza è più di carattere teorico che di utilità pratica: soddisfano numerose proprietà, sia nelle forme asintotiche sia nelle rappresentazioni integrali, nel senso che appare un fattore , per via della formula di Eulero. Sono perciò usate per esprimere soluzioni propagantisi rispettivamente verso l'esterno e verso l'interno (o viceversa, a seconda della convenzione dei segni per la frequenza).
Possono infatti essere riscritte secondo la definizione delle funzioni di Neumann:
se è intero, si deve passare al limite. Le seguenti sono invece valide, indipendentemente che sia o non sia intero:[1]
Ammettono le seguenti rappresentazioni integrali per :[2]
dove il limite di integrazione indica l'integrazione lungo una frontiera che può essere scelta col seguente criterio: da a lungo l'asse reale negativo, da a lungo l'asse immaginario, e da a lungo una frontiera parallela all'asse reale.[3]
Armoniche modificate
modificaSono due soluzioni linearmente indipendenti delle Equazioni di Bessel modificate: sono valide per complessi, ma per immaginari acquisiscono proprietà notevoli come quelle ordinarie fanno per argomenti naturali. Le funzioni di Bessel modificate sono:
mentre le funzioni di Neumann modificate sono:
Diversamente dalle funzioni ordinarie che sono oscillanti, le e divergono esponenzialmente e decadono esponenzialmente. Così come le funzioni di Bessel ordinarie , quelle modificate vanno a zero in per e sono finite in per . Analogamente, divergono in .
Forme asintotiche
modificaPoiché le armoniche sono definite tramite serie divergenti, risulta utile andarne a studiare l'andamento asintotico. Per piccoli argomenti , si ottiene:
dove denota la funzione gamma di Eulero.
Per grandi argomenti, , le armoniche ordinarie diventano:
Per le armoniche modificate diventano:
Relazione con i polinomi di Laguerre
modificaIn termini di polinomi di Laguerre generalizzati e paramentro arbitrario , le funzioni di Bessel possono essere espresse come:[4]
Equazione ipergeometrica confluente
modificaLa funzione di Bessel si può facilmente ricavare dalla forma di Whittaker dell'equazione ipergeometrica confluente nel caso particolare in cui sia posto pari a . Avremmo così e la forma di Whittaker sarà:
facendo quindi la sostituzione: si ottiene l'equazione di Bessel; le sue soluzioni sono per costruzione legate alle soluzioni dell'equazione ipergeometrica confluente dalla relazione:
con generica soluzione della ipergeometrica confluente in cui si ha
Si noti che nel caso particolare in cui sia l'equazione di Bessel è di soluzione immediata e dà:
da questo si può subito intuire che almeno certe soluzioni dell'equazione di Bessel avranno andamento oscillante.
Note
modifica- ^ Abramowitz and Stegun, p. 358, 9.1.6.
- ^ Abramowitz and Stegun, p. 360, 9.1.25.
- ^ (EN) G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, 25 agosto 1995, ISBN 978-0-521-48391-9. URL consultato il 10 febbraio 2022.
- ^ Szegö, G. Orthogonal Polynomials, 4th ed. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1975.
Bibliografia
modifica- John D Jackson, Elettrodinamica classica, A. Barbieri (traduttore), 3ª edizione, Zanichelli, 2001, pp. 109-113, ISBN 978-88-08-09153-6.
- Milton Abramowitz e Irene Stegun Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1964) (capitoli 9, 10,11)
- Isaac Todhunter An elementary treatise on Laplace's functions, Lamé's functions and Bessel's functions (Macmillan and co., New York, 1875)
- William Ellwood ByerlyAn elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics. (Ginn & Co., Boston, 1893) (capitolo 7)
- Andrew Gray e George Ballard Matthews A treatise on Bessel functions and their applications to physics ( Macmillan and co.,New York, 1895)
- George Neville Watson A treatise on the theory of Bessel Functions (Cambridge University Press, 1922)
Voci correlate
modificaAltri progetti
modifica- Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla funzione di Bessel
Collegamenti esterni
modifica- (EN) Bessel function / Bessel’s equation, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Armoniche cilindriche, su MathWorld, Wolfram Research.
- Funzioni di tipo Bessel (functions.wolfram.com)
Controllo di autorità | Thesaurus BNCF 33534 · LCCN (EN) sh85013431 · BNF (FR) cb119819398 (data) · J9U (EN, HE) 987007284768905171 · NDL (EN, JA) 00560629 |
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