Poliedro duale
In geometria, il poliedro duale di un poliedro è un altro poliedro , tale che ad ogni vertice di corrisponde una ed una sola faccia di . In altre parole, lo si ottiene scambiando i ruoli dei vertici e delle facce di . Il duale di è di nuovo .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Duality_of_tetrahedron.png/180px-Duality_of_tetrahedron.png)
Se e hanno la stessa struttura combinatoria, è detto autoduale. Fra i 5 solidi platonici, il tetraedro è autoduale, mentre cubo e ottaedro sono uno duale dell'altro; anche icosaedro e dodecaedro sono uno duale dell'altro.
Il duale di un solido archimedeo è un solido di Catalan.
Definizioni
modificaNon esiste una definizione univoca di poliedro duale che funzioni per tutti i poliedri. Vi sono due nozioni, una combinatoria e l'altra metrica, che sono generalmente coincidenti nei poliedri più regolari.
Dualità combinatoria
modificaDal punto di vista combinatorio, due poliedri e sono duali se esiste una corrispondenza biunivoca fra gli insiemi di vertici, spigoli e facce di e che inverte le adiacenze. Più precisamente:
- associa rispettivamente ad un vertice, spigolo o faccia di una faccia, spigolo o vertice di ;
- Una faccia di incide su uno spigolo se e solo se lo spigolo incide sul vertice ; viceversa, uno spigolo incide su un vertice di se e solo se la faccia incide su .
Questa dualità è detta dualità combinatoria. La dualità combinatoria non tiene conto delle grandezze metriche dei poliedri, e cioè dei loro volumi, delle lunghezze dei loro spigoli, o degli angoli formati da questi.
Se è un poliedro convesso, un duale combinatorio è ottenuto scegliendo un vertice all'interno di ogni faccia e prendendo l'inviluppo convesso di questi punti. Dal punto di vista metrico il duale dipende dalla scelta dei punti, ma non dal punto di vista combinatorio.
Dualità metrica
modificaDal punto di vista metrico, due poliedri e sono duali se sono ottenuti l'uno dall'altro tramite inversione lungo una sfera . In questo caso si parla di dualità metrica.
Molti solidi, come i solidi regolari o i solidi archimedei, hanno un "centro" . In questo caso, il duale del solido è generalmente considerato il duale metrico secondo una qualsiasi sfera centrata in . Sfere con raggi diversi danno luogo a poliedri simili: il poliedro duale è quindi ben definito metricamente solo a meno di similitudine.
Poliedri duali
modificaSolidi platonici
modificasolido | duale | ||
---|---|---|---|
tetraedro | tetraedro | ||
cubo | ottaedro | ||
icosaedro | dodecaedro |
Solidi archimedei
modificaAlcuni poliedri non convessi
modificasolido | duale | ||
---|---|---|---|
piccolo dodecaedro stellato | grande dodecaedro | ||
grande dodecaedro stellato | grande icosaedro |
Dualità fra sfere geodetiche
modificasfera geodetica come triangolazione | sfera geodetica simile ad un'arnia |
Dualità dei solidi platonici
modificaIl duale del cubo è l'ottaedro | Il duale dell'ottaedro è il cubo |
Il duale del dodecaedro è l'icosaedro | Il duale dell'icosaedro è il dodecaedro |
Collegamenti esterni
modifica- (FR) Animazione Java, su icosaweb.ac-reunion.fr. URL consultato il 29 marzo 2007 (archiviato dall'url originale il 2 maggio 2005).