Teorema bilangan prima
Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Prime number theorem di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel) |
Dalam teori bilangan, teorema bilangan prima (TBP) menjelaskan asimtotik, distibusi dari bilangan prima di antara bilangan bulat positif. Teorema ini dibuktikan secara independen oleh Jacques Hadamard dan Charles Jean de la Vallée Poussin pada tahun 1896 menggunakan ide-ide yang diperkenalkan oleh Bernhard Riemann (khususnya, fungsi zeta Riemann).
Distribusi pertama yang ditemukan adalah , dimana adalah fungsi penghitungan bilangan prima dan adalah logaritma alami . Ini berarti, untuk yang cukup besar, kemungkinan bahwa sebuah bilangan bulat acak tidak lebih besar dari adalah bilangan prima yang sangat dekat ke . Karena itu, sebuah bilangan bulat acak dengan paling banyak digit (untuk yang cukup besar) kemungkinannya sekitar setengahnya menjadi bilangan prima sebagai bilangan bulat acak dengan paling banyak digit.
Sebagai contoh, antara bilangan bulat positif paling banyak 1000 digit, sekitar satu dari 2300 adalah bilangan prima (), sedangkan di antara bilangan bulat paling banyak 2000 digit, sekitar satu dari 4600 adalah bilangan prima (). Dengan kata lain, jarak rata-rata antara bilangan prima berurutan sekitar bilangan bulat pertama kira-kira .[1]
Pernyataan
[sunting | sunting sumber]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Prime_number_theorem_ratio_convergence.svg/220px-Prime_number_theorem_ratio_convergence.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6e/Prime_number_theorem_absolute_error.svg/220px-Prime_number_theorem_absolute_error.svg.png)
Misalkan adalah fungsi penghitung bilangan prima yang memberikan bilangan prima kurang dari sama dengan , untuk setiap bilangan real . Misalnya, karena terdapat empat bilangan prima (2, 3, 5, dan 7) kurang dari sama dengan 10. Teorema bilangan prima kemudian menyatakan bahwa adalah sebuah aprokismasi yang baik untuk , dalam arti bahwa limit dari hasil bagi dari dua fungsi dan saat meningkat tanpa batas adalah 1ː
- ,
Ini dikenal sebagai hukum asimtotik distribusi bilangan prima. Dengan menggunakan notasi asimtotik, hasil ini dapat dikemukakan kembali sebagai
- .
Notasi ini (dan teoremanya) tidak mengatakan apapun tentang limit dan selisih dari dua fungsi saat meningkat tanpa batas. Sebagai gantinya, teoremanya mengatakan bahwa mendekati dalam arti bahwa galat relatif dari aprokismasi ini mendekati 0
Teorema bilangan prima setara dengan pernyataan bahwa bilangan prima ke- memenuhiː
- ,
pengertian dari notasi asimtotik, lagi, bahwa galat relatif dari aproksimasi ini mendekati 0 saat meningkat tanpa batas. Sebagai contoh, bilangan prima ke adalah ,Kesalahan pengutipan: Tag <ref>
tidak sah atau memiliki nama yang salah. dan membulatkan ke , sebuah galat relatif sekitar .
Seperti yang diuraikan di bawah, teorema bilangan prima juga setara dengan
- ,
dimana dan adalah fungsi Chebyshev pertama dan kedua.
Sketsa bukti
[sunting | sunting sumber]ini adalah sebuah sketsa dari bukti yang disebut di salah satu kuliah Terence Tao.[2] Ide tersebut adalah untuk menghitung bilangan prima (atau sebuah himpunan yang terkait seperti himpunan dari pangkat-pangkat bilangan prima) dengan bobot untuk sampai pada sebuah fungsi dengan perilaku asimtotik yang lebih mulus. Yang paling umum seperti fungsi penghitungan rampat adalah fungsi Chebyshev.
Kadang-kadang, ini ditulis sebagai
- ,
dimana adalah fungsi von Mangoldt, yaitu
Sekarang relatif mudah untuk memeriksa bahwa TBP setara dengan tujuannya bahwa
- .
Memang, ini mengikuti dari perkiraan yang mudah
dan (menggunakan notasi O besar) untuk setiap ,
- .
Langkah selanjutnya adalah mencari sebuah representasi yang berguna untuk . Misalkan menjadi sebuah fungsi zeta Riemann. Ini bisa menunjukkan bahwa berakitan dengan fungsi von Mangoldt ,
- .
Sebuah analisis yang rumit dari persamaan ini dan sifat-sifat yang terkati dengan fungsi zeta, menggunakan transformasi Mellin dan rumus Perron, menunjukkkan bahwa untuk bukan bilangan bulat persamaan
berlaku, dimana jumlah di atas semuanya nol (trivial dan nontrivial) dari fungsi zeta. Rumus yang mencolok ini adalah salah satu yang disebut rumus eksplisit teori bilangan, dan sudah menunjukkan dari hasil yang kita buktikan, sejak suku (diklaim menjadi perbaikan urutan asimtotik ) muncul pada sebelah kanan, diikuti oleh (agaknya) suku asimtotik urutan lebih rendah.
Langkah selanjutnya dalam bukti melibatkan sebuah studi dari nol dari fungsi zeta. Nol trivial bisa ditangani secara terpisahː
- ,
yang hilang untuk sebuah besar. Untuk nol nontrivial, yaitu yang ada di garis kritis , berpotensi menjadi sebuah urutan asimtotik sebanding ke suku utama jika , jadi kita perlu menunjukkan bahwa semua nol memiliki bagian real sangat kurang dari .
Untuk melakukan ini, kita menerima begitu saja bahwa adalah meromorfik dalam setengah bidang , dan analitik di sana kecuali untuk sebuah kutub sederhana pada , dan itu terdapat sebuah rumus produk
untuk . Rumus produk ini mengikuti dari adanya faktorisasi bilangan prima tunggal dari bilangan bulat, dan menunjukkan bahwa tidak pernah nol di daerah ini, jadi logaritmanya didefinisikan di sana dan
- .
Tulis , lalu
.
Sekarang mengamati identitas
- ,
sehingga
untuk semua . Misalkan bahwa . Tentu saja bukan nol, karena memiliki sebuah kutub sederhana pada . Misalkan bahwa dan misalkan cenderung ke dari atas. Karena adalah sebuah kutub sederhana pada dan tetap analitik, sisi kiri di pertidaksamaan sebelumnya cenderung ke , sebuah kontradiksi.
Terakhir, kita bisa menyimpulkan bahwa TBP secara heuristik benar. Untuk menyelesaikan bukti dengan teliti, masih ada teknik-teknik yang serius untuk diatasi, karena faktanya bahwa penjumlahan pada nol zeta dalam rumus eksplisit untuk tidak konvergen sepenuhnya tetapi hanya bersyarat dan dalam sebuah arti "nilai utama". Terdapat beberapa cara di sekitar masalah ini tapi banyak dari mereka membutuhkan perkiraan analisis kompleks yang agak rumit. Buku Edward[3] menyediakan detailnya. Metode lainnya adalah menggunakan teorema Tauberian Ikehara, meskipun teorema ini sendiri cukup sulit untuk membuktikan. D. J. Newman mengamati bahwa kekuatan penuh dari teorema Ikehara tidak dibutuhkan untuk teorema bilangan prima, dan salah satunya bisa lolos dengan sebuah kasus spesial yang jauh lebih mudah untuk membuktikan.
Bukti Newman tentang TBP
[sunting | sunting sumber]Fungsi Chebyshev pertama dan kedua masing-masing
Deret kedua diperoleh dengan menjatuhkan suku-suku dengan dari yang pertama. TBP setara dengan atau .
Jumlah untuk adalah dan jumlah parsial dari koefisien dari deret Dirichlet
,
dimana adalah fungsi zeta Riemann. Seperti jumlah parisal, deret kedua diperoleh dengan menjatuhkan suku-suku dengan dari yang pertama. Deret Dirichlet dibentuk oleh suku-suku dengan didominasi oleh deret Dirichlet untuk untuk setiap positif , jadi turunan logaritmik dan berbeda dengan sebuah holomorfik fungsi dalam , dan oleh karena itu memiliki singularitas yang sama pada garis .
Mengintegrasi dengan bagian diberikan untuk ,
- .
Semua bukti-bukti analitik dari TBP menggunakan fakta bahwa tidak memiliki nol pada garis . Satu informasi lebih lanjut dalam pembuktian Newman adalah dibatasi, Ini bisa dengan mudah membuktikan metode-metode dasar.
Metode Newman membuktikan TBP dengan menunjukkan integral
konvergen, dan karena itu integrand tersebut menuju nol karena . Secara umum, konvergensi dari integral takwajar tidak menyiratkan bahwa integrand menuju nol, karena itu mungkin berosilasi, tetapi karena meningkat, itu mudah untuk ditampilkan dalam kasus ini.
Untuk , misalkan
maka
yang holomorfik pada garis . Konvergensi dari integral dibuktikan dengan menunjukkan bahwa . Ini melibatkan perubahan urutan limit karena itu dapat ditulis sebagai
dan karena itu digolongkan sebagai teorema Tauberian.
Selisih diekspresikan dengan menggunakan rumus integral Cauchy dan kemudian taksirannya diterapkan ke integral. Tetapkan dan , seperti holomorfik dalam daerah dimana dan dan misalkan menjadi batasnya. Karena ada di bagian dalam, rumus integral Cauchy memberikan
.
Untuk mendapatkan sebuah taksiran kasar pada integrand, misalkan menjadi sebuah batas atas untuk , maka untuk
Batas ini tidak cukup baik untuk membuktikan hasil tersebut, namun Newman memperkenalkan faktor
menjadi integrand untuk . Karena faktor Newman adalah menyeluruh dan , ruas kiri tetap tidak berubah. Sekarang taksiran di atas untuk dan taksiran pada menggabungkan untuk diberikan
- .
dimana adalah setengah lingkaran
Misalkan menjadi kontur . Fungsi adalah menyeluruh, jadi dengan menggunakan teorema integral Cauchy, kontur dapat dimodifikasi ke sebuah setengah lingkaran dari jari-jari dalam kiri setengah bidang tanpa mengubah integral , dan argumen yang sama memberikan nilai mutlak dari integral ini sebagai . Akhirnya, dengan memisalkan , integral pada kontur menuju nolkarena menuju nol pada kontur. Menggabungkan tiga taksiran, mendapatkan
- .
Ini berlaku untuk setiap sehingga , dan TBP berikut.
Aproksimasi untuk bilangan prima ke-n
[sunting | sunting sumber]Sebagai akibat dari teorema bilangan prima, salah satunya mendapatkan sebuah ekspresi asimtotik untuk bilangan prima ke-, yang dilambangkan sebagai . Ekspresiny yaitu:
- .
Sebuah aproksimasi yang lebih baik adalahKesalahan pengutipan: Tag <ref>
tidak sah atau memiliki nama yang salah.
- .
Teorema Rosser menyatakan bahwa
- .
Ini dapat diperbaiki dengan mengikuti sepasang batas berikut.
Tabel , , dan
[sunting | sunting sumber]Tabel tersebut membandingkan nilai eksak dengan aproksimasi dan . Di kolom terakhir, , adalah rata-rata celah bilangan prima di bawah .
10 | 4 | −0.3 | 0.921 | 2.2 | 2.5 |
102 | 25 | 3.3 | 1.151 | 5.1 | 4 |
103 | 168 | 23 | 1.161 | 10 | 5.952 |
104 | 1229 | 143 | 1.132 | 17 | 8.137 |
105 | 9592 | 906 | 1.104 | 38 | 10.425 |
106 | 78498 | 6116 | 1.084 | 130 | 12.740 |
107 | 664579 | 44158 | 1.071 | 339 | 15.047 |
108 | 5761455 | 332774 | 1.061 | 754 | 17.357 |
109 | 50847534 | 2592592 | 1.054 | 1701 | 19.667 |
1010 | 455052511 | 20758029 | 1.048 | 3104 | 21.975 |
1011 | 4118054813 | 169923159 | 1.043 | 11588 | 24.283 |
1012 | 37607912018 | 1416705193 | 1.039 | 38263 | 26.590 |
1013 | 346065536839 | 11992858452 | 1.034 | 108971 | 28.896 |
1014 | 3204941750802 | 102838308636 | 1.033 | 314890 | 31.202 |
1015 | 29844570422669 | 891604962452 | 1.031 | 1052619 | 33.507 |
1016 | 279238341033925 | 7804289844393 | 1.029 | 3214632 | 35.812 |
1017 | 2623557157654233 | 68883734693281 | 1.027 | 7956589 | 38.116 |
1018 | 24739954287740860 | 612483070893536 | 1.025 | 21949555 | 40.420 |
1019 | 234057667276344607 | 5481624169369960 | 1.024 | 99877775 | 42.725 |
1020 | 2220819602560918840 | 49347193044659701 | 1.023 | 222744644 | 45.028 |
1021 | 21127269486018731928 | 446579871578168707 | 1.022 | 597394254 | 47.332 |
1022 | 201467286689315906290 | 4060704006019620994 | 1.021 | 1932355208 | 49.636 |
1023 | 1925320391606803968923 | 37083513766578631309 | 1.020 | 7250186216 | 51.939 |
1024 | 18435599767349200867866 | 339996354713708049069 | 1.019 | 17146907278 | 54.243 |
1025 | 176846309399143769411680 | 3128516637843038351228 | 1.018 | 55160980939 | 56.546 |
OEIS | A006880 | A057835 | A057752 |
Nilai untuk dihitung dengan asumsi hipotesis Riemann;[4] maka hal itu telah diverifikasi tanpa syarat.[5]
Analog dari polinomial yang taktereduksi lagi pada sebuah medan berhingga
[sunting | sunting sumber]Ada sebuah analog dari teorema bilangan prima yang menggambarkan bahwa polinomial taktereduksi "distribusi" pada sebuah medan berhingga terbatas, bentuknya sangat mirip dengan kasus teorema bilangan prima klasik. yang
Untuk menyatakannya dengan tepat, misalkan menjadi medan berhingga dengan anggota , dan misalkan menjadi bilangan polinomial taktereduksi monik pada yang derajatnya sama dengan . Artinya, kita sedang melihat pada polinomial yang koefisiennya terpilih dari , yang tidak bisa ditulis sebagai produk polinomial derajat lebih kecil. Dalam pengaturan ini, polinomial ini memainkan peran dari bilangan prima, karena semua polinomial monik lainnya dibangun dari produk mereka. Salah satunya kemudian membuktikan bahwa
- .
Jika kita membuat substitusi , maka di ruas kanan hanya
- ,
yang membuat analognya lebih jelas. Karena tepatnya ada polinomial monik derajat (termasuk yang dapat direduksi), ini dapat diungkapkan ulang sebagai berikut: jika sebuah polinomial monik derajat dipilih secara acak, maka kemungkinan tersebut tidaktereduksi sekitar .
Salah satunya bisa membuktikan sebuah analog dari hipotesis Riemann, yaitu
- .
Bukti dari pernyataan-pernyataan ini jauh lebih sederhana daripada dalam kasus klasik. Ini melibatkan argumen kombinatorika singkat,Kesalahan pengutipan: Tag <ref>
tidak sah atau memiliki nama yang salah. diringkas sebagai berikut: setiap anggota dari derajat ekstensi adalah sebuah akar dari beberapa polinomial taktereduksi yang derajat membagi , dengan menghitung akar-akar ini dalam dua cara yang berbeda salah satunya menetapkan bahwa
- ,
dimana jumlah pada semua pembagi pada . Invers Möbius kemudian menghasilkan
dimana adalah fungsi Möbius. (Rumus ini diketahui Gauss) Suku utama terjadi untuk , dan ini tidak sulit untuk membatasi suku-suku yang tersisa. Pernyataan "hipotesis Riemann" tergantung pada fakta bahwa pembagi terbesar pada tidak boleh lebih besar dari .
Lihat pula
[sunting | sunting sumber]Referensi
[sunting | sunting sumber]- ^ Hoffman, Paul (1998). The Man Who Loved Only Numbers
. New York: Hyperion Books. hlm. 227. ISBN 978-0-7868-8406-3. MR 1666054.
- ^ Tao, Terence. "254A, Notes 2: Complex-analytic multiplicative number theory". Terence Tao's blog.
- ^ Edwards, Harold M. (2001). Riemann's zeta function. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-41740-0.
- ^ "Conditional Calculation of π(1024)". Chris K. Caldwell. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2014-09-25. Diakses tanggal 2010-08-03.
- ^ Platt, David (2015). "Computing π(x) analytically". Mathematics of Computation. 84 (293): 1521–1535. arXiv:1203.5712
. doi:10.1090/S0025-5718-2014-02884-6. MR 3315519.
Pranala eksternal
[sunting | sunting sumber]- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Distribution of prime numbers", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- Tabel Primes oleh Anton Felkel.
- Video pendek yang memvisualisasikan Teorema Bilangan Perdana.
- Rumus prima dan teorema bilangan prima di MathWorld.
- Prime number theorem, PlanetMath.org.
- Ada Berapa Banyak Primes? dan The Gaps between Primes oleh Chris Caldwell, University of Tennessee di Martin.
- Tabel fungsi penghitungan utama oleh Tomás Oliveira e Silva