Variációszámítás
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/68/Dido_purchases_Land_for_the_Foundation_of_Carthage.jpg/220px-Dido_purchases_Land_for_the_Foundation_of_Carthage.jpg)
A variációszámítás a matematikai analízis egyik fontos területe. Feladata, hogy adott feltételeknek, általában szélsőértékeknek eleget tevő függvényeket határozzunk meg. Eredete az ókorba nyúlik vissza, a legkorábbi variációszámítási problémát az Aeneis idézi: Dido királyné annyi földet ad Aeneasnak, amennyit egy ökör bőrével körbe tud keríteni. Aeneas, a klasszikus hős, ki nem csak erős és ügyes, de okos is, megoldja a feladatot: a bőrt behasogatja, és ily módon egy hosszú, vékony csíkot tud készíteni, amivel egy hatalmas méretű kört keríthet körbe, ami elég neki és a trójai menekülteknek.
A variációszámítás komolyabb alkalmazásai a frissen kialakuló fizikában jelentek meg. Egy tipikus korai probléma a brachisztochron-probléma – melyik a leggyorsabban bejárható pálya két pont között? A mechanikát a XVIII. században sikerült variációszámítási módszerekkel egyszerű elvekből levezetni, ennek mintájára épült fel a relativitáselmélet és a kvantummechanika is.
A variációszámítás feladata, módszerei
[szerkesztés]A variáció számítás során bizonyos feltételeknek eleget tevő függvényeket keresünk. Ilyen lehet a két pontot összekötő legrövidebb vonal, egy görbe alatti legkisebb terület, stb...
Ezt legkönnyebben az ismeretlenre vonatkozó, a problémát leíró függvény segítségével tehetjük meg. Ha a szóba jöhető függvények vektorteret alkotnak, akkor az efelett értelmezett lineáris funkcionálok segítségével a variációszámítási feladatok differenciálegyenletek formájában jelentkeznek. Ezek megoldását az Euler-féle differenciálegyenletek segítségével lehet megkeresni.
A funkcionálok ugyanis speciális függvények, méghozzá valamely halmazon értelmezett függvényekhez, mint vektorokhoz számot rendelő függvények. E tekintetben a differenciálszámítás a szélsőértékek megkeresésében segít, csak éppen ezt egy függvényalgebrán kell műveljük.
Az egydimenziós Euler-féle differenciálegyenlet
[szerkesztés]Keressük azt az függvényt, amire az minimális.[1] Ekkor a deriválás tulajdonságai alapján kapjuk, hogy
Ha feltételezzük, hogy megfelelő függvény, akkor ennek egy közelítése az függvény, ahol legalább kétszer folytonosan differenciálható függvény, és . Ekkor az függvény az alábbi alakot veszi fel:
A függvényhez egy megfelelő funkcionál rendelhető, ha peremfeltételként kikötjük, hogy és :
Ennek kísérő feltétele, hogy legyen. Ezzel a probléma egyszerű szélsőérték-problémává redukálódik, miszerint
A továbblépés érdekében tegyük fel, hogy "elég sokszor"[2] differenciálható az vektor körül. Ez lényeges, ugyanis így Taylor-sorba fejthető körülötte, így kapjuk, hogy
ahol az utolsó tag a Landau-féle nagy ordó szimbólum.
Az integrálás linearitását kihasználva az egyes tagokat külön integrálhatjuk:
A második tagot parciálisan integrálhatjuk, majd figyelembe véve -ra tett kikötésünket, kapjuk, hogy
Mivel ennek minden, a feltételnek megfelelő függvény esetén teljesülnie kell, kapjuk:
- .
Példa
[szerkesztés]Keressük azt a görbét, ami a és pontokra illeszkedik, és hossza a legrövidebb.
Egy görbe ívhosszát az integrál adja meg. Ebből azonnal adódik, hogy . Erre felírhatjuk az Euler-féle differenciálegyenletet:
- .
Mivel nem függ -tól, ezért az első tag nulla. A második tagot először szerint differenciáljuk:
Ezt most szerint deriváljuk. Ezt az összetett függvények deriválási szabálya alapján tehetjük meg:
A megfelelő differenciálegyenlet tehát
aminek nevezője sohasem 0, így a differenciálegyenlet redukálódik a
formára. Ennek megoldása a . Ha figyelembe vesszük a kezdeti paramétereket, akkor az
egyenletrendszert kapjuk. Ennek megoldása: . A keresett függvény tehát:
ami éppen egy egyenes egyenlete.
A differenciálegyenlet általánosított, differenciálgeometriai alakja a tetszőleges geometriában értelmezett "egyenesek", a geodetikusok definiáló egyenlete is egyben.
Klasszikus problémák
[szerkesztés]A variációszámítás néhány kifejezetten érdekes és akár híresnek is tekinthető probléma megoldását is szolgáltatja.
Izoperimetrikus probléma
[szerkesztés]Adott kerületű síkidomok közül melyik a legnagyobb területű? A kérdésre elsőként választ az Aeneisben találhatunk. Természetesen a matematikában ennél megalapozottabb választ szeretnénk kapni. A tételre választ már az ókorban Zenodórosz is adott,[3] Szigorú igazolást lehet ugyan geometriai módszerekkel is adni, de a variációs módszer lényegesen egyszerűbb. Vegyük a görbét paraméteres formában:
- .
ekkor az ívhosszat az
integrál adja meg. A területet is ki lehet számítani integrállal:
- .
Közelítsük a keresett függvényt egy töröttvonallal. A töröttvonal álljon az sorozat pontjaiból! Ekkor a függvényre diszkrét formában is felírhatjuk a variációs egyenletet. Ha két egymás melletti pontban végzünk módosítást, akkor:
Elég rémisztő, ezért kissé kompaktabb formában nézzük meg:
Ugyanez az egyenlet adódik a terület esetén is.
Ha van egy megoldásunk, akkor vanegy olyan szám, hogy . A két egyenlet egyben felírható variációs elvként is.[4]
Az Euler-féle differenciálegyenlet tehát az
függvényre írható fel:
Ha a t paraméter az ívhosszat jelenti, akkor a fenti két differenciálegyenlet jelentősen egyszerűsödik:
- .
Az egyenletrendszer megoldásait az
egyenletek adják. Ez pedig éppen egy (x0;y0) középpontú, λ sugarú kör paraméteres egyenlete. Ezzel a probléma megoldattatott.
Brachisztochron-probléma
[szerkesztés]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Brachistochrone.gif/220px-Brachistochrone.gif)
Két pont között melyik a gravitációs erő hatására leggyorsabban befutható pálya?[5]
Tegyük fel, hogy a test csúszás és súrlódásmentesen halad végig a pályán a P1 pontból a P2 pontba.[6] Ekkor a menetidőt az
integrál adja meg, feltéve, hogy s a görbe ívhossza. A sebesség kifejezését az energiamegmaradás tétele segítségével kapjuk meg:
- .
Az ívelemet euklideszi térben az
kifejezés adja meg, így kapjuk az integrálra:
- .
Erre akár már rá is ugraszthatnánk az Euler-féle differenciálegyenletet, azonban vegyük észre, hogy az integrandus nem tartalmazza x-et expliciten. Ekkor a Beltrami azonosság alapján egyszerűsíthetünk:
- .
Ebből megkapjuk a megoldandó egyenletet:
Ezt átrendezve az alábbi kifejezést kapjuk:
A fenti egyenletnek a megoldása paraméteresen:
- .
Ez éppen egy ciklois egyenlete.
Mozgástörvények
[szerkesztés]Ha a testet valamilyen hatása éri, milyen pályán fog mozogni?
A test mozgását az L mozgásegyenlet írja le. Ez tartalmazza a hely, sebesség és gyorsulásfüggvényeket:
- .
A Maupertuis-elv szerint a test úgy fog mozogni, hogy a hatás a lehető legkisebb[7] legyen. MIvel a hatás a mozgásegyenlet integrálja, ezért
- , amire vonatkozóan a szélsőérték feltétele:
- .
Erre a függvényre felírhatjuk az Euler-féle egyenletet. Eszerint a rendszer mozgását a
egyenlet írja le. Ha több koordinátától is függ a mozgásegyenlet, akkor ez egy differenciálegyenlet-rendszerre vezet:
Mivel minden egyenlet másodrendű differenciálegyenlet, ezért a megoldásokban egyenletenként 2-2 állandó szerepel.
Inerciarendszernek nevezzük a homogén és izotrop rendszereket. Ezekben a mozgásegyenlet nem tartalmazza sem a hely, sem az időkoordinátát expliciten. Ezért a differenciálegyenlet első tagja azonosan nulla, tehát a feladat redukálódik a
egyenletre.
A tér homogenitása miatt a mozgásegyenletben a sebességnek csak a nagysága szerepelhet, azaz . A differenciálegyenlet megoldása a függvény, ahol c állandó. Tehát inerciarendszerben a test sebessége állandó. Ez egyben Newton I. törvénye is.
A függvény tehát az alakot ölti. Itt a tetszőleges állandó, amit a fizikában -nek választunk, és m-et tömegnek nevezzük.
Két test kölcsönhatásakor a mozgásukon kívül a kettejük közötti kölcsönhatás is szerept játszik, ezt a koordinátáiktól függő függvénnyel vesszük figyelembe. Ekkor a rendszer mozgásegyenlete:
Erre felírva a variációs egyenletet, kapjuk, hogy
Feltételezve, hogy , a két testre vonatkozó mozgásegyenlet:
Ha az egyenletek jobb oldalán álló mennyiségeket F-fel jelöljük, akkor megkaptuk a II. és III. Newton-törvényt is.
Általában tehát a fizikai rendszer Lagrange-függvénye két részből áll:
- .
Itt K a kinetikai energia, U pedig a potenciális energia névnek örvend.[8]
Jegyzetek
[szerkesztés]- ↑ Lehet maximális is, de visszavezethető erre az esetre (-1)-gyel való szorzás révén
- ↑ Azaz legalább kétszer
- ↑ Victor Blåsjö: The Isoperimetric Problem (angol nyelven) (PDF). The Mathematical Association of America. (Hozzáférés: 2022. február 3.)
- ↑ Tehát egy L függvényre vonatkozó variációs probléma E feltétel esetén felírható feltétel nélkül is, ha a variációt az függvényre vonatkoztatjuk.
- ↑ Brachistochrone Problem. (Hozzáférés: 2022. február 13.)
- ↑ Fontos, hogy a kiindulási pont legyen magasabban, mint az érkezési, ellenkező esetben a kapott függvényt még külön értelmeznünk is kell. Különösebben nem probléma, csak fölösleges.
- ↑ Általában szélső értékű
- ↑ L. D. Landau. Elméleti fizika. Typotex Kiadó (2010. augusztus 23.). ISBN 978-963-2791-28-9
Források
[szerkesztés]- I. N. Bronstejn, K. A. Szemengyajev, G. Musiol, H. Mühlig. Variációszámítás, Matematikai kézikönyv, 4, TypoTeX Kiadó, 559-570. o. [2000]. ISBN 963-9132-59-4
- Kósa András. Differenciálegyenletek, kézirat - 18. változatlan kiadás, 129-140. o.
- L. D. Landau. Elméleti fizika. Typotex Kiadó (2010. augusztus 23.). ISBN 978-963-2791-28-9
- Victor Blåsjö: The Isoperimetric Problem (angol nyelven) (PDF). The Mathematical Association of America. (Hozzáférés: 2022. február 3.)