Երկնիշային համակարգ

Երկնիշային համակարգ՝ թիւերը գրառելու համակարգ է, որ հիմնուած է երկու հատ նիշերու՝ զէրոյի (0) եւ մեկի (1) վրայ: Լայնօրէն տարածուած կիրառութիւն ունի հաշուողական համակարգերու, մասնաւորաբար՝ ժամանակէն համակարգիչներու մէջ:

Անունը եւ Գրառումը

Երկնիշային համակարգով գրառուած թիւերը կը կոչուին երկնիշային, ի տարբերութիւն երկնիշ թիւերու, որոնք տասնային համակարգով գրառելիս երկու նիշերէ բաղկացած են: Մեզի համար սովորական տասնային համակարգով գրառուած թիւերէն տարբերակելու համար երկնիշային թիւերը կը գրուեն 2 ցուցիչով, կամ՝ 0b նախդիրով, զորօրինակ՝ 22₁₀=10110₂=0b10110: Երկնիշային թիւերը կ'ընթերցուեն նիշերու անուններով, վերը նշուած 10110₂-ը կը կարդացուի «մէկ, զէրօ, մէկ, մէկ, զէրօ»:

Պատմութիւն

Երկնիշային համակարգը նկարագրած է Կոթֆրիտ Լայպնիցը 1703-ին հրատարակուած իր Երկնիշային Թուաբանութեան Բացատրութիւն (ֆրանսերէն՝ Explication de l'Arithmétique Binaire} աշխատութեան մէջ: Լայպնիցը նշած է, որ իր աշխատութեան վրայ ազդեցութիւն ունեցած են հին չին առաջնորդ Ֆու Շիին հայեացքները: Լայպնիցի համակարգի մէջ 0-ի եւ 1-ի օգտագործման օրինակ մը բերուած է ստորեւ՝

0 0 0 1   թուային արժէքը՝ 2⁰

0 0 1 0   թուային արժէքը՝ 2¹

0 1 0 0   թուային արժէքը՝ 2²

1 0 0 0   թուային արժէքը՝ 2³

Երկնիշային Թիւի Մեծութիւնը

Երկնիշային համակարգով աշխատող ժամացոյցին մէջ կը կիրառուին երկնիշային մակարդակի լուսատիոտներ, որոնց իւրաքանչիւր սիւնակը ցոյց կուտայ որոշակի թուանշան։

Երկնիշային $(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}$ թիւի մեծութիւնն է՝

$(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}2^{k},$

ուր՝

• $n$-ը թիւի թուանշաններու քանակն է,
• $a_{k}$-ը {0,1} բազմութեան թուանշաններն են,
• $k$-ը թուանշանի կարգային համարն է։

Երկնիշային Թիւէն Տասնայինի Ստացումը

Քանի որ երկնիշային թիւը հենուած է երկու հիմքերու վրայ, ապա, անոր համապատասխանող տասնային թիւը կ'որոշուի 2 թիւի աճող աստիճաններու գումարի տեսքով, ներառեալ՝ 2⁰=1-ը։ Զորօրինակ՝ 100101₂-ը տասնայինի կը վերափոխուի հետեւեալ կերպ՝

100101₂ = [ ( 1 ) × 2⁵ ] + [ ( 0 ) × 2⁴ ] + [ ( 0 ) × 2³ ] + [ ( 1 ) × 2² ] + [ ( 0 ) × 2¹ ] + [ ( 1 ) × 2⁰ ]

100101₂ = [ 1 × 32 ] + [ 0 × 16 ] + [ 0 × 8 ] + [ 1 × 4 ] + [ 0 × 2 ] + [ 1 × 1 ]

100101₂ = 37₁₀

Առաւել մեծ կարգի թիւերու համար լրացուցիչ նշաններն ուղղակի կ'աւելցուին երկնիշային թիւի ձախ կողմէն, եօթանիշ երկնիշային թիւի համար՝ 2⁶, ութանիշի համար՝ 2⁷ եւ ատանկ շարունակ։

Թուաբանական գործողութիւններ

Գումարում

Գումարման գործողութիւնը կը կատարուի տասնային համակարգին մէջ ընդունուած մեզի ծանօթ եղանակով։ Երկու "1" թուանշաններու գումարէն կը ստանանք "0" եւ պիտի ունենանք մտովի մէջ պահած եւս մկէ հատ 1՝ յաջորդ սիւնեակին աւելցնելու համար, զորօրինակ՝

      1 1 1 1 1 (յիշուող թիւերը) 
      0 1 1 0 1
+    1 0 1 1 1
------------------
= 1 0 0 1 0 0 = 36

Սա օրինակին բերուած է 01101₂ (13₁₀) եւ 10111₂ (23₁₀) թիւերու գումարման գործողութիւնը։ Վերին տողը նշուած են յիշուող 1-երը. Գործողութիւնը կը սկսի ամէնաաջ սիւնակէն՝ 1 + 1 = 10₂. 1-ը կը յիշուի յաջորդ սիւնեակի համար, իսկ աջ սիւնեակի ամէնաներքեւը կը գրուի 0։ Աջէն երկրորդ սիւնեակին կատարուող գործողութիւնն է՝ 1 + 0 + 1 = 10₂։ Նորէն 1-ը կը յիշուի եւ ցածը կը գրուի 0։ Երրորդ սիւնեակին՝ 1 + 1 + 1 = 11₂։ Այս անգամ, 1-ը կը յիշուի, իսկ ցածի տողին կը գրուի 1։ Նոյն գործողութւնները կատարելով վերջին կը ստանանք 100100₂ (տասնային՝ 36) պատասխանը։

Հանում

"0"-էն "1" հանելիս կը ստանանք "1" այն պարագային, եթէ յաջորդ սիւնակէն "պարտք" վերցուցած ենք։

          *     * * * (աստղանիշով նշուած են այն սիւնակները, որոնցմէ պարտք առնուած է)
   1 1 0 1 1 1 0
−       1 0 1 1 1
----------------
= 1 0 1 0 1 1 1

Վերը բերուած գործողութիւնը տասնային գրառումով ունի հետեւեալ տեսքը՝ 110-23=87։