Sistem persamaan linear

Sistem persamaan linear dengan tiga variabel, titik temunya adalah solusinya.

Sistem persamaan linear adalah sekumpulan persamaan linear yang terdiri dari beberapa variabel. Contohnya adalah:

${\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}$

Sistem ini terdiri dari tiga persamaan dengan tiga variabel x, y, z. Solusi sistem linear ini adalah nilai yang dapat menyelesaikan persamaan ini. Solusinya adalah:

${\begin{alignedat}{2}x&\,=\,&1\\y&\,=\,&-2\\z&\,=\,&-2\end{alignedat}}$

Kata "sistem" di sini penting karena menunjukkan bahwa persamaan-persamaannya perlu dipertimbangkan bersamaan dan tidak berdiri sendiri.

Dalam ilmu matematika, teori sistem linear merupakan dasar aljabar linear. Aljabar linear sangat diperlukan dalam bidang fisika, kimia, ilmu komputer, dan ekonomi.

Contoh sederhana

Contoh sistem linear yang paling sederhana adalah sistem linear dengan dua persamaan dan dua variabel:

${\begin{alignedat}{5}2x&&\;+\;&&3y&&\;=\;&&6&\\4x&&\;+\;&&9y&&\;=\;&&15&.\end{alignedat}}$

Salah satu cara untuk menyelesaikan sistem tersebut adalah dengan mengubah persamaan pertama menjadi seperti ini:

$x=3-{\frac {3}{2}}y.$

Kemudian masukkan nilai x ke dalam persamaan kedua:

$4\left(3-{\frac {3}{2}}y\right)+9y=15.$

Hasilnya adalah satu persamaan dengan satu variabel saja, yaitu $y$. Dari persamaan ini diketahui bahwa $y=1$, dan y bisa dimasukkan ke dalam persamaan pertama untuk mencari $x$. Hasilnya adalah $x=3/2$.

Bentuk umum

Sistem persamaan linear m dengan n yang tidak diketahui dapat ditulis seperti ini

${\begin{aligned}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\vdots &\\a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m},\end{aligned}}$

$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ adalah variabel yang tidak diketahui, $a_{11},a_{12},\ldots ,a_{mn}$ adalah koefisiennya dan $b_{1},b_{2},\ldots ,b_{m}$ adalah konstantanya.

Persamaan vektor

$x_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+x_{2}{\begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{bmatrix}}+\cdots +x_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}$

Persamaan matriks

$A\mathbf {x} =\mathbf {b}$

A di sini adalah matriks m×n, x adalah vektor kolom dengan entri n dan b vektor kolom dengan entri m.

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}$

Cara menyelesaikan

Eliminasi variabel

Contohnya, dalam sistem berikut:

${\begin{alignedat}{7}x&&\;+\;&&3y&&\;-\;&&2z&&\;=\;&&5&\\3x&&\;+\;&&5y&&\;+\;&&6z&&\;=\;&&7&\\2x&&\;+\;&&4y&&\;+\;&&3z&&\;=\;&&8&\end{alignedat}}$

Berdasarkan persamaan pertama, x = 5 + 2z − 3y, dan nilai ini bisa dimasukkan ke dalam persamaan kedua dan ketiga:

${\begin{alignedat}{5}-4y&&\;+\;&&12z&&\;=\;&&-8&\\-2y&&\;+\;&&7z&&\;=\;&&-2&\end{alignedat}}$

Dari persamaan pertama dapat diketahui bahwa y = 2 + 3z, dan jika y dimasukkan ke dalam persamaan kedua, dapat diketahui bahwa z = 2. Dari sini z dapat dimasukkan ke persamaan yang lain dan hasilnya adalah y = 8 dan x = −15. Maka dari itu, (x, y, z) = (−15, 8, 2).

Pengurangan baris

Artikel utama: Eliminasi Gauss

Metode pengurangan baris atau eliminasi Gauss menyelesaikan sistem persamaan linear dengan mewakilkan persamaan-persamaan yang ada dalam bentuk matriks:

$\left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\3&5&6&7\\2&4&3&8\end{array}}\right]{\text{.}}$

Matriks ini lalu diubah dengan menukar posisi baris, menambahkan atau mengurangi satu baris dengan baris yang lain, atau mengalikan satu baris dengan skalar. Berikut adalah contohnya:

${\begin{aligned}\left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\3&5&6&7\\2&4&3&8\end{array}}\right]&\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\0&-4&12&-8\\2&4&3&8\end{array}}\right]\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\0&-4&12&-8\\0&-2&7&-2\end{array}}\right]\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\0&1&-3&2\\0&-2&7&-2\end{array}}\right]\\&\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\0&1&-3&2\\0&0&1&2\end{array}}\right]\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\0&1&0&8\\0&0&1&2\end{array}}\right]\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&0&9\\0&1&0&8\\0&0&1&2\end{array}}\right]\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&0&0&-15\\0&1&0&8\\0&0&1&2\end{array}}\right].\end{aligned}}$

Dari sini dapat disimpulkan bahwa x = −15, y = 8, dan z = 2.

Aturan Cramer

Artikel utama: Aturan Cramer

Aturan Cramer adalah rumus untuk mencari penyelesaian sistem persamaan linear dengan memakai determinan suatu matriks dan matriks lain yang disusun dengan mengganti salah satu kolom dengan vektor yang terdiri dari angka di sebelah kanan persamaannya. Sebagai contoh:

${\begin{alignedat}{7}x&\;+&\;3y&\;-&\;2z&\;=&\;5\\3x&\;+&\;5y&\;+&\;6z&\;=&\;7\\2x&\;+&\;4y&\;+&\;3z&\;=&\;8\end{alignedat}}$

Cara menyelesaikannya adalah

$x={\frac {\,\left|{\begin{matrix}5&3&-2\\7&5&6\\8&4&3\end{matrix}}\right|\,}{\,\left|{\begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix}}\right|\,}},\;\;\;\;y={\frac {\,\left|{\begin{matrix}1&5&-2\\3&7&6\\2&8&3\end{matrix}}\right|\,}{\,\left|{\begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix}}\right|\,}},\;\;\;\;z={\frac {\,\left|{\begin{matrix}1&3&5\\3&5&7\\2&4&8\end{matrix}}\right|\,}{\,\left|{\begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix}}\right|\,}}.$

Referensi

• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (edisi ke-2nd), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0 
• Kristanto, Yosep Dwi (2016), Matematika Langkah Demi Langkah untuk SMA/MA Kelas X, Grasindo, ISBN 9786023756506 
• Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (edisi ke-3rd), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7 
• Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, diarsipkan dari versi asli tanggal 2009-10-31, diakses tanggal 2017-11-28 
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (edisi ke-2nd), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3 
• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (edisi ke-9th), Wiley International 
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (edisi ke-7th), Pearson Prentice Hall 
• Strang, Gilbert (2005), Linear Algebra and Its Applications 

Bacaan lebih lanjut

• Siswono, Tatag Yuli Eko (2007). Matematika 2 SMP dan MTs Untuk Kelas VIII. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-666-8.  (Indonesia)
• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 1A Untuk Kelas X Semester 1. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-500-9.  (Indonesia)