Cuspide (poliedro)
In geometria, la cuspide di un poliedro indica la struttura locale del poliedro vicino ad un vertice. Più in generale, è possibile definire una nozione di cuspide per un vertice di un qualsiasi politopo a dimensione arbitraria (e quindi anche per un poligono). In italiano è spesso usata anche la versione inglese star.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fc/Tetrahedron.svg/220px-Tetrahedron.svg.png)
Valenze
modificaDefinizione
modificaLa valenza di un vertice di un poliedro è il numero di spigoli (o facce) adiacenti.
In un politopo di dimensione arbitraria, ogni vertice ha valenze : qui indica il numero di facce -dimensionali adiacenti al vertice.
Proprietà
modificaPoiché vi è un unico politopo adiacente al vertice, l'ultimo valore è sempre .
In un poligono, le valenze sono sempre . In un poliedro, sono , dove è la valenza definita inizialmente.
A proposito di , affinché la dimensione sia , ci devono essere almeno spigoli adiacenti a ciascun vertice, e quindi .
Base della cuspide
modificaLa struttura locale del poliedro vicino ad un vertice è codificata dall'intersezione del poliedro con una piccola sfera centrata nel vertice. Spigoli e facce del poliedro intersecano questa sfera in un poligono con spigoli curvi, con numero di vertici (o spigoli) pari alla valenza.
Tale intersezione, definita per i vertici di un politopo di dimensione arbitraria, è la base della cuspide, detta anche link.
Analogamente si può definire una base "dritta" prendendo su ogni spigolo un punto che disti dal vertice una lunghezza fissata piccola; collegando questi punti tramite segmenti si ottiene un poligono vero e proprio. Se questo è regolare il vertice è un vertice regolare.
Esempi
modificaPoligoni
modificaOgni vertice di un poligono è adiacente a due spigoli, ed al poligono stesso. Quindi e .
Nel quadrato, la base della cuspide di ciascuno dei quattro vertici è un arco nella circonferenza di ampiezza uguale a radianti (pari a 90°).
Poliedri
modificaI solidi regolari hanno le stesse cuspidi ad ogni vertice (eventualmente ruotate nello spazio).
Nel cubo, vale .
Politopi
modificaNell'ipercubo, vale . La base della cuspide di ciascuno dei sedici vertici è un tetraedro sferico regolare.
In generale, in un cubo di dimensione , il valore non dipende dal vertice ed è dato dal coefficiente binomiale
Altri progetti
modifica- Wikizionario contiene il lemma di dizionario «cuspide»